圆的相关证明与计算类型一平行线模型★1. 如图，△ABC内接于⊙O，AC是直径，BC＝BA，在∠ACB 的内部作∠ACF＝30°，且 CF＝CA，过点 F 作FH⊥AC 于点 H，连接 BF.(1)若CF交⊙O于点G，⊙O的半径是 4，求AG的长；(2)请判断直线BF与⊙O的位置关系，并说明理由．第 1 题图解：(1)如解图，连接OG，∵∠ACF ＝30°，∴∠AOG ＝2∠ACF ＝60°，∵⊙O 的半径是 4，∴l ︵ ＝n πr ＝60π×4＝4π；AG 180 180 3(2)直线 BF 与⊙O 相切，理由如下：如解图，连接 OB ，∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°， ∵BC ＝BA ，OC ＝OA ，∴BO ＝12AC ，BO ⊥AC ，∴∠BOC ＝90°， ∵FH ⊥AC ，∴∠FHC ＝∠BOC ＝90°，∴BO ∥FH ，∵在 Rt △FHC 中，∠ACF ＝30°，∴FH ＝12CF ， ∵BO ＝12AC ，CF ＝CA ，∴BO ＝FH ，∵BO ∥FH ，∴四边形 BOHF 是平行四边形．∵∠FHC ＝90°，∴平行四边形 BOHF 是矩形，∴∠FBO ＝90°，∴OB ⊥BF ，∵OB 是⊙O 的半径，∴直线 BF 与⊙O 相切．★2.在等腰△ABC 中，AC ＝BC ，以 BC 为直径的⊙O 分别与AB 、AC 相交于点 D 、E ，过点 D 作 DF ⊥AC ，垂足为点 F .(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)分别延长CB、FD，相交于点G，∠A＝60°，⊙O的半径为 6，求阴影部分的面积．第 2 题图（1）证明：如解图，连接OD，∴OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，第 2 题解图∵AC＝BC，∴∠A＝∠OBD，∴∠ODB＝∠A，∴AC∥OD，∵DF⊥AC，∴DF⊥OD，∵OD 为⊙O 的半径，∴DF 是⊙O 的切线；(2)解：∵∠A＝60°，AC＝BC，OB＝OD，∴∠C＝∠DOB＝60°，由(1)知∠ODG＝90°，∴∠G＝30°，OD ＝63＝∵OD＝6，∴DG＝6 3， tan30°160π×62∴S 阴影＝S△ODG－S 扇形DOB＝×6×63－＝18 3－6π.2360类型二弦切角模型★1.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠BCD＝∠A.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为 3，CD＝4，求BD的长．第 1 题图(1)证明：如解图，连接OC，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACO＋∠OCB＝90°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵∠OAC＝∠BCD，∴∠OCA＝∠BCD，∴∠BCD＋∠BCO＝90°，∴OC⊥CD，∵CO 是⊙O 的半径，∴CD 是⊙O 的切线；(2)解：∵在 Rt△OCD中，OC＝3，CD＝4，∠OCD＝90°，由勾股定理得 OD＝OC2＋CD2＝5，∴BD＝OD－OB＝5－3＝2.第 1 题解图★2.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC 交于点 D，过点 D 作⊙O 的切线交 AC 于点 E.(1)求证：∠ABD＝∠ADE；(2)若⊙O 的半径为256，AD ＝203，求 CE 的长．第 2 题图(1)证明：如解图，连接 OD .∵DE 为⊙O 的切线，∴OD ⊥DE ，∴∠ADO ＋∠ADE ＝90°.∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴∠ADO ＋∠ODB ＝90°.∴∠ADE ＝∠ODB ，∵OB ＝OD ，∴∠OBD ＝∠ODB ，∴∠ABD ＝∠ADE ;第 2 题解图(2)解：∵AB ＝AC ＝2×256＝253，∠ADB ＝∠ADC ＝90°，∴∠ABC ＝∠C ，BD ＝CD .