试卷第1页，总5页 …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 绝密★启用前初中数学几何压轴题组卷 试卷副标题 考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人 得 分 一．选择题（共3小题） 1．如图，在凸四边形ABCD 中，AB 的长为2，P 是边AB 的中点，若∠DAB=∠ABC=∠PDC=90°，则四边形ABCD 的面积的最小值是（ ） A ．4 B ．3 C ． D ．2+2 2．北京奥运会金牌创造性地将白玉圆环嵌在其中（如图），这一设计不仅是对获胜者的礼赞，也形象地诠释了中华民族自古以来以“玉”比“德”的价值观．若白玉圆环面积与整个金牌面积的比值为k ，则下列各数与k 最接近的是（ ）试卷第4页，总5页 …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… A ． B ． C ． D ．3．在等边△ABC 所在平面上的直线m 满足的条件是：等边△ABC 的3个顶点到直线m的距离只取2个值，其中一个值是另一个值的2倍，这样的直线m 的条数是（ ）A ．16B ．18C ．24D ．27试卷第1页，总5页 …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第Ⅱ卷（非选择题） 请点击修改第Ⅱ卷的文字说明 评卷人 得 分 二．填空题（共6小题） 4．5个正方形如图摆放在同一直线上，线段BQ 经过点E 、H 、N ，记△RCE 、△GEH 、△MHN 、△PNQ 的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，已知S 1+S 3=17，则S 2+S 4= ． 5．设A 0，A 1，…，A n ﹣1依次是面积为整数的正n 边形的n 个顶点，考虑由连续的若干个顶点连成的凸多边形，如四边形A 3A 4A 5A 6、七边形A n ﹣2A n ﹣1A 0A 1A 2A 3A 4等，如果所有这样的凸多边形的面积之和是231，那么n 的最大值是 ，此时正n 边形的面积是 ． 6．已知Rt △ABC 和Rt △A′C′D 中，AC=A′C′，A′D=1，∠B=∠D=90°，∠C +∠C′=60°，BC=2，则这两个三角形的面积和为 ． 7．设a ，b ，c 为锐角△ABC 的三边长，为h a ，h b ，h c 对应边上的高，则U=的取值范围是 ． 8．如图已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于O ，若S △AOB =4，S △COD =9，则四边形ABCD 的面积的最小值为 ． 9．四边形ABCD 的四边长为AB=，BC=，CD=，DA=，一条对角线BD=，其中m ，n 为常数，且0＜m ＜7，0＜n ＜5，那么四边形的面积为 ．试卷第4页，总5页 …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 评卷人 得 分三．解答题（共2小题）10．如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线．（1）三角形有 条面积等分线，平行四边形有 条面积等分线；（2）如图①所示，在矩形中剪去一个小正方形，请画出这个图形的一条面积等分线；（3）如图②，四边形ABCD 中，AB 与CD 不平行，AB ≠CD ，且S △ABC ＜S △ACD ，过点A 画出四边形ABCD 的面积等分线，并写出理由．11．如图1，点P 是△ABD 中AD 边上一点，当P 为AD 中点时，则有S △ABP =S△ABD ，如图2，在四边形ABCD 中，P 是AD 边上任意一点，探究：（1）当AP=AD 时，如图3，△PBC 与△ABC 和△DBC 的面积之间有什么关系？写出求解过程；（2）当AP=AD 时，探究S △PBC 与S △ABC 和S △DBC 之间的关系，写出求解过程；（3）一般地，当AP=AD （n 表示正整数）时，探究S △PBC 与S △ABC 和S △DBC之间的关系，写出求解过程；（4）当AP=AD （0≤≤1）时，直接写出S △PBC 与S △ABC 和S △DBC 之间的关系．试卷第1页，总5页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

