磁悬浮小球控制仿真报告一．仿真要求采用根轨迹和频域法仿真磁悬浮小球系统 二．系统建模磁悬浮系统方程可以由下面的方程描述：22d x(t)mF(i,x )mg dt =+动力学方程 2iF(i,x )K()x= 电学力学关联方程(,)+=F i x mg 0 边界方程()()=+1diU t Ri t L dt电学方程 对2xiK x i F )(),(=泰勒展开：)x -)(x x ,(i F )i -)(i x ,(i F )x ,F(i x)F(i,000x 000i 00++= )x -(x K )i -(i K )x ,F(i x)F(i,0x 0i 00++=平衡点小球电磁力和重力平衡，有(,)+=F i x mg 0|,δδ===00i 00i i x x F(i,x)F(i ,x )i ；|,δδ===00x 00i i x x F(i,x)F (i ,x )x对2iF(i,x )K()x=求偏导数得：==-20x x 00302Ki K F (i ,x )x ==0i i 00202Ki K F(i,x )x此系统的方程式如下：x x 2Ki i x 2Ki )x -(x K )i -(i K dt xd m 30202000x 0i 22-=+= 拉普拉斯变换后得：)()()(s x mx 2Ki s i mx 2Ki s s x 322002-= 由边界方程 )2020x iK(mg -= 代入得系统的开环传递函数：200x(s)-1=i(s)a s -b 定义系统对象的输入量为控制电压in U ，系统对象输出量为x 所反映出来的输出电压为out U ，则该系统控制对象的模型可写为：out s s a 2in a 00U (s)K x(s)-(K /K )G(s)===U (s)K i(s)a s -b00000i i a =, b =2g x 特征方程为：200a s -b =0解得系统的开环极点为：s =取系统状态变量分别为1out 2out x =u ,x =u系统的状态空间表示法如下：•11in s •2200a 0 1 0xx =+u 2g 2g?K 0-x x x i ?K ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ][121x x x 0 1y =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=代入实际参数，可以得到in 2121U 124990x x 0098010x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛••..系统的状态方程可以写为⎪⎩⎪⎨⎧=+=•CXY BU AX X in 故Y U in -间的传递函数为 B A)(sI C s U s Y s G 1T in 0--==)()()(将以上参数值代入有5250300.0311s 77.8421s G 20.)(-=三．根轨迹法仿真根据系统模型，采用根轨迹法设计一个控制器 对于传递函数5250300.0311s 77.8421s G 20.)(-=的系统，设计控制器，使得校正后系统达到以下指标：调整时间2s(%2)0t s .=；最大超调量%10M p ≤；稳态误差=2%∆；步骤如下：1) 确定闭环期望极点d s 的位置，由最大超调量p M e10(%ζπ-=≤可以得到： =0.591ζ；近似取0.6ζ≈； 由cos()ζθ=；可以得到：=0.938θ(弧度)。
性能指标与根轨迹关系图又有：2s 04t ns .≤=ζω可以得到：3383n ω=.，于是可以得到期望的闭环极点为：3383.(cos()j sin())θθ-±2) 未校正系统的根轨迹不通过闭环期望极点，因此需要对系统进行超前校正，设控制器为： c cc ccTs +1k s -z G (s)=k =αTs +1αs -p )(1≤α3) 计算超前校正装置应提供的相角，已知期望的闭环主导极点和系统原来的极点的相角和为：-1-1d 33.8321Sin(θ)33.8321Sin(θ)G(s )=-tan -tan 33.8321Cos(θ)-31.329133.8321Cos(θ)+31.3291=-3.803⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 因此校正装置提供的相角为：31438030661.(.).φ=---=4) 设计超前校正装置，已知：=0.938θ对于最大的α值的γ角度可由下式计算得到：)(φθπγ--=21磁悬浮根轨迹计算图所以有：10.7712()γπθϕ=--=按最佳确定法作图规则，在上图中画出相应的直线，求出超前校正装置的零点和极点，分别为：c z 2376.=-，c p 4805.=-校正后系统的开环传递函数为： ()()c c o k (s+23.76)2502.96G (s)G (s)=αs+48.05s+31.33s -31.335) 由幅值条件c d o d G (s )G (s )=1，得0495.α=；0308c k .= 6) 系统的校正后开环传递函数()()c o (s+23.76)2502.96G (s)G (s)=0.622s+48.05s+31.33s -31.33校正后系统的根轨迹如下图所示：校正后的根轨迹图从图中可以看出，系统的三条根轨迹都有位于左半平面的部分，选取适当的K 就可以稳定系统。
