第四章 习题参考解答习题4-11、下列各方程中,哪些是微分方程,哪些不是微分方程?若是微分方程，请指出其阶数（1）是一阶微分方程；（2）不是微分方程；（3）是一阶微分方程；（4）是二阶微分方程；（5）是一阶微分方程；（6）是一阶微分方程。

2、在下列各题所给的函数中，检验其中哪个函数是方程的解?是通解还是特解?（1）（B ）是特解 （C ）是通解；（2）(A)是特解 （B ）是通解；（3）（A ）是通解（B ）是特解3、求下列各微分方程在指定条件下的特解（1）解：x x x y xe dx xe e dx ==-⎰⎰(1)x y e x C ∴=-+将(0)1y =代入上式，得2C =故满足初始条件的特解为：2)1(+-=x e y x（2）解：C x xdx y +==⎰ln 将(1)1y =代入上式，得1C = 故满足初始条件的特解为：1ln +=x y4、写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程（1）解：设曲线为)(x y y =由条件得2x y ='（2）解：设曲线为)(x y y =，则曲线上点),(y x P 处的法线斜率为yk '-=1 由条件知PQ 中点的横坐标为0，所以Q 点的坐标为)0,(x -，从而有01()y x x y -=-'--即：20yy x '+= 注：DQPDk =习题4-21、求下列微分方程的通解（1）sec (1)0x ydx x dy ++= 解：原方程变形为：cos 1xydy dx x =-+积分：11cos 1x ydy dx x +-=-+⎰⎰ 得：sin ln 1y x x C =-+++ 所求的通解为：C y x x =++-sin 1ln（2）10x ydy dx += 解：原方程变形为：1010x y dydx = 积分：1010xy dydx =⎰⎰ 得：1111010ln10ln10y x C -=+所求的通解为：1010x y C --=（3）ln y y y '= 解：原方程变形为：ln dydx y y = 积分：1ln dydx y y =⎰⎰ 得：ln ln y x C =+，2ln x y C e =所求的通解为：x Ce y e =注：21,2C C e C e C ==；（4）tan cot ydx xdy =解：原方程变形为：cot tan ydy xdx =积分：cos sin sin cos y x dy dx y x=⎰⎰ 得：1ln sin ln cos y x C =-+所求的通解为：sin cos y x C =2、求下列微分方程满足给定初值条件的解（1）2(1)0y dx x dy ++=，(0)1y = 解：原方程变形为：21dy dxy x -=+ 积分：21dydx y x -=+⎰⎰ 得：1ln 1x C y =++将(0)1y =代入上式，得1C = 所求的特解为：11ln 1++=x y（2）(1)y y y '=-，(0)1y = 解：原方程变形为：(1)dydx y y =- 积分：11()1dy dx y y -=-⎰⎰ 得：1ln y x C y -=+，即 1x y Ce y -=将(0)1y =代入上式，得0C =所求的特解为：1=y（3）011xydx dy y x -=++，(0)1y =解：原方程变形为：(1)(1)y y dy x x dx+=+积分：22()()y y dy x x dx +=+⎰⎰得：232311112323y y x x C +=++ 将(0)1y =代入上式，得56C = 所求的特解为：523233232++=+x x y y（4）sin cos cos sin y xdy y xxdx =，(0)4y π=解：原方程变形为：tan tan ydy xdx =积分：tan tan ydy xdx =⎰⎰ 得：1ln cos ln cos y x C =+ 即：cos cos y C x =将(0)4y π=代入上式，得2C = 所求的特解为x y cos cos 2=（5）2222()()0y xy dx x yx dy +-+=，(1)1y =- 解：原方程变形为：2211y x dy dx y x ++= 积分：221111()()dy dx y y x x +=+⎰⎰ 得：11ln ln y x C y x-+=-++ 即：0ln 11=++-C yx x y 将(1)1y =-代入上式，得2C = 所求的特解为：02ln 11=++-yx x y 3、一曲线通过点(2,3)，它在两坐标轴间的任意切线线段均被切点平分，求该曲线的方程 解：设所求曲线方程为：()y f x = 由题意得：2tan 2y y y x xθ'=-=-=- 且满足：(2)3y = 将方程变形为：dy dx y x =- 积分：dy dx y x=-⎰⎰ 得：1ln xy C = 即：1C xy e C =±=将(2)3y =代入上式得6C =故所求曲线为：6=xy 注：y k y x'=- 4、设将质量为m 的物体在空气中以速度0v 竖直上抛，空气阻力为22k v ，这里k 为常数，v 为运动速度，求速度v 与时间t 的函数关系解：设所求速度v 与时间t 的函数关系为：()v v t =由牛顿第二定律知22ma mg k v =-- 即：22dv m mg k v dt=--且满足：0(0)v v = 分离变量得：dt dv v k mg m -=+22积分：22()()md kv t C k kv =-++⎰t C =-+将0(0)v v =代入上式得C =所求的函数关系为：)v = 5、求下列微分方程的通解（1）233()0x ydx x y dy -+= 解：原方程变形为：233dy x ydx x y =+ 即：31()ydy xydx x =+，令yu x = 