∵O 为 AB 的中点，∴OD 为△ABC 的中位线，∴OD ∥AC ， ∵OD ⊥DE ，∴AC ⊥DE ，在 Rt △ACD 中，CD ＝AC 2－AD 2＝（253）2－（203）2＝5， ∵∠C ＝∠C ，∠DEC ＝∠ADC ＝90°，∴△DEC ∽△ADC ， CE DC CE 5∴DC ＝AC ，即 5 ＝25，∴CE ＝3.类型三 双切线模型★1.如图，AB 是⊙O 的直径，PA 是⊙O 的切线，点 C 在⊙O 上，CB ∥PO .(1)判断 PC 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(2)若 AB ＝6，CB ＝4，求 PC 的长．解：(1)PC 与⊙O 相切．理由如下：如解图，连接 OC ，第 1 题解图∵CB ∥PO ，∴∠POA ＝∠B ，∠POC ＝∠OCB ，∵OC ＝OB ，∴∠OCB ＝∠B ，∴∠POA ＝∠POC ，又∵OA ＝OC ，OP ＝OP ，∴△APO ≌△CPO ，∴∠OAP ＝∠OCP ，∵PA 是⊙O 的切线，∴∠OAP ＝90°，∴∠OCP ＝90° ∴PC 是⊙O 的切线；(2)如解图，连接 AC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°， 由(1)知∠PCO ＝90°，∠B ＝∠OCB ＝∠POC ，∴△ACB ∽△PCO ，∴OC BC ＝AC PC ，又∵在Rt△ABC中，AC＝AB2－CB2＝62－42＝25，∴PC＝OC·AC＝3×25＝35.BC42★2. 如图，PB为⊙O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交⊙O 于点A，连接PA，AO，并延长AO 交⊙O 于点 E，与 PB 的延长线交于点 D.(1)求证：PA是⊙O的切线；(2)若 cos∠CAO＝45，且OC＝6，求PB的长．第 2 题图(1)证明：如解图，连接OB，∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠OBA ，∵OP ⊥AB ，∴AC ＝BC ，∴OP 是 AB 的垂直平分线， ∴PA ＝PB ，∴∠PAB ＝∠PBA ，∴∠PAO ＝∠PBO . ∵PB 为⊙O 的切线，∴∠OBP ＝90°，∴∠PAO ＝90°， ∵OA 为⊙O 的半径，∴PA 是⊙O 的切线；(2)解：∵cos ∠CAO ＝45，∴设 AC ＝4k ，AO ＝5k ，由勾股定理可知 OC ＝3k ，∴sin ∠CAO ＝35，tan ∠COA ＝43，∴CO OA ＝35，即OA 6＝35，解得 OA ＝10，∵tan ∠POA ＝tan ∠COA ＝AO AP ＝43，∴AP 10＝43，解得 AP ＝403，∵PA ＝PB ，∴PB ＝PA ＝403. ★3.如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，连接 AO 并延长，交 PB 的延长线于点 C ，连接 PO ，交⊙O 于点 D .(1)求证：PO平分∠APC；(2)连接DB，若∠C＝30°，求证：DB∥AC.第 3 题图证明：(1)如解图，连接OB，∵PA、PB 是⊙O 的切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP.又∵OA＝OB，∴PO 平分∠APC；第 3 题解图(2)∵OA⊥AP，OB⊥BP，∴∠CAP＝∠OBP＝90°，∵∠C＝30°，∴∠APC＝90°－∠C＝60°，∵PO 平分∠APC，∴∠OPC＝12∠APC＝12×60°＝30°，∴∠POB ＝90°－∠OPC ＝60°，又∵OD ＝OB ，∴△ODB 是等边三角形，∴∠OBD ＝60°，∴∠DBP ＝∠OBP －∠OBD ＝30°，∴∠DBP ＝∠C ，∴DB ∥AC .类型四 其他模型★1.如图，以 AB 为直径的⊙O 经过点 P ，C 是⊙O 上一点，连接 PC 交 AB 于点 E ，且∠ACP ＝60°，PA ＝PD .(1)试判断 DP 与⊙O 的位置关系，并说明理由；若点 C 是 ︵ 的中点，AB ＝ ，求 CE CP 的值．(2) AB 4 ·第 1 题图解：(1)PD 与⊙O 相切．