系统的阶跃响应如下所示：根轨迹校正后的阶跃响应可以看出，系统有较好的稳定性，但系统存一定的稳态误差，并且误差过大，为使系统瞬态响应满足要求，可以采用直接对系统增加零点和极点的方法：系统阶跃响应如下：超前滞后控制器下的系统阶跃响应针对磁悬浮系统，利用simulink搭建仿真结构框图如下：simulink仿真框图分别连接开关，利用示波器可以看到两种控制器下的效果图：超前滞后控制器下的系统阶跃响应根轨迹校正后的阶跃响应附仿真程序如下：clear;>> t=0:0.01:1;>> s=tf('s');G1=0.622*(s+23.76)/(s+48.05)*2502.96/((s+31.33)*(s-31.33));G2=0.991*(s+23.424)/(s+48.8648)*2502.96/((s+31.33)*(s-31.33)) ;G3=1*(s+23.424)*(s+1)/((s+48.8648)*(s+0.3))*2502.96/((s+31.33)*(s-31.3 3));figure(1);rlocus(G1);G22=G2/(1+G2);G33=G3/(1+G3);figure(2);step(G22,t)grid on;figure(3);step(G33,t)grid on;四、频率法仿真依系统模型，采用频率法设计一个超前校正控制器， 单位负反馈系统，其开环传递函数为：5250300.0311s 77.8421s G 20.)(-=设计控制器G c (s)，使得系统的静态位置误差常数为2%，相位裕量为50°，增益裕量等于或大于10分贝。
控制器设计如下：1) 选择控制器，由系统的Bode 图系统o G 的Bode 图可以看出，给系统增加一个超前校正就可以满足设计要求，设超前校正装置为：()c c c Ts +1k s +1/TG S =k =αTs +1αs +1/T α已校正系统具有开环传递函数c o c2Τs +177.8421G (S)G (S)=k αΤs +10.0311s -30.52502) 根据稳态误差要求计算增益公式p c o C2s?0s?0Ts +1/77.8421K =limG (s)G (s)==limk αΤs +10.0311s -30.5250可以得到：c 1-Δk ==0.3082.55Δ，Δ=0.56于是有1277.840.308G (s)=0.0311s -30.5250⨯3) 在MATLAB 中分别画出1G (s)的Bode 图和Nyquist 图1G (s)的Bode 图1G (s)的Nyquist 图4) 可以看出，系统的相位裕量为0°，根据设计要求，需要增加的相位裕量为50°，增加超前校正装置会改变Bode 图的幅值曲线，必须对增益交界频率增加所造成的1G (s)的相位滞后增量进行补偿。
假设需要的最大相位超前量m φ近似等于55°。
因为 m 1sin 1αφα-=+，公式计算可以得到：0133.α= 5) 确定了衰减系统，就可以确定超前校正装置的转角频率T 1/=ω和T)1αω/(=，可以看出，最大相位超前角m φ发生在两个转角频率的几何中心上，即T)1αω/(=，在T)1αω/(=点上，由于包含1)Ts 1)/((Ts ++α项，所以幅值的变化为：又()20log 1876/.α=db 并且)(ωj G 1=－8.76分贝对应于3269.ω= rad/s ，我们选择此频率作为新的增益交界频率c ω，这一频率相应于T)1αω/(=，即T)1c αω/(=，于是c 11921.Tαω== c 8964.ωα==1αT 6) 于是校正装置确定为：c Τs +11s +11.92s +11.92G (s)===7.52αΤs +1αs +89.64s +89.64频率法设计的原理就是设计系统的控制器，增加系统的零极点，使系统开环Bode 图的相角裕度在30度到60度之间，即可保证系统的稳定性。
根据设计后的频率法控制器，用程序进行仿真，增加校正后系统的Bode 图如下：控制器后的磁悬浮Bode 图从Bode 图中可以看出,系统具有要求的相角裕度和幅值裕度，因此校正后的系统稳定。
得到系统的单位阶跃响应如下：αααωαωαω1j 11j1T j 1T j 1T =++=++=)/(频率响应方法校正后系统的单位阶跃响应增加控制器增益时，系统响应稳态误差减小，如下图。
校正后系统的单位阶跃响应(控制器增益取10)增加控制器零点的模时，系统响应速度变快，但超调增大，如下图。
校正后系统的单位阶跃响应(控制器零点取-20)增加控制器极点的模时，系统震荡次数减少，但超调增大，如下图。
校正后系统的单位阶跃响应(控制器极点取-100) 利用simulink搭建仿真框图如下：Simulink仿真框图分别配置加入不同的控制器可以得到：加入控制器的系统阶跃响应配置不同零极点控制的阶跃响应附仿真程序如下：clear;t=0:0.01:1;s=tf('s');G0=77.84/(0.0311*s^2-30.5250);G1=0.308*77.84/(0.0311*s^2-30.5250);G2=7.52*(s+11.92)/(s+100)*77.84/(0.0311*s^2-30.5250); figure(1);bode(G0);figure(2);bode(G1);figure(3);nyquist(G1);figure(4);bode(g2);G22=G2/(1+G2);figure(5);step(G22,t);grid on;。