初中数学几何压轴题组卷参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）1．如图，在凸四边形ABCD中，AB的长为2，P是边AB的中点，若∠DAB=∠ABC=∠PDC=90°，则四边形ABCD的面积的最小值是（）A．4B．3C ．D．2+2【分析】设梯形上底为x，下底为y，则根据已知条件列出关于x，y的方程后即可用配方法解出答案．【解答】解：设梯形上底为x，下底为y，∵AB=2，P是边AB的中点，∠PDC=90°，∴1+y2﹣（1+x2）=4+（y﹣x）2，解得：y=+x，梯形ABCD面积=×（x+y）×2=x+y=x+x +=2x +≥4=4，当x=时，即x=1，y=3时，梯形ABCD面积取得最小值为4．故选：A．2．北京奥运会金牌创造性地将白玉圆环嵌在其中（如图），这一设计不仅是对获胜者的礼赞，也形象地诠释了中华民族自古以来以“玉”比“德”的价值观．若白玉圆环面积与整个金牌面积的比值为k，则下列各数与k最接近的是（）1本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

A ．B ．C ．D ．【分析】根据北京奥运会金牌创造性地将白玉圆环嵌在其中，设计师将白玉圆环面积与整个金牌面积的比值为：得出答案即可．【解答】解：奖牌正面采用国际奥委会规定的图案，背面镶嵌着取自中国古代龙纹玉璧造型的玉璧，背面正中的金属图形上镌刻着北京奥运会会徽，是中华文明与奥林匹克精神在北京奥运会形象景观工程中的又一次“中西合璧”，白玉圆环面积与整个金牌面积的比值为：．故选：B．3．在等边△ABC所在平面上的直线m满足的条件是：等边△ABC的3个顶点到直线m的距离只取2个值，其中一个值是另一个值的2倍，这样的直线m的条数是（）A．16B．18C．24D．27【分析】根据已知可以分成两类．第一类：过一边的中点，其中过AB边中点M的直线，即可得出满足条件的条数，进而得出过3条边中点的直线条数，第二类：与一边平行，这样的直线也有12条，即可得出答案．【解答】解：可以分成两类第一类：过一边的中点，其中过AB边中点M的直线，满足条件的有4条，那么，这一类共有12条，第二类：与一边平行，这样的直线也有12条，两类合计：12+12=24条．故选：C．1本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

1二．填空题（共6小题）4．5个正方形如图摆放在同一直线上，线段BQ 经过点E 、H 、N ，记△RCE 、△GEH 、△MHN 、△PNQ 的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，已知S 1+S 3=17，则S 2+S 4=68 ．【分析】由如图5个正方形摆放在同一直线上，可得tan ∠EBF=tan ∠AEB==，∠GHE=∠MNH=∠PQN=∠EBF ，然后设DR=a ，则EF=BD=CD=CE=2a ，根据三角函数的知识，即可得：MH=4a ，MN=8a ，PN=8a ，PQ=16a ，又由S 1+S 3=17，即可求得a 2的值，继而可求得S 2+S 4的值．【解答】解：∵四边形ABDC 与四边形CDFE 是正方形，∴BD=DF=EF ，AE ∥BF ，∴∠EBF=∠AEB ，∴tan ∠EBF=tan ∠AEB==，同理可得：∠GHE=∠MNH=∠PQN=∠EBF ，设DR=a ，则EF=BD=CD=CE=2a ，∴CR=a ，∵tan ∠EBF==，∴FI=HI=GH=4a ，∴GE=2a ，同理可得：MH=4a ，MN=8a ，PN=8a ，PQ=16a ，本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

1 ∴S 1+S 3=×a ×2a +×4a ×8a=17，解得：a 2=1，∴S 2+S 4=×2a ×4a +×8a ×16a=68a 2=68．故答案为：68．5．设A 0，A 1，…，A n ﹣1依次是面积为整数的正n 边形的n 个顶点，考虑由连续的若干个顶点连成的凸多边形，如四边形A 3A 4A 5A 6、七边形A n ﹣2A n ﹣1A 0A 1A 2A 3A 4等，如果所有这样的凸多边形的面积之和是231，那么n 的最大值是 23 ，此时正n 边形的面积是 1 ．【分析】先通过找规律找出P 与n 的关系式 P=n 2﹣n +1，再化为P=（n ﹣）2+，由于n ≥3，故P 值越大，n 取值越大． 在凸多边形面积之和为231时，由于正n 边形的面积为整数，故其面积取最小值1时，P 值最大，从而得出关于n 的方程求解即可．【解答】解：用找规律找出P 与n 的关系式不难发现，P 与n 有下表所列的关系n3 4 5 6 P 1 （0+1）=（3﹣3）×3÷2+1 3 （2+1）=（4﹣3）×4÷2+1 6 （5+1）=（5﹣3）×5÷2+1 10（6+3+1）=（6﹣3）×6÷2+1因此，P=（n ﹣3）•n ÷2+1，即P=n 2﹣n +1．P=n 2﹣n +1可以化为P=（n ﹣）2+，由于n ≥3，故P 值越大，n 取值越大．在凸多边形面积之和为231时，由于正n 边形的面积为整数，故其面积取最小值1时，P 值最大代入各值，得：231÷1=n 2﹣n +1，整理得：n 2﹣3n ﹣460=0解得n=23或n=﹣20（不合题意，舍去）故n=23为最大值，此时正23边形的面积为1．