第十二周习题课一．关于积分的不等式 1． 离散变量的不等式 （1）Jensen不等式：设)(x f 为],[b a 上的下凸函数，则1),,,2,1),1,0(],,[1==∈∀∈∀∑=nk k k k n k b a x λλΛ，有2),(11≥≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑==n x f x f k nk k k n k k λλ （2）广义AG 不等式：记x x f ln )(=为),0(+∞上的上凸函数，由Jesen 不等式可得1),,,2,1),1,0(,01==∈∀>∑=nk k k k n k x λλΛ，有∑==≤∏nk k k k nk x x k11λλ当),2,1(1n k nk Λ==λ时，就是AG 不等式。

（3）Young 不等式：由（2）可得设111,1,,0,=+>>q p q p y x ，qyp x y x q p +≤11。

（4）Holder 不等式：设111,1,),,,2,1(0,=+>=≥qp q p n k y x k k Λ，则有 qnk q k pn k p k n k k k y x y x 11111⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===在（3）中，令∑∑======nk qk n k p k p k p k y Y x X Y y y X x x 11,,,即可。

（5） Schwarz 不等式：211221121⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===nk k nk k n k k k y x y x 。

（6）Minkowski 不等式：设1),,,2,1(0,>=≥p n k y x k k Λ，则有()pnk p k pnk p k pnk p k k y x y x 111111⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∑∑=== 证明：()()()()()∑∑∑∑=-=-=-=+++=+⋅+=+nk p k k k nk p k k k nk p k k k k nk pk ky x y y x x y x y x y x1111111记111,11=+>-=qp p p q ，由Holder 不等式 ()()()qnk p q k k pnk p k qnk p q k k pnk p k nk p k ky x y y x x y x11)1(1111)1(111⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛≤+∑∑∑∑∑=-==-==()q n k p k k p n k p k p n k p k y x y x 111111⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑=== 即：()pnk p k pnk p k pnk p k ky x y x 111111⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∑∑===。

2． 相应的积分不等式（1） Schwarz 积分不等式：],[,b a R g f ∈，则有⎰⎰⎰⋅≤⎪⎭⎫ ⎝⎛bab ab a dx x g dx x f dx x g x f 222)()()()( （2） Holder 积分不等式：],[,b a R g f ∈，111,1,=+>qp q p ，则有 qba qpba p badx x g dx x f dx x g x f 11)()()()(⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎰⎰⎰证明：n 等分],[b a ，由Holder 不等式,qnk q k pnk p k nk k k g f g f 11111)()()()(⎪⎭⎫⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===ξξξξqnk p k pnk p k nk k k n a b g n a b f n a b g f 11111)()()()(⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤-∑∑∑===ξξξξ +∞→n ,Riemann 积分的定义，qba q pba p ba dx x g dx x f dx x g x f 11)()()()(⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎰⎰⎰。

（3） Minkowski 积分不等式：],[,b a R g f ∈，1≥p ，则有pba ppba ppba pdx x g dx x f dx x g x f 111)()()()(⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰⎰证明：可以用Holder 不等式证明。

（4） Young 积分不等式：设),0[+∞∈C f 严格单调增，)(,0)0(1x ff -=为)(x f 的反函数，则有),0,(,)()(010>≥+⎰⎰-b a ab dx x f dx x f ba其中等号当且仅当b a f =)(是成立。

（证明需要用到Riemann 积分的定义）。

3． 用上述积分不等式证明另外的积分不等式例.1 设函数],[b a C f ∈，M x f m ≥≤<)(0，证明222)(4)()(1)()(a b mMM m dx x f dx x f a b baba-+≤⋅≤-⎰⎰ 证明：用Schward 不等式()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅=⋅⎰⎰⎰⎰⎰b a ba ba babadx x f x f dx x f dx x f dx x f dx x f )(1)()(1)()(1)(22 2)(a b -=0)(])(][)([≤--x f M x f m x f故 M m x f mMx f +≤+)()( 积分：))(()()(a b M m dx x f mMdx x f baba-+≤+⎰⎰。