代入上式得：31duuu x dx u +=+ 即：341u dxdu u x +=- 积分：411()ln du x C u u +=-+⎰ 得：31ln 3xu C u -= 所求的通解为：C y x y =-333ln（2）(cos )cos 0yyx y dx x dy x x +-= 解：原方程变形为：x yx y dx dy +=sec 令yu x =，代入上式得：sec duu x u u dx +=+ 即：cos dxudu x = 积分得：1sin ln u x C =+ 所求的通解为：C x yx =-sin ln（3）tan yxy y x x '-=+解：原方程变形为：x y x y y tan +=' 令y u x=，代入上式得： tan du u x u u dx+=+ 即：cot dx udu x= 积分得：ln sin ln ln u x C =+ 即：siny x C x = 所求的通解为：siny Cx x= （4）()ln()x y xy y x y x+'-=+ 解：原方程变形为：(1)ln(1)y y y y x x x'=+++ 令y u x=，代入上式得： (1)ln(1)du u x u u u dx +=+++ 即：(1)ln(1)du dx u u x=++ 积分得：ln ln(1)ln ln u x C +=+ 所求的通解为：lnx y Cx x+= 6、求下列微分方程满足所给初值条件的特解（1）y y y x x'=+，(1)2y = 解：令y u x=，代入原方程得 1du u x u dx u +=+，即：dx udu x= 积分得：21ln 2u x C =+ 即：)(ln 222C x x y +=又由初始条件(1)2y =得2C = 故满足初始条件的特解为：)2(ln 222+=x x y（2）22()2dy x y xy dx+=，(0)1y = 解：原方程变形为：xy y x dx dy +=2 令y u x =，代入上式得：21du u x dx u u+=+ 即：221()1u dx du u u x +=- 积分得：2ln 1ln ln ln u u x C --+=+ 即：22ln ln y C x y =-，也即C y x y =-22 又由初始条件(0)1y =，得：1C =-故满足初始条件的特解为：022=--x y y（3）xy y '=，(1)1y =解：原方程变形为：dy y dx x = 令y u x =，代入上式得：du u x u dx+=即：du x dx=dx x= 即：arcsin ln u x C =+，也即arcsinln y x C x =+ 又由初始条件(1)1y =，得：2C π=arcsin ln 2y x x π∴=+ 又因为112≠-u u du中要求，即y x ≠而y x =仍是原方程的解 故满足初始条件的特解为：arcsin ln 2y x x π=+或y x = （4）()()0x y dx y x dy ++-=，(1)0y =解：原方程变形为：xy x ydx dy -+=11 令y u x =，代入上式得：11du u u x dx u++=- 即：211u dx du u x-=+ 积分得：21arctan ln(1)ln 2u u x C -+=+即：arctan y C x = 又由初始条件(1)0y =，得：0C = 故满足初始条件的特解为：)ln(21arctan 22y x x y += 7、求下列微分方程的通解（1） 2cos tan dy x y x dx+= 解法1：由2cos 0dy x y dx+= 分离变量：21cos dy dx y x=- 积分：1ln tan y x C =-+即：tan x y Ce -=设原方程具有形式为tan ()x y C x e -=的解 代入原方程得：tan 2tan ()cos x x C x e x -'=即tan tan 2tan ()tan ()cos x x x C x e dx xd e x==⎰⎰ tan tan tan tan tan (tan )tan x x x x xe e d x xe e C=-=-+⎰()tan tan tan tan x x x y xe e C e -∴=-+ 所求的通解为：tan tan 1x y x Ce -=-+解法2：22()sec ,()tan sec p x x q x x x ==⋅22sec sec 2tan sec xdx xdx y e x x e dx C -⎡⎤⎰⎰∴=⋅+⎢⎥⎣⎦⎰即tan 2tan tan sec x x y e x x e dx C -⎡⎤=⋅⋅+⎣⎦⎰ 所求的通解为：tan tan 1x y x Ce -=-+ （２）ln xxy y x '-=解法1：由0xy y '-= 分离变量：dy dxy x = 积分：1ln ln ln y x C =+，得y Cx = 设原方程具有形式为()y C x x =的解 代入原方程得1()ln C x x x '= 即：1()ln ln ln C x dx x C x x ==+⎰ 所求的通解为：()ln ln y x x C =+ 解法2：11(),()ln p x q x x x =-=111ln dx dx x x y e e dx C x -⎡⎤⎰⎰∴=+⎢⎥⎣⎦⎰ 即：1ln y x dx C x x ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎰ 所求的通解为：()ln ln y x x C =+ （３）122x x x y y x e -'-= 解法1：由20x y y '-= 分离变量：2dydxy x = 积分：11ln y C x =-+，得1x y Ce -= 设原方程具有形式为1()x