故答案为：23，1．6．已知Rt △ABC 和Rt △A′C′D 中，AC=A′C′，A′D=1，∠B=∠D=90°，∠C +∠C′=60°，BC=2，则这两个三角形的面积和为．【分析】利用AC=A′C′把Rt △ABC 和Rt △A′C′D 中的AC 与A′C′重合可得到如图所示的四边形ABCD ，再延长CD 与BA 交于E ，由∠BCE=60°得到∠E=30°，根据含30°的直角三角形三边的关系得到EB=BC=2，可计算出S △EBC =×2×2=2；同样S △ADE =×1×=，然后利用S 四边形ABCD =S △EBC ﹣S△ADE进行计算．【解答】解：由于AC=A′C′，所以把Rt △ABC 和Rt △A′C′D 中的AC 与A′C′重合可得到如图所示的四边形ABCD ，∠B=∠ADC=90°， ∵∠C +∠C′=60°， ∴∠BCD=60°，CD 与BA 的延长线交于E 点，如图， 在Rt △EBC 中，BC=2，∠BCE=60°， ∴∠E=30°， ∴EB=BC=2，∴S △EBC =×2×2=2；在Rt △EAD 中，∠E=30°，AD=1， ∴AE=2， ∴S △ADE =×1×=，∴S 四边形ABCD =S △EBC ﹣S △ADE =2﹣， 即原来两个三角形的面积和为．故答案为：．7．设a，b，c为锐角△ABC的三边长，为h a，h b，h c对应边上的高，则U=的取值范围是＜U＜1．【分析】先根据题意画出图形，则有h a+BD＞c，h a+DC＞b，2h a+a＞b+c，同理，2h b+b＞c+a，2h c+c＞a+b，2（h a+h b+h c）＞（a+b+c），又h a＜b，h b ＜c，h c＜a，h a+h b+h c＜a+b+c，继而即可求出答案．【解答】解：如下图所示：∵h a+BD＞c，h a+DC＞b，∴2h a+a＞b+c，同理，2h b+b＞c+a，2h c+c＞a+b，∴2（h a+h b+h c）＞（a+b+c），又h a＜b，h b＜c，h c＜a，∴h a+h b+h c＜a+b+c∴U＜1故＜U＜1．故答案为：＜U＜1，8．如图已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于O ，若S △AOB =4，S △COD =9，则四边形ABCD 的面积的最小值为 25 ．【分析】先根据正弦定理及三角形的面积公式表示出△AOB 及△COD 的面积，再求出四边形ABCD 面积的表达式，根据均值公式即可得出其最小值． 【解答】解：由题得：∵S △AOB ==4，S △COD ==9，∴=4， =9，∴×=4×9=36， 即：=36，∴S 四边形ABCD =S △AOB +S △COD +S △AOD +S △BOC =13++≥13+2×=13+2=13+2×6=25，当且仅当：=时取等号．∴S △AOD =S △BOC =6时，∴四边形ABCD 的面积最小值为25． 故答案为：25．9．四边形ABCD 的四边长为AB=，BC=，CD=，DA=，一条对角线BD=，其中m ，n 为常数，且0＜m ＜7，0＜n ＜5，那么四边形的面积为（mn ﹣5m ﹣4n +62） ．【分析】作矩形A′B′C′D′，并且A′B′=7，B′C′=6；点A 在A′B′上，AA′=4，点B 在B′C′上，BB′=5，D 在A′D′上，A′D=n ，C 在D ′C 上，D′C=m ，作DE ⊥B′C′于E 点，则AB==，BC=，CD=，DA=，BD=，根据四边形ABCD 的面积=S 矩形A′B′C′D′﹣S △A′AD ﹣S △ABB′﹣S △C′CB﹣S △D′DC ，利用矩形和三角形的面积公式即可计算出所求四边形的面积． 【解答】解：作矩形A′B′C′D′，并且A′B′=7，B′C′=6；点A 在A′B′上，AA′=4，点B 在B′C′上，BB′=5，D 在A′D′上，A′D=n ，C 在D′C 上，D′C=m ，如图，过D 作DE ⊥B′C′于E 点， ∴AB==，BC=，CD=，DA=，BD=，∴四边形ABCD 的面积=S 矩形A′B′C′D′﹣S △A′AD ﹣S △ABB′﹣S △C′CB ﹣S △D′DC =7×6﹣×4×n ﹣×3×5﹣×1×（7﹣m ）﹣×m ×（6﹣n ）=（mn ﹣5m ﹣4n +62）． 故答案为（mn ﹣5m ﹣4n +62）．三．解答题（共2小题）10．如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线．（1）三角形有 无数 条面积等分线，平行四边形有 无数 条面积等分线；（2）如图①所示，在矩形中剪去一个小正方形，请画出这个图形的一条面积等分线；（3）如图②，四边形ABCD 中，AB 与CD 不平行，AB ≠CD ，且S △ABC ＜S △ACD ，过点A 画出四边形ABCD 的面积等分线，并写出理由．