AG 不等式：⎰⎰⎰⎰⋅≥+b a b a babadx x f dx x f mM dx x f mMdx x f )(1)(2)()(。

))(()(1)(2a b M m dx x f dx x f mMb a ba-+≤⋅⎰⎰， 22)(4)()(1)(a b mMM m dx x f dx x f baba-+≤⋅⎰⎰例.2 设函数0)0(],,[)1(=∈f b a C f 。

证明：⎰⎰'-≤b a badx x f a b dx x f 222)]([)(21)(。

证明：0)0(],,[)1(=∈f b a C f ，],[,)()(b a x dt t f x f xa∈'=⎰由Schward 不等式，[][]⎰⎰⎰⎰'-≤⋅'≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡'=b a x a x a b a dt t f a x dt dt t f dt t f x f 2222)()()()()( 积分，[][]⎰⎰⎰⎰'-='-≤baba ba badt t f a b dt t f dx a x dx x f 2222)(2)()()()(。

⎰⎰⎰-'-'-≤b a b a ba dx a x x f dx x f ab dx x f 2222)])(([21)]([)(21)(。

证明：记⎰⎰⎰--'-'-=x a x ax a dt t f dt a t t f dt t f a x x F )()])(([21)]([)(21)(2222，0)(=a F ，)()]([)()(22x f dt t f a x x F xa-'-='⎰，0)(='a F ，[])()(2)()()]([)(22x f x f x f a x dt t f x F xa'-'-+'=''⎰)]()([)()(2)]([)]([22≥'-'=''-'+'=⎰⎰⎰⎰xax ax ax adt t f x f dt x f t f dt x f dt t f故0)(≥x F ，即0)()])(([21)]([)(21)(2222≥--'-'-=⎰⎰⎰b a bab a dt t f dt a t t f dt tf a b b F 。

0)()(==b f a f ，则有⎰⎰'-≤b a badx x f a b dx x f 222)]([)(81)(。

证明：⎰⎰++'-≤22222)]([)(81)(ba a ba adx x f a b dx x f 。

在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡+b b a ,2上，用类似的方法可得：⎰⎰++'-≤b b a bba dx x f ab dx x f 22222)]([)(81)(，故⎰⎰'-≤b a badx x f a b dx x f 222)]([)(81)(。

例.3 设函数],[b a C f ∈，0)(=a f ，证明：dx x f a b dx x f x f b aba2])([2)()(⎰⎰'-≤'。

证明：⎰⎰'≤'=xa xadt t f dt t f x f |)(|)(|)(|。

记⎰'=x adt t f x g |)(|)(，则dx x f a b dx dx x f dx x f x g dx x g x g dx x f x f b a b a b a b ab a ba ba⎰⎰⎰⎰⎰⎰'-=⋅'≤⎪⎭⎫ ⎝⎛'=='≤'2222)]([2)]([21|)(|21)(21)()()()(4． 其他证明题例.4 设0)(≥x f ，],[,0)(b a x x f ∈≤''，求证：⎰-≤≤≤bab x a dx x f a b x f )(2)(max 。

证明：],[)(b a C x f ∈，故)(x f 在],[b a 上存在最大值0)(≥c f 。

)()()(c f dt t f x f xc+'=⎰，)()()()()()()()(c f a b dx dt t f dx dt t f c f a b dx dt t f dx x f b c x c c a x c ba x c ba-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+⎥⎦⎤⎢⎣⎡'=-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡'=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰因为],[,0)(b a x x f ∈≤''，)(x f '单调下降，)()()()()()()()()()()()()()()()()()()(c f a b dx x f c f a b dx x f a f c a b f c b c f a b dx x f c x c f a b dx dt x f dx dt x f dx x f bababab c x c ca x c ba-+-≥-+----=-+'-=-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+⎥⎦⎤⎢⎣⎡'≥⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-≤≤≤bab x a dx x f a b x f )(2)(max 例.5 设0,>b a ，，且],[)(b a C x f ∈，0)(=⎰-badx x xf ，求证：⎰⎰--≤babadx x f ab dx x f x )()(2。