4）v<<C时，退化为宏观低速物体遵循的伽利略变换
5）速度有极限
v≤c
H.Yin
例题4-1
甲乙两人所乘飞行器沿ox 轴作相对运动。甲测得 两 个 事 件 的 时 空 坐 标 为 x1=6×104m ， y1=z1=0 ， t1=2×10-4 s ； x2=12×104m， y2=z2=0， t2=1×10-4 s，若 乙测得这两个事件同时发生于t´ 时刻，问：
c
v ux
H.Yin
§4-2 相对论速度变换
dt′
=
1−
v c2
ux
dt
1−
v2 c2
由洛仑兹变换知
vy'=
dy′ dt ′
= dy dt ′
dy
=
dt dt′
dt
同样得
u′
v ux
u′y
=
uy
1
−
v c2
ux
1
−
v2 c2
u′z
=
1−
uz v c2
ux
1
−
v2 c2
H.Yin
u
(∵ dt ≠ dt' )
u = u'+ v
1
+
v c2
u'
伽利略速度变换
u' = u − v, u = u'+ v
4，保证了光速不变
H.Yin
例题4-2
在地面上测到有两个飞船A、B分别以 +0.9c 和-0.9c的速度沿相反的方向飞行, 如图所示。求飞 船A相对于飞船B 的 速度有多大。
y′
y
x
②光从G1 ②光从M2
c2 − v2
c
M2 G1
−v
c
光速 光速
c2 − v2
c2 − v2
M2
②
M1
G1 G2
①
−v
c2 − v2
v
以太风
H.Yin
§4.1 狭义相对论基本原理 洛仑兹变换
来回时间
t2 =
2l2 c2 − v2
两束光到望远镜的时间差：
=
2l2
1
c
⎛ ⎜ ⎝
1
−
v2 c2
⎞2 ⎟ ⎠
§4.1 狭义相对论基本原理 洛仑兹变换
(三) 绝对时空观遇到挑战 19世纪,一些人认为电磁波和机械波一样,是在某 一种媒质中传播的,该媒质被称为“以太”.认为以太 是绝对静止的,并弥漫于整个宇宙间,无色无味,具有极 大的弹性模量,但又不产生任何阻力等一些特性。 在茫茫以太的海洋中漂泊的观察者乘坐的航船是地 球,地球以怎样的速度在以太的海洋中航行,在其中飞行 的地球上应该感到迎面吹来的以太风。如果在地面上让 光线在平行和垂直于以太风的方向上传播,它们应有不 同的速度。
为0.90c 。问：从地面上看，物体速度多大？多久到船
头？
S
解：选飞船参考系为 S ′ 系
地面参考系为 S系
v = 0 .8 0 c u′x = 0.90c
S′v
x1
)
按题意， t 2′ − t 1′ = 0 , 代入已知数据，有
0
=
(1× 10−4
−
2 × 10−4 )
−
v c2
(12× 104
−
6× 104
)
1
−
v2 c2
H.Yin
3
由此解得乙对甲的速度为 （2）根据洛仑兹变换
例题4-1解
v=− c 2
x′ = 1 ( x−vt)
1− β 2
可知, 乙所测得的两个事件的空间间隔是
在经典力学中，长度、时间及质量都和运动无 关，是与观察者不变量——绝对时空
——牛顿力学的基础
H.Yin
§4.1 狭义相对论基本原理 洛仑兹变换
惯性参考系之间的时空变换——伽利略变换
(一) 伽利略变换
⇒绝对时空观的具体体现
变换：描写同一事件两个参照系时空坐标之间的关系
设惯性系S 、惯性系S′（相对S以v 沿x 正向匀速运动)
解：S系(地球) Δx = x2 − x1 = ? v = 0.8c
S′系(飞船) Δx′ = x′2 − x1′ = 90m
Δt′ =
Δx′ c
=
90 3 × 108
= 3 × 10−7 s
Δx = γ (Δx′ + vΔt′) = 270m
H.Yin
§4-2 相对论速度变换
定义
ux
=
dx dt
dx′ = dx′ dt
B
A
0.9c
0.9c
x′