【分析】（1）读懂面积等分线的定义，得出三角形的面积等分线；平行四边形的一条对角线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线；（2）由（1）知，矩形的一条对角线所在的直线就是矩形的一条面积等分线； （3）能．过点B 作BE ∥AC 交DC 的延长线于点E ，连接AE ．根据“△ABC 和△AEC 的公共边AC 上的高也相等”推知S △ABC =S △AEC ；然后由“割补法”可以求得S 四边形ABCD =S △ACD +S △ABC =S △ACD +S △AEC =S △AED ．【解答】解：（1）在△ABC 中，做BC 的中线AD ，在这BC 上任意取一点E ，并将其与顶点A 相连，过中点D 做它的平行线，交AC 与点F ，连接EF ，即是△ABC 的面积等分线．因为连接EF ，设EF 与AD 交于点O ，作中线后，△ABD 与△ACD 的面积相等，即S四边形ABEO+S △EOD =S △AFO +S 四边形FODC ．作平行线后，连接EF ，设EF 与AD 交于点O ，则△AOF 与△EOD 面积相等，那么S四边形ABEO+S △AFO =S △EOD +S四边形FODC，即S四边形ABEF=S △EFC ，因此直线EF 将△ABC 分成了面积相等的两部分，是三角形的面积等分线．因此，按这样的做法，可以作无数条三角形的面积等分线；对于平行四边形应该有无数条，只要过两条对角线的交点的直线都可以把平行四边形的面积分成2个相等的部分；故答案是：无数；无数；（2）如图①所示：连接2个矩形的对角线的交点的直线即把这个图形分成2个相等的部分．即OO′为这个图形的一条面积等分线；（3）如图②所示．能，过点B 作BE ∥AC 交DC 的延长线于点E ，连接AE ． ∵BE ∥AC ，∴△ABC 和△AEC 的公共边AC 上的高也相等， ∴有S △ABC =S △AEC ，∴S 四边形ABCD =S △ACD +S △ABC =S △ACD +S △AEC =S △AED ； ∵S △ACD ＞S △ABC ，所以面积等分线必与CD 相交，取DE 中点F ，则直线AF 即为要求作的四边形ABCD 的面积等分线．11．如图1，点P 是△ABD 中AD 边上一点，当P 为AD 中点时，则有S △ABP =S△ABD，如图2，在四边形ABCD 中，P 是AD 边上任意一点，探究：（1）当AP=AD 时，如图3，△PBC 与△ABC 和△DBC 的面积之间有什么关系？写出求解过程；（2）当AP=AD 时，探究S △PBC 与S △ABC 和S △DBC 之间的关系，写出求解过程； （3）一般地，当AP=AD （n 表示正整数）时，探究S △PBC 与S △ABC 和S △DBC之间的关系，写出求解过程；（4）当AP=AD （0≤≤1）时，直接写出S △PBC 与S △ABC 和S △DBC 之间的关系．【分析】（1）根据AP=AD ，△ABP 和△ABD 的高相等，得出△CDP 和△CDA 的高相等，进而得出S △PBC =S 四边形ABCD ﹣S △ABP ﹣S △CDP ，整理求出即可； （2）仿照（1）的方法，只需把换为；（3）注意由（1）（2）得到一定的规律；得到面积和线段比值之间的一般关系；（4）利用（3），得到更普遍的规律．【解答】解：（1）当AP=AD时（如图②）：∵AP=AD，△ABP和△ABD的高相等，∴S△ABP =S△ABD．∵PD=AD﹣AP=AD，△CDP和△CDA的高相等，∴S△CDP =S△CDA．∴S△PBC =S四边形ABCD﹣S△ABP﹣S△CDP=S四边形ABCD﹣S△ABD﹣S△CDA=S四边形ABCD﹣（S四边形ABCD﹣S△DBC）﹣（S四边形ABCD﹣S△ABC）=S△DBC+S△ABC．（2）∵AP=AD，△ABP和△ABD的高相等，∴S△ABP =S△ABD．又∵PD=AD﹣AP=AD，△CDP和△CDA的高相等，∴S△CDP =S△CDA．∴S△PBC =S四边形ABCD﹣S△ABP﹣S△CDP=S四边形ABCD﹣S△ABD﹣S△CDA=S四边形ABCD﹣（S四边形ABCD﹣S△DBC）﹣（S四边形ABCD﹣S△ABC）=S△DBC+S△ABC．∴S△PBC =S△DBC+S△ABC（3）S△PBC =S△DBC+S△ABC；∵AP=AD，△ABP和△ABD的高相等，∴S△ABP =S△ABD．又∵PD=AD﹣AP=AD，△CDP和△CDA的高相等，∴S△CDP =S△CDA∴S△PBC =S四边形ABCD﹣S△ABP﹣S△CDP=S四边形ABCD﹣S△ABD﹣S△CDA=S四边形ABCD﹣（S四边形ABCD﹣S△DBC）﹣（S四边形ABCD﹣S△ABC）=S△DBC+S△ABC．∴S△PBC =S△DBC+S△ABC（4）S△PBC =S△DBC+S△ABC．。