初一数学角与角平分线中考要求例题精讲一、角的定义定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边.角的大小只与开口的大小有关，而与角的边画出部分的长短无关．这是因为角的边是射线而不是线段．定义2：角由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边.(1) 如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角. (2) 如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角. 注意：由角的定义可知：（1）角的组成部分为：两条边和一个顶点； （2）顶点是这两条边的交点；（3）角的两条边是射线，是无限延伸的.（4）射线旋转时经过的平面部分称为角的内部，平面的其余部分称为角的外部.角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。

二、角的表示方法① 利用三个大写字母来表示，如图1.1．∠AOB图1.1注意：顶点一定要写在中间．也可记为BOA ∠，但不能写成BAO ∠或ABO ∠等． ② 利用一个大写字母来表示，如图1.2．∠A图1.2A注意： 用一个大写字母来表示角的时候，这个大写字母一定要表示角的顶点，而且以它为顶点的角有且只有一个．③ 用数字来表示角，如图2.1．∠1图2.11③用希腊字母来表示角，如图2.2．∠α图2.2α三、单位换算1度＝60分(160︒=') 1分=60秒(160'=")四、角的度量（1）度量角的工具常用量角器用量角器注意：对中（顶点对中心）、重合（角的一边与量角器上的零刻度重合）、读数（读出角的另一边所在线的度数）（2）角的度量单位及其换算角的度量单位是度、分、秒．把平角分成180等份，每一份就是一度的角，记做1︒．把一度的角60等分，每一份叫做1分的角，记做1'．把一分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记做1''．角度之间的关系1周角=360︒1平角＝180︒1直角＝90︒1周角＝2平角1平角＝2直角角的分类：锐角α（090α<<︒），直角α（90α=︒），钝角α（90180α︒<<︒）．五、两角的和、差、倍、分（1）两角的和、差、倍、分的度数等于它们的度数的和、差、倍、分.（2）从一个角的顶点出发，把它分成两个相等角的射线叫做这个角的平分线.（3）角平分线的画法：①用量角器②用折叠法在一张透明纸上画一个角，记为∠PQR，折线使射线QR与射线QP重合，把纸展开，以Q为端点，沿折痕画一条射线，这条射线就是∠PQR的平分线.说说为什么这条线平分∠PQR？六、用尺规做已知角的平分线方法作法：（1）以O点为圆心，以任意长为半径，交角的两边于A B、两点；（2）分别以A、B两点为圆心，以大于12AB长为半径画弧，画弧交于C点；（3）过C 点作射线OC 。

所以，射线OC 就是所求作的。

OCBA七、余角、补角（1）如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫做互为补角.简称“互补”. （2）如果两个角的和是一个直角，那么这两个角叫做互为余角，简称“互余”. （3）补角、余角的性质：同角或等角的补角相等.同角或等角的余角相等.八、 方位角方位角一般以正北、正南为基准，描述物体运动方向.即“北偏东⨯⨯度”、“北偏西⨯⨯度”、“南偏东⨯⨯度”、“南偏西⨯⨯度”，方位角α的取值范围0900≤≤α.“北偏东45度”为东北方向、“北偏西45度”西北方向、“南偏东45度”为东南方向、“南偏西45度”为西南方向.九、 钟表角度问题时针12小时转动360度，每小时转动30度； 分针60分钟转动360度，每分钟转动6度。

秒针60秒钟转动360度，每秒钟转动6度。

一、角的概念及表示【例1】角是由有 的两条射线组成的图形，两条射线的 是这个角的顶点，角也可以看成是由一条射线 ．【例2】下列语句正确的是（ ）①角的大小与边的长短无关。

②如果一个角能用一个大写字母A 表示，那么以A 为顶点的角只有一个 ③如果一个角能表示为1∠，那么以1∠顶点为顶点的角只有一个。

④两条射线组成的图形叫做角A ①、②B ①、③C ①、④D ②、③【例3】如图，角的顶点是 ，边是 ，用三种方法表示该角分别为 ．αBAO【巩固】 在右图中，角的表示方法正确的是（ ）A ．A ∠B ．B ∠C ．C ∠D ．D ∠ABCDEO【巩固】 如图，以B 为顶点的角共有几个?请把它们写出来，以D 为顶点的角呢?D CEBA【例4】下图中，以A 为顶点的角是_________。

