类似性
类似性
b'
b’’ c''
X
c' O
YW
b
积聚性
β
a
γ
c YH
β γ
PH
迹线表示
（1）水平投影具有积聚性。
（2）水平投影与OX轴的夹角，反映
β 角；与OYH轴的交角，反映该 γ
角。
（3）正面投影及侧面投影为该平面
的类似形。
68
正垂面：
V QV c'
a' b'
A
X
B
H
Z
CW Q
γ α
迹线表示
c'
V a'
X
Z
b' B
A
O
a
b
H
b'' a''
W
Y
b' a' α γ
a
b
1、a’b’=AB
2、反映α 、γ实角
3、ab//OX轴 a’’b’’//OZ轴
Z
b''
a''
O
YW
YH
44
（3） 侧平线
Z
a'
V a' b’
X
A
O B
a''
W b''
b' X
a
a
Hb
Y
b
1、a’’b’’=AB 2、反映α 、 β实角 3、a’b’//OZ轴
1. 一般位置平面——倾斜于三个投影面的平面 2.投影面垂直面——仅垂直于一个投影面的平面 3.投影面平行面——平行于一个投影面的平面
后两类统称为特殊位置平面
平面与H、V和W三个投影面的夹角称为平面
对投影面的倾角
分别用 、 、表示
65
1. 一般位置平面
V
b' X
a' Z
A a''
c'
W
B
O b''
影相交，且投影交点符 合点的投影规律
则 两直线在空间必为
O 相交两直线
k
b
d
61
第三节 平面的投影
62
一、平面的表示法 1. 几何元素表示法
a b c
a
c
b
a b c
a
c
b
d a c
b
bc a
d
a b c
ab c
a b c
a
c
b
不在同一直线 上的三个点
直线及线 外一点
两平行直线 两相交直线 平面图形
O
YH
b’’ YW
30
4.特殊位置的点
V
a’(A)
b’ a X
b(B)
Z
a’’ c’
CW c’’(C)
O c b’’
H Y
a’(A) X b’ a
b(B)
Z a’’
O
YH
b’’ YW
31
4.特殊位置的点
V
a’(A)
b’ a X
b(B)
Z
a’’ c’
W c’’(C) O c b’’
H Y
a’(A) X b’ a
V a’
X
ax
O
H
a
14
2. 点在两投影面第一角中的投影
V a’
V a’
A
X
ax
O
X
ax
O
a
H
H
a
15
2. 点在两投影面第一角中的投影
V
a’
a’
A
X
ax
O
X
ax
O
a
H
a a OX
a
aa x A a a a x Aa
1）点的水平投影和正面投影连线垂直于投影轴。
2）点的水平投影到X轴距离反映该点到V面距离， 点的正面投影到X轴距离反映该点到H面距离。
Z
Z
V
a’(A)
a’’
a’(A)
a’’
a X
W
O
X
a
O
YW
H Y
YH
28
4.特殊位置的点
Z
V
a’(A)
a’’
Z
a’(A)
a’’
b’ a X
W
O
X
a
O
YW
B
b’’
b(B)
H
Y
YH
29
4.特殊位置的点
Z
V
a’(A)
a’’
b’ a X
b(B)O HFra bibliotekW b’’
Y
a’(A) X b’ a
b(B)
Z a’’
a'
X
c a
b C0
O B0
V
a' X
b'
c'
B
C
O
A
b
ac
H
53
例7：已知直线AB和点K的投影，判断点K是否属于线 段AB
解法： a' k'
Z a'' k''
b' X
O
a
k b
H
b'' YW
结论：K AB
54
四、 两直线的相对位置 平行二直线 相交二直线 交叉二直线（异面）
55
1. 平行二直线
分别用 、 、表示
40
1.一般位置直线的投影
Z
V b'
Z
b'
b''
B b''
a'
a' X
βγ
A αO
b
W
X
a''
a
Ha
Y
O b
YH
a'' YW
（1）线段在各投影面上的投影长度小于线段的实长。
a bAcBosabAcBosabAcBos
（2）直线的各投影均倾斜于投影轴
41
2. 投影面的平行线
定义：仅平行于一个投影面的直线，称为投影 面平行线。
轴的距离和侧面投影到Z
轴的距离相等，且都反映
该点到V面的距离。
21
例1：已知点A的正面与侧面投影，求点A的水平投影。
Y
a’
a’’
X
O
YW
a YH
22
例1：已知点A的正面与侧面投影，求点A的水平投影。
Y
a’
a’’
X
O
YW
a YH
23
3. 点的投影与坐标
Z
V a' aZ
a’
Z az
a’’
、
X
z aX
V
b'
c'
B
a'
X
C
O
A
b
ac
AC:CB= a’c’:c’b’=ac:cb
定比性
c' a' X
c a H
b'
O b
从属性
若C∈ AB 则c ∈ab, c’ ∈a ’ b ’
52
例6： 已知线段AB的投影，试在线段上确定一点C，使 AC:CB=2:3。
b' c'
分析：欲将空间线段分成定比，根 据上述投影特性，只需将线段的各 投影分成该比即可。
分类：
垂直于H面的直线称为铅垂线 垂直于V面的直线称为正垂线 垂直于W面的直线称为侧垂线
47
（1）铅垂线
Z
V b'
b'
B
b''
X
a'
AO
W
a'
a'' X
b (a)
H
Y
b(a)
Z b'' a'' YW
O
YH
48
（2）正垂线
Z
V
b'(a') A
a''
B
X
O b''W
a
Hb
Y
b'(a')
X a b
Z a'' b''
O
YW
YH
49
（3）侧垂线
Z
V
a'
b'
a'
A B a''(b'')
X
X
O
a H
b
W a
Y
Z
b'
a''(b'')
O YW
b
YH
50
投影面垂直线投影性质： 1.投影面垂直线在其所垂直的投影面上的投影 积聚为一个点；（积聚性） 2.线段的另两个投影垂直于相应的投影轴，且 等于实长。
51
三、属于直线的点
D
C
X
O a
H
b
d (c)
34
重影点
V b’(a’)
d’
A B c’
D
C
b(a’) X
X
H
O
a b
d (c)
a
b
d’ c’
O
d(c)
35
重影点
V b’ X
Z
a’
BA
b’’
( a’’ )