第19讲数论综合
知识点精讲
特殊数的整除特征
1. 尾数判断法
1) 能被2整除的数的特征：
2) 能被5整除的数的特征：
3) 能被4 (或25)整除的数的特征：
4) 能被8 (或125)整除的数的特征：
2. 数字求和法：
3. 99的整除特性：
4. 奇偶位求差法：
5. 三位截断法：
特别地：7X11X13=1001, abcabc=abcX1001
二、多位数整除问题
技巧：1>目的是使多位数变短”途径是结合数的整除特征和整除性质
2>对于没有整除特性的数，利用竖式解决。
三、质数合数
1. 基本定义
【质数】一一
【合数】一一
注：自然数包括0、1、质数、合数.
【质因数】一一
【分解质因数】一一
用短除法和分拆相乘法分解质因数。
任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。
分解质因数的标准表示形式：N=a1Xa2Xa3X X n,其中a1、a2、a3 an都是合数N的质因数，且
a 1 <a 2<a 3< va n。
【互质数】
【偶数】
【奇数】
2. 质数重要性质
1）100以内有25个质数：
2）除了2和5，其余的质数个位数字只能是：
3）1既不是质数，也不是合数
4）在质数中只有2是偶数，其他质数都是奇数
5）最小的质数是2•最小的奇质数是3
6）有无限多个
3. 质数的判断：
1）定义法：判断整除性
2）熟记100以内的质数
3）平方判断法：
例如：对2011,首先442<2011<452,然后用1至44中的全部质数去除2011，即可叛断出2011为质数.
4. 合数
1）无限多个
2）最小的合数是4
3）每个合数至少有三个约数
5. 互质数
1）什么样的两个数- -定是互质数？
注意：分解质因数是指一个合数写成质因数相乘的形式21=3 7,不能写成：3 7=21.
6. 偶数和奇数
1）
2）
偶数；个位数字是1,3,5,7,9的数是奇数
3）
4）
数是他们乘积的一半
5）•因此，要分解的合数应写在等号左边，如：
0属于偶数
十进制中，个位数字是0,2,4,6,8的数是
除2外所有的正偶数均为合数
相邻偶数的最大公约数为2，最小公倍
奇±奇=偶偶±禺=偶偶埼=奇
奇X 奇=奇偶X 奇=偶偶 ><禺=偶
四、
约数与倍数
1. 约数与倍数概念：
2. 一个数约数的个数：
3. 平方数与约数个数的关系：
4.
最大公约数与最小公倍数求法：
分解质因数： 辗转相除法： 5. 两数的最大公约数乘以最小公倍数等于这两个数的乘积。
6.
分解质因数的作用。
整除问题
例题1 求无重复数字，能被 75整除的五位数3A6B5 .
例题2 将自然数1、2、3、4、5、6、7、8、9依次重复写下去组成一个
1993位数，试问这个数能否被 3
整除？
例题3 一个五位数4x7y5同时是11与25的倍数，求这个五位数.
13,如果它能被11整除，那么这个多位数最小是多少?
例题4
(1) 一个多位数(两位及两位以上) 整除，那么这个多位数最小是多少？
，它的各位数字互不相同，并且含有数字 0 .如果它能被11
(2) —个多位数，它的各位数字之和为
例题5 在所有各位数字互不相同的五位数中，能被45整除的数最小是多少?
例题6 有5个连续质数的乘积是一个形如“△□込□”的六位数，如果其中的各代表一个数字, 那么这个六位数是 _________ •
例题7 如果六位数7P37□既是13的倍数，又是125的倍数，那么这个六位数可能是多少?
例题8 一个三位数的各个数字互不相同，且能被11整除，去掉末位数字后所得的两位数能被9整除.这样的三位数中最大的是多少？最小的是多少？
例题9 将自然数1, 2, 3,……，依次写下去形成一个多位数“12345678910111213••”当写到某个数N 时，所形成的多位数恰好第一次被90整除•请问：N是多少？
质数与合数
例题10请把下面的数分解质因数：
(1) 2635 (2) 22425
例题11算式924 175 140 95的计算结果的末位有多少个连续的0?