有一边与射线FD 在同一条直线上的角有__________个。

HGFEDCB A【例5】判断（ ）一条射线绕它的端点旋转一周所成的角是平角． （ ）用2倍的放大镜看30︒的角，这个角就变成了60︒． （ ）由两条射线组成的图形叫做角． （ ）延长一个角的两边．（ ）平角就是一条直线；周角就是一条射线．二、角的分类【例6】下列语句正确的是（ ）A 、平角就是一条直线B 、周角就是一条射线C 、小于平角的角是钝角D 、一周角等于四个直角【例7】如图，图中包含小于平角的角的个数有（ ）A 、4个B 、5个C 、6个D 、7个【例8】如图，∠AOB 是平角，则图中小于平角的角共有（ ）A 、4个B 、7个C 、9个D 、10个【例9】如图，必须用三个大写字母表示且小于180°的角共有（ ）A 、10个B 、15个C 、20个D 、25个【例10】如图，∠CAE=90°，锐角有（ ）个，钝角至少有（ ）个．A 、4，3B 、3，2C 、6，3D 、4，2三、角度的换算及运算【例11】（1）32.43__________'''︒=︒（2）654312_____'''︒=︒【巩固】 （1）51492421________''︒+︒=；（2）39412445__________''︒-︒=；（3）2313423_________'''︒⨯=；（4）12134________'︒÷=．【例12】（1）2020'4______︒⨯=。

（2）4437'3______︒÷=【巩固】 （1）77423445______''︒+︒=； （2）108185623_______''︒-︒=；（3） 180(34542133)_______''︒-︒+︒=；（4）23295837______'''︒+︒=；（5）513932532______''''︒-︒=； （6） 135********______''︒⨯+︒÷= （7）57.32_________'''︒=︒； （8） 122342_______'''︒=︒【例13】在小于平角的范围内，用一对普通的三角板能画出确定度数的角有（ ）个A ．4个B ．7个C ．11个D ．16个【例14】如右图，AOB 是直线，1:2:31:3:2∠∠∠=，求DOB ∠的度数．123ABC DO四、余角和补角【例15】如图，OE AB ⊥于O ，OF OD ⊥，OB 平分DOC ∠，则图中与AOF ∠互余的角有______个；互补的角有_________对；FEDCB AO【巩固】 如图，O 是直线AB 上的一点，120AOD ∠=︒，90AOC ∠=︒，OE 平分BOD ∠，则图中彼此互补的角共有______对．ABC DEO【例16】如下图，A ，O ，B 在一条直线上，AOC ∠是锐角，则AOC ∠的余角是（ ）A ．12BOC AOC ∠-∠B ．1322BOC AOC ∠-∠C ．1()2BOC AOC ∠-∠D ．1()3BOC AOC ∠+∠ACO【例17】一个角和它的余角的比是5:4，则这个角的补角是【例18】一个锐角的一半与这个锐角的余角及这个锐角的补角的和等于平角，求这个锐角的度数．【例19】如果一个角的补角与余角的和，比它的补角与余角的差大60︒，求这个角的余角度数．【巩固】一个角a与50︒角之和的17等于65︒角的余角，求a．【巩固】已知α的余角是β的补角的13，并且32βα=，试求αβ+的度数．【例20】已知两角互补，试说明：较小角的余角等于两角差的一半。