H.Yin
例题4-2解
设K系被固定在飞船B上，则飞船B在其中为静止， 而地面对此参考系以v=0.9c 的速度运动。以地面为参考 系K’，则飞船A相对于K’系的速度按题意为u’x=0.9c ， 可求得飞船Au对x K=系1u+的′x v+速cuv2′x度=，0亦.99即4c相对于飞船B的速度：
§4.1 狭义相对论基本原理 洛仑兹变换
x′ =
x − vt
, y′ = y
, z′ =
z,t′ =
t−
v c2
x
1
−
v2 c2
1−
v2 c2
3）四维时空间隔的平方对洛仑兹变换是不变量
ds 2 = (cΔt )2 − (Δx)2 − (Δy)2 − (Δz)2 =
= ds′2 = (cΔt' )2 − (Δx' )2 − (Δy' )2 − (Δz' )2
则
x′ = γ ( x − vt )
x = γ ( x′ + vt′)
y′ = y z′ = z
y = y′ z = z′
t′ = γ
⎛ ⎜⎝
t
−
β c
x
⎞ ⎟⎠
t
=
γ
⎛ ⎜⎝
t
′
+
β c
x
′
⎞ ⎟⎠
1）洛仑兹变换是爱因斯坦狭义相对论两个基本假定 的必然结果
2）时间(t，t’)与空间(x,x’)、速度(v)相关，非独立 H.Yin
Δt
=
t2
−
t1
=
2l2
c
⎛ ⎜ ⎝
1
−
v c
2 2
⎞1/ 2 ⎟ ⎠
−
2l1
c
⎛ ⎜ ⎝
1
−
v2 c2
⎞ ⎟ ⎠
3.将仪器旋转90°两路光到望远镜的时间差为：
Δt ' = t '2 − t '1
= 2l2 −
2l1
c
⎛ ⎜ ⎝
1
−
v2 c2
⎞ ⎟ ⎠
c
⎛ ⎜1 ⎝
−
v2 c2
⎞1/ 2 ⎟ ⎠
H.Yin
x′ = x − vt
1−
v2 c2
正
y′ = y
x = x '+ vt '
1−
v2 c2
y = y' 逆
变
z′ = z
换
t′ =
t−
v c2
x
1−
v2 c2
z = z' 变
t
=
t '+
v c2
x'
换
1−
v2 c2
H.Yin
令 §4.1 狭义相对论基本原理 洛仑兹变换
β≡v c
γ≡ 1 1− β 2
测量发生在两地事件 用置于两地的同步校准时钟 实质：对两地事件的测量是不同地、不同钟的时空测量
{ 测量技术：长度测量：同时记录两端点位置间距离 时间测量：事件发生时刻由当地钟来标识 2，洛仑兹变换
两个条件：满足相对性原理及光速不变原理；
质点速度远小于光速时，退化为伽利略变换 H.Yin
§4.1 狭义相对论基本原理 洛仑兹变换
正 ⎪⎪ y′ = y
变 换
⎨ ⎪
z′ = z
伽利略⎪⎩速度t′变=换t 式
逆 变
⎪⎪ ⎨
换⎪
y = y′ z = z′
⎪⎩ t = t′
ums′ = ums + uss′
时间测量的 绝对性
正 变
⎧ ⎪ ⎨
u′x = u′y
ux − = uy
v
换⎪ ⎩
u′z = uz
逆 变
⎧ ⎪ ⎨
ux = uy
u′x + = u′y
（1）乙对于甲的运动速度是多少？ （2）乙所测得的两个事件的空间间隔是多少？
解：（1）设乙对甲的运动速度为 v ，由洛仑兹变换
t′ =
1 1− β
2
⎛ ⎜⎝
t
−
v c2
x
⎞ ⎟⎠
H.Yin
例题4-1解
可知, 乙所测得的这两个事件的时间间隔是
t2′
−
t1′
=
( t2
−
t1
)
−
v c2
(
x2
1− β2
−
t=0时刻，O、O´重合
t时刻，物体到达P点
YY
(x, y, z,t)
s
v
s' t
v P .( x ′, y ′, z ′, t ′)
Z
OO Z
x
x
X
X
H.Yin
§4.1 狭义相对论基本原理 洛仑兹变换
伽利略坐标变换式
Δrms′ = Δrms + Δrss′
⎧ x′ = x − vt