例题12 100!末尾有多少个连续的0?
例题13甲、乙、丙三人打靶，每人打三枪.三人各自中靶的环数之积都是60,且环数是不超过10的自然数.把三个人按个人总环数由高到低排列，依次是甲、乙、丙.请问：靶子上4环的那一枪是谁打的？
例题14 (1) 60乘以一个三位数后，正好得到一个平方数•这个三位数至少是多少?
(2) 72乘以一个三位数后，正好得到一个立方数•这样的三位数一共有多少个?
例题15把从1开始的若干个连续的自然数1, 2, 3,…，乘到一起•已知这个乘积的末尾13位恰好都是
0 .请问：
(1)最后出现的自然数最小应该是多少？
(2)若称除以12为一次操作，设(1)中出现的最小自然数为n,对n至少进行几次操作，最后的结果才会出现余
数？
例题16把39、45、49、56、60、70、78、84、91这9个数分成3组，使每组中3个数的乘积都相等?
例题17从1! , 2! , 3!,…，100!这100个数中去掉一个数，使得剩下的各数乘积是一个完全平方数. 请问：去掉的那个数是什么？
约数与倍数
例题18 480有多少个约数？ 1440的所有约数的和是多少?
例题20已知两个自然数的差为 4，它们的最小公倍数与最大公约数的积为
252,求这两个自然数.
例题21两个自然数的最大公约数为 4,最小公倍数为120,那么这两个数的差有几种可能?
例题22已知a 有6个约数，b 有10个约数，且a 、b 的最大公约数是12,求a 与b .
例题23甲数有15个约数，乙数有10个约数，甲、乙两数的最小公倍数是 720,求甲、乙两数各是多少?
例题24两个自然数的差是 5,它们的最小公倍数与最大公约数的差是
203，则这两个数的和是多少?
例题25老师在黑板上写下三个数：108,396 ,A ，让同学们求它们的最小公倍数.
小马虎误将108当做180
进行计算，结果竟然与正确答案一致.
A 最小等于几？
例题26大雪后的一天，亮亮和爸爸从同一点出发，沿同一方向分别步测一个圆形花圃的周长，亮亮每步
长54厘米，爸爸每步长 72厘米，由于两个人的脚印有重合，所以雪地里只留下 60个脚印•问
这个花圃的周长是多少？
例题19求一组分数 21
25 的最大公约数.
余数计算、物不知数与同余
例题27有5000多根牙签，按以下6种规格分成小包：如果10根一包，最后还剩9根；如果9根一包, 最后还剩8根；如果依次以8，7，6，5根为一包，最后分别剩7，6，5，4根.原来一共有牙签多少根？
例题28 一个三位数除以21余17,除以20也余17.这个数最小是多少?
例题29有一个数，除以3的余数是2,除以4的余数是1•请问：这个数除以12余数是几?
例题30 100多名小朋友站成一列•从第一人开始依次按 1 , 2, 3, L , 11的顺序循环报数，最后一名同学报的数是9;如果按1, 2, 3, L , 13的顺序循环报数，那么最后一名同学报的数是11.请问:
一共有多少名小朋友？
例题31 3 452L4 33的个位数字是 ___________
2009 个3
例题32 2345 6789除以4、5、9所得的余数分别是 __________
例题33 一个自然数除以2的商是一个自然数的平方，而除以3的商是一个自然数的立方，符合条件的最小的自然数是____________________ .
综合练习题
例题34求满足下面条件的整数 a 、b ：
1) 33|a1998b
例题35 一个能被99整除，各位数字互不相同的最小六位数是多少?
例题36用123,4,5,6,7七个数字组成三个两位数和一个一位数
，并且使这四个数之和等于 两位数尽可能大，那么，最大的两位数是 ___________ .
2) 99|14a7 5b8
100,要求最大的。