y C x e -=的解 代入原方程得：11()x x x C x e e --'=即：()x C x e C =+所求的通解为：()1x xy e C e -=+解法2：121(),()x x p x q x e x-=-= 22111dx dx x x x x y e e edx C --⎡⎤⎰⎰∴=⋅+⎢⎥⎣⎦⎰ 即：()1xx y e e dx C -=+⎰ 所求的通解为：11x x xy eCe --=+ （４）sin xy y x '+= 解法1：由0xy y '+= 分离变量：dy dx y x=- 积分：1ln ln ln y x C =-+，得C y x =设原方程具有形式为()C x y x=的解 则2()()C x x C x y x '-'= 代入原方程得：()sin C x x '=()cos C x x C ∴=-+ 所求的通解为：1(cos )y x C x=-+ 解法2：1sin (),()x p x q x x x == 11sin dx dx x x x y e e dx C x -⎡⎤⎰⎰∴=+⎢⎥⎣⎦⎰ 即：1sin y xdx C x⎡⎤=+⎣⎦⎰ 所求的通解为：1(cos )y x C x=-+ ８、求下列微分方程满足所给初值条件的特解 （１）tan sec (0)0dy y x x y dx-==， 解法1：由tan 0dy y x dx -=分离变量：tan dy xdx y= 积分：1ln ln cos ln y x C =-+，得cos C y x =设原方程具有形式为()cos C x y x=的解 则2()cos ()sin cos C x x C x x y x'+'= 代入原方程得：()sec cos C x x x'=，()C x x C ∴=+ 通解为：cos x Cy x +=又由初始条件(0)0y =，得0C =故满足初始条件的特解为：x x y sec =解法2：()tan ,()sec p x x q x x =-=tan tan sec xdx xdx y e x e dx C -⎡⎤⎰⎰=⋅+⎢⎥⎣⎦⎰即：sec y x dx C ⎡⎤=+⎣⎦⎰所以其通解为：sec ()y x x C =+又由初始条件(0)0y =，得0C =故满足初始条件的特解为：x x y sec = （２）23231(1)0dy x y y dx x -+==，解法1：由23230dyx y dx x -+= 分离变量：2332dy x dx y x -= 积分：3121ln ln y x C x =++，213x y Cx e ∴= 设原方程具有形式为213()x y C x x e =的解 代入原方程得：13()1x C x x e '=211()2x C x e C -∴=+ 通解为：11133311()22x x x y x e e C Cx e x -=+=+ 又由初始条件(1)0y =，得12C e=- 故满足初始条件的特解为：13112x x y e --⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭解法2：2323(),()1x p x q x x-== 22332323x x dx dx x x y e e dx C ---⎡⎤⎰⎰∴=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰ 即：2233x x e y x e dx C x ---⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰ 所以其通解为：2232x x e y x e C ---⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦又由初始条件(1)0y =，得12C e=- 故满足初始条件的特解为：213112x x y e --⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭（３）212(2)22y y x y x '-=-=--，(1) 解法1：由102y y x '-=- 分离变量：2dy dx y x =- 积分：1ln ln 2ln y x C =-+，()2y C x =-设原方程具有形式为()()2y C x x =-的解代入原方程得：()2()22(2)C x x x '-=-2()(2)C x x C =-+通解为：()2(2)2y x C x ⎡⎤=-+-⎣⎦又由初始条件(1)2y =-，得1C =故满足初始条件的特解为：1013623-+-=x x x y解法2：21(),()2(2)2p x q x x x =-=-- 112222(2)dx dx x x y e x e dx C ---⎡⎤⎰⎰∴=-+⎢⎥⎣⎦⎰即：(2)2(2)y x x dx C ⎡⎤=--+⎣⎦⎰所以其通解为：2(2)(2)y x x C ⎡⎤=--+⎣⎦又由初始条件(1)2y =-，得1C =故满足初始条件的特解为：1013623-+-=x x x y （４）1610sin 2(0)2dI I t I dt -=-=， 解：()6,()10sin 2p t q t t =-=-66(10sin 2)dt dt I e t e dt C -⎡⎤⎰⎰∴=-+⎢⎥⎣⎦⎰ 即：6610sin 2t t y e e tdt C -⎡⎤=-⋅+⎣⎦⎰ 所以其通解为：()663sin 2cos 22t te y e t t C -⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦ 又由初始条件1(0)2I =，得0C = 故满足初始条件的特解为：)2cos 2sin 3(21t t I += ９、一曲线的切线在纵轴上的截距总等于切点的横坐标，求此平面曲线的方程解：tan AO x y y k BO x α-'==-=-=- 11y y x'∴-=- 而1(),()1p x q x x=-=-(1)dx dx x x y e e dx C -⎡⎤⎰⎰∴=-+⎢⎥⎣⎦⎰ 即：dx y x C x ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦⎰ 所以其通解为：(ln )y x x C =-+习题4-31、求下列微分方程的通解（1）2(4)10x y += 解：变形得(4)21y x =- 11y C x'''=+ 12ln y x C x C ''=++21231ln 2y xdx C x C x C '=+++⎰ 212321231ln 21ln (1)2x x x C x C x C x x C x C x C =-+++=++-+ 32123411ln (1)62y x xdx C x C x C x C =++-++⎰ 223212341111ln (1)2462x x x C x C x C x C =-++-++ 即 4322312ln 21C x C x C x C x x y ++++= （2）21()y y '''=+解：令y z '=，y z '''∴=原方程为：21z z '=+ 即：21dz dx z=+ 积分：1tan()z x C =+∴ )tan(1C x y +=' 所以211)cos(ln )tan(C C x dx C x y ++-=+=⎰（3）1y y x'''= 解：令y z '=，则y z '''= 原方程为：z z x'=，即dz dx z x = ∴1z C x =，即：1y C x '= 所求为：21212y C x C =+ （4）y y x '''=+解：令y z '=，则y z '''=原方程为：x z z +='此为一阶线性微分方程，()1,()p x q x x =-=故1dx dx z e xe dx C -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰()1x x e xe dx C -=+⎰ 11()1x x x x e xe e C C e x --=--+=--即11--='x e C y x 所以原方程的通解为：22121C x x e C y x +--= （5）22()0yy y y y ''''--=解：令y z '=，则dz y z dy ''=⋅ 原方程为：220dz yz z y z dy--= 即：1(0)dz z y z dy y-=≠ 此为一阶线性微分方程，y y q yy p =-=)(,1)( 故111dy dy y y z e ye dy C -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰ ()11()y dy C y y C =+=+⎰∴1()y y y C '=+，即1111dy C dx y C y ⎛⎫-= ⎪+⎝⎭⎰⎰ 所以原方程的通解为：121lny C x C y C =++ （6）310y y ''-=令y z '=，则dz y z dy ''=⋅ 原方程为：310dz y zdy ⋅-= 即：3dy zdz y =积分： 221z y C-=-+∴y '=dx =积分：21C dx =⎰∴12()C x C =+所以原方程的通解为：()221121C y C x C -=+2、求下列微分方程满足所给初值条件的特解（1）2()0y a y '''-=，()(0)0,(0)1,0y y a '==-≠ 解法1：令y z '=，则y z '''= 原方程为：20dz a z dx-= 分离变量:：2(0)dz ady z z =≠ ∴11ax C z -=+，即：11ax C y -=+'将(0)1y '=-代入上式，得11C =∴11y ax '=-+ 积分：21ln(1)y ax C a =-++ 又将(0)0y =代入上式，得20C = 故满足初始条件的特解为：1ln(1)y ax a=-+ 解法2：令y z '=，则dz y z dy ''=⋅原方程为：20dz z a z dy-= 分离变量:：(0)dz ady z z =≠ 积分：1ay C z e +=±∴1ay y C e '=将(0)1y '=-代入上式，得11C =-∴ay y e '=-分离变量：ay e dy dx -=- 积分：21ay e x C a--=-+ 又将(0)0y =代入上式，得21C a=- 故满足初始条件的特解为：)1ln(1+-=ax ay （2）2()1y y '''+=，(0)0,(0)0y y '==解：令y z '=，则dz y z dy ''=⋅原方程为：21dz zz dy += 分离变量：()211zdz dy z z =≠±-积分：2211y z C e -=+∴y '=将(0)0y'=代入上式得：11C=-∴y'=dx=±积分：ydx=±⎰∴(2ln y e x C=±+又将(0)0y=代入上式得：2C=故所求为：(ln y e x=±即：y xe e±=（3）2(1)2x y xy'''+=，(0)1,(0)3y y'==解：令y z'=，则y z'''=原方程为：xzzx2)1(2='+分离变量：()221dz xdxzz x=≠+积分：21(1)z C x=+由(0)3y'=，得13C=∴23(1)y x'=+积分：323y x x C=++又由(0)1y=，得21C=故满足初始条件的特解为：133++=xxy3、设有一质量为m的物体，在空气中由静止开始下落，如果空气阻力为22R k v=，其中v为物体运动速度，k为一常数,试求物体下落的距离s与时间t的函数关系。