证明如下：如解图，连接 OP ，∵∠ACP ＝60°，∴∠AOP ＝120°，∵OA ＝OP ，∴∠OAP ＝∠OPA ＝30°，∵PA ＝PD ，∴∠PAO ＝∠D ＝30°，∵∠POD ＝∠OAP ＋∠OPA ＝60°，∴在△POD 中，∠OPD ＝180°－∠D －∠DOP ＝180°－30° －60°＝90°，即 DP ⊥OP ，∵OP 是⊙O 的半径，∴DP 是⊙O 的切线； 第 1 题解图(2)如解图，连接 BC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°， 又 C 为 ︵的中点， CAB ＝ ABC ＝ APC ＝ ， ∵ AB ∴∠ ∠ ∠ 45° ∵AB ＝4，∴AC ＝AB · sin45°＝22，∵∠ACP ＝∠ACP ，∠CAB ＝∠APC ， ∴△CAE ∽△CPA ，∴CA CP ＝CA CE ，∴CE·CP＝CA2＝(22)2＝8.★2.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD和过点C 的切线互相垂直，垂足为 D，直线 DC 与 AB 的延长线相交于点 P，弦 CE 平分∠ACB，交直径 AB 于点 F，连接 BE.(1)求证：AC平分∠DAB；(2)探究线段PC，PF之间的大小关系，并加以证明；(3)若 tan∠PCB＝34，BE＝52，求PF的长．第 2 题图(1)证明：如解图，连接 OC,∵OA=OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵PC 是⊙O 的切线，∴AD⊥CD，∴∠OCP＝∠D＝90°，∴OC∥AD,∴∠CAD＝∠OCA=∠OAC，即AC 平分∠DAB；（2）解：PC=PF，证明如下：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，∴∠PCB+∠ACD=90°，又∵∠CAD+∠ACD=90°，∴∠CAB＝∠CAD=∠PCB,第 2 题解图∵∠ACE＝∠BCE,∠PFC＝∠CAB+∠ACE，∠PCF＝∠PCB+∠BCE,∴∠PFC＝∠PCF,∴PC＝PF；（3）解：如解图，连接AE，∵∠ACE＝∠BCE,∴AE BE,∴AE=BE,∴AB 是⊙的直径，∴∠AEB=90°，∴AB= 2 BE=10,∴OB=OC=5,∵∠PCB=∠PAC，∠P=∠P，∴△PCB ∽△PAC ，∴ PCPB BC CA ， ∵tan ∠PCB =tan ∠CAB =34，设 PB =3x ，则 PC =4x ，在 Rt △POC 中，（3x +5）2=（4x ）2+52，解得 x 1=0（舍去），x 2= 307 ， ∴PF =PC = 1207 .★3.如图，在 Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以 BC 为直径的 ⊙O 交 AB 于点 D ，E 是 AC 的中点，OE 交 CD 于点 F .(1)若 BCD ＝36°，BC ＝10，求 的长；∠ BD(2)判断直线 DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(3)求证：2CE 2＝AB ·EF .第 3 题图(1)解：如解图，连接 OD ，∵∠BCD ＝36°，∴∠BOD ＝2∠BCD ＝2×36°＝72°，∵BC 是⊙O 的直径，BC＝10，∴OB＝5，∴l ︵＝72π×5＝2π；BD180第 3 题解图(2)解：DE是⊙O的切线；理由如下：∵BC 是⊙O 的直径，∴∠ADC＝180°－∠BDC＝90°，又∵点 E 是线段 AC 的中点，∴DE＝12AC＝EC，OD＝OC在△DOE 与△COE 中，OE＝OE ，∴△DOE≌△COE(SSS)．DE＝CE ∵∠ACB＝90°，∴∠ODE＝∠OCE＝90°，∵OD 是⊙O 的半径，∴DE 是⊙O 的切线；(3)证明：由(2)知，△DOE≌△COE，∴OE 是线段 CD 的垂直平分线，DE＝CE，∴点 F 是线段 CD 的中点，已知点 E 是线段 AC 的中点，则 EF＝12AD，∵∠BAC＝∠CAD，∠ADC＝∠ACB，∴△ACD∽△ABC，则ACAB＝ADAC，即 AC2＝AB·AD，而AC＝2CE，AD＝2EF，∴(2CE)2＝AB·2EF，即 4CE2＝AB·2EF，∴2CE2＝AB·EF.。