五、角平分线【例21】从一个角的顶点出发，把它分成两个角的直线叫做这个角的平分线．（填“正确”或“错误”）【例22】如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠COB，若∠EOB=55°，则∠BOD的度数是（）A、35°B、55°C、70°D、110°【例23】如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，若∠BOC=80°，则∠AOE的度数是（）A、40°B、50°C、80°D、100°【例24】如图所示，将一张长方形纸的一角斜折过去，使顶点A落在A′处，BC为折痕，如果BD为∠ABE 的平分线，则∠CBD=（）A、80°B、90°C、100°D、70°【例25】如图，BE 、CF 分别是∠ABC 、∠ACB 的角平分线，∠A=44°，那么∠BDC 的度数为（ ）A 、68°B 、112°C 、121°D 、136°【例26】下列说法正确的是（ ）A 、两点之间直线最短B 、用一个放大镜能够把一个图形放大，也能够把一个角的度数放大C 、将一个角分成两个角的射线叫角的平分线D 、直线l 经过点A ，那么点A 在直线l 上六、方位角【例27】下面图形中，表示北偏东60︒的是（ ）60︒A 东西北南 60︒B 西北南 60︒C东西北南60︒D东西北南【巩固】 下列说法不正确的是（ ）A ．OA 方向是北偏东30︒B ．OB 方向是北偏西15︒C ．OC 方向是南偏西25︒D ．OD 方向是东南方向O 东25︒75︒45︒30︒D CBA【例28】如图，平面内有两点A B ，（1）分别画出点A 处北偏东70︒的方向和点B 处北偏西40︒的方向． （2）点A 位于B 的什么方向（精确到1︒）BA【例29】如图，A 、B 、C 、D 是北京奥运会场馆分布图，请结合图形回答问题．为了方便指明每个场馆的位置，以天安门为中心（即点O 的位置）建立了位置指示图，直线CO DE 相交于O ，90COD ∠=︒，请按要求完成下列问题：①若在图上测得20mm OA =，54mm OB =，36BOC AOE ∠=∠=︒，则可知场馆B 的位置是北偏西36︒，据中心54mm ，可简记为（54mm ，北偏西36︒）．据此方法，场馆A 的位置可简记为（_________，________）． ②可求得BOA ∠=________；③在现有的图形中（不增加新的字母），AOD ∠与_____________是互补的角．东西北七、共定点角的相关计算【例30】如图，在直线AB 上取一点O ，在AB 同侧引射线OC ，OD ，OE ，OF 使COE ∠和BOE ∠互余，射线OF 和OD 分别平分COE ∠和BOE ∠，求证：3AOF BOD DOF ∠+∠=∠．ABC D EO 图2F E B【巩固】 如图，直线AB ，CD 相交于点O ，作DOE BOD ∠=∠，OF 平分AOE ∠，若28AOC ∠=︒，求EOF ∠．A BCDE FO【例31】如图所示，80AOB ∠=︒，OC 是AOB ∠内部的任意一条射线，若OD 平分BOC ∠，OE 平分AOC ∠，试求DOE ∠的度数．EDC BAO【例32】如图，ACB ∠是一个平角DCE ACD ∠-∠ECF DCE =∠-∠FCG ECF =∠-∠GCB FCG =∠-∠10=︒，求GCB ∠的度数．GAB C D E 图2F【例33】已知：如图，OC 是AOB ∠外的一条射线，OE 平分AOC ∠．OF 平分BOC ∠．①若100AOC ∠=︒，40BOC ∠=︒， 问：?EOF ∠= ②若AOB n ∠=︒，求EOF ∠的度数并说明理由．OC FE BA【例34】BOC ∠为AOC ∠外的一个锐角，射线OM 、ON 分别平分AOC ∠、BOC ∠．（1）90AOB ∠=°，30BOC ∠=°，求MON ∠的度数； （2）AOB α∠=，30BOC ∠=°，求MON ∠的度数；（3）90AOB ∠=°，BOC β∠=，还能否求出MON ∠的度数吗？若能，求出其值，若不能，说明理由．（4）从前三问的结果你发现了什么规律？C NB MAO【例35】已知：OA 、OB 、OC 是从点O 引出的三条射线85AOB ∠=︒，4136'BOC ∠=︒，求AOC ∠.【巩固】 已知一条射线OA ，若从点O 再引两条射线OB 与OC ，使60AOB ∠=︒，20BOC ∠=︒，求AOC∠的度数.【例36】已知αβ，都是钝角，计算()16αβ+，正确的结果只可能是（ ）A ．26︒B ．40︒C ．72︒D ．90︒【巩固】α、β、γ中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算1()15αβγ++的值时，有三位同学分别算出了23︒、24︒、25︒这三个不同的结果．其中确有一个是正确的答案，求αβγ++的值．【例37】在同一平面内有射线OA OB OC OD ，，，平分BOC ∠，AOC ∠的3倍比AOB ∠的2倍多5︒，10AOD ∠=︒，求AOC ∠的度数.【例38】以AOB∠，BOC∠∠=，且AOC∠均小于180︒，AOC BOC∠的顶点O为端点引射线OC，使得:5:4若30∠的度数.AOB∠=︒，求AOC八、钟表角度问题【例39】从3时到6时，钟表的时针旋转角的度数是（）A、30B、60°C、90°D、120°【例40】下午2点30分时（如图），时钟的分针与时针所成角的度数为（）A、90°B、105°C、120°D、135°【例41】由2点15分到2点30分，时钟的分针转过的角度是（）A、30°B、45°C、60°D、90°【例42】钟面上从2点到4点有几次时针与分针夹成60︒的角？分别是几点几分？【例43】钟表在12点钟时三针重合，经过x分钟后，秒针第一次将分针和时针所夹的锐角平分，则x的值是多少?课后作业1.一个角的补角和它的余角的3倍的和等于周角的1112，求这个角．2.下列图形中，表示南偏西60︒的是（ ）60︒A东西北南60︒B东西北南60︒C东西北南 60︒D东西北南3.下列说法中，正确的是（ ）A 、一条射线把一个角分成两个角，这条射线叫做这个角的平分线B 、两个锐角的和为钝角C 、相等的角互为余角D 、钝角的补角一定是锐角4.一个角的余角的2倍和它的补角的12互为补角，求这个角的度数．5.已知一个角的补角等于这个角余角的6倍，那么这个角等于多少？6.如图，OM 平分AOB ∠，ON 平分COD ∠，若50MON ∠=︒，10BOC ∠=︒，求AOD ∠的小．NMAB C DOAD E图1F。