高考数学新版一轮复习教程学案
第58课 复数的概念及其运算
1. 了解数系的扩充过程；理解复数的基本概念、代数表示法以及复数相等的充要条件.
2. 理解复数代数形式的四则运算法则，能进行复数代数形式的四则运算.
1. 阅读：选修 22 第109～117页.
2. 解悟：①数系的扩充；②复数的四则运算与共轭复数；③与加法一样，复数的乘法也是一种规定.课本114页例2还可以让学生先计算后两个复数的积，再与第一个复数相乘，从而验证复数乘法满足结合律；④根据复数相等的充要条件，应用待定系数法求复数，是常用的方法之一.
3. 践习：在教材空白处，完成第118～119页习题第2、3、6、12题.
基础诊断
1. 若复数z ＝(1＋m i )(2－i )(i 是虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值为 －2 .
解析：由题意得，z ＝(1＋m i )(2－i )＝2＋m ＋(2m －1)i .因为复数z 是纯虚数，所以2＋m ＝0，且2m －1≠0，解得m ＝－2.
2. 设复数z ＝m ＋3i
1＋m i
(m>0，i 为虚数单位)，若z ＝z ，则m 解析：z ＝m ＋3i 1＋m i ＝（m ＋3i ）（1－m i ）（1＋m i ）（1－m i ）＝4m ＋（3－m 2）i
1＋m 2.因为z ＝z ，所以3－m 2＝0，解得m ＝±3.因为m>0，所以m ＝ 3.
3. 已知复数z ＝
11＋i
，其中i 是虚数单位，则|z|＝ 2 .
解析：z ＝11＋i ＝1－i （1＋i ）（1－i ）＝12－1
2i ，所以|z|＝
⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫122
＝22
.
4. 设复数z 满足(1＋2i )·z ＝3(i 为虚数单位)，则复数z 的实部为 3
5
.
解析：因为(1＋2i )·z ＝3，所以z ＝3
1＋2i ＝3（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝3－6i 5，所以复数z 的实
数为3
5
.
范例导航
考向❶ 复数的基本运算 例1 (1)
（－1＋i ）（2＋i ）
i 3
；
(2)
1－i （1＋i ）2＋1＋i
（1－i ）2
；
(3) (－1＋3i )3；
(4) ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫1－i 1＋i 18
. 解析：(1) 原式＝(－1＋i )(2＋i )i ＝(－3＋i )i ＝－1－3i . (2) 原式＝1－i 2i ＋1＋i －2i ＝1－i －1－i 2i ＝－2i
2i
＝－1.
(3) 原式＝(－1＋3i )2(－1＋3i )＝－2(1＋3i )·(－1＋3i )＝－2×(－4)＝8.
(4) 原式＝(－i )18＝[(－i )2]9＝－1.
1. 设1＋2i ＝2i (a ＋b i )(i 为虚数单位，a ，b ∈R)，则a ＋b 的值是 1
2
.
解析：因为1＋2i ＝2i(a ＋b i)＝－2b ＋2a i ，所以⎩⎪⎨⎪
⎧－2b ＝1，2a ＝2，解得⎩⎪
⎨⎪⎧b ＝－1
2，a ＝1，
所以a ＋b ＝1
－12＝1
2
. 2. 设1＋i 1－i ＝a ＋b i (i 为虚数单位，a ，b ∈R)，则ab 的值为 0 .
解析：因为1＋i
1－i ＝i ，所以a ＋b i ＝i ，所以a ＝0，b ＝1，所以ab ＝0.
3. 设复数z 满足(z ＋i )(2＋i )＝5(i 为虚数单位)，则z ＝ 2－2i .
解析：因为(z ＋i )(2＋i )＝5，所以z ＝5
2＋i －i ＝2－i －i ＝2－2i .
4. 设复数z i ＝1＋2i (i 为虚数单位)，则z ＝ 2－i . 解析：因为z i ＝1＋2i ，所以z ＝1＋2i
i ＝2－i .
考向❷ 复数的模与共轭复数
例2 (1) 若复数z ＝1＋2i 3－i
(i 为虚数单位)，则z 的模为 2 ；
解析：z ＝1＋2i 3－i ＝（1＋2i ）（3＋i ）（3－i ）（3＋i ）＝110＋7
10
i ，所以|z|＝
⎝⎛⎭⎫1102＋⎝⎛⎭⎫7102
＝22
. (2) 复数z ＝a i
1＋2i (a<0)，其中i 为虚数单位，|z|＝5，则a 的值为 －5 ；
解析：z ＝a i 1＋2i ＝a i （1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝2a 5＋a 5i .因为|z|＝5，所以⎝⎛⎭⎫2a 52＋⎝⎛⎭⎫a 52＝5，解得
a ＝±5.因为a<0，所以a ＝－5.
(3) 若x －1＋y i 与i －3x 是共轭复数(x ，y 是实数)，则x ＋y ＝ －3
4
；
解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＝x －1，
1＝－y ，解得⎩⎪
⎨⎪⎧x ＝1
4
，y ＝－1，
所以x ＋y ＝14－1＝－3
4
.
(4) 记复数z ＝a ＋b i (i 为虚数单位)的共轭复数为z ＝a －b i (a ，b ∈R)，已知z ＝2＋i ，则z 2＝ 3－4i .
解析：因为z ＝2＋i ，所以z 2＝3＋4i ，所以z 2＝3－4i. 考向❸ 复数的实部与虚部
例3 (1) 若复数z ＝(1－i )(m ＋2i )(i 为虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值为 －2 ；
解析：z ＝(1－i )(m ＋2i )＝m ＋2＋(2－m)i .因为复数z 是纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪
⎧m ＋2＝0，2－m ≠0，解得
⎩
⎪⎨⎪⎧m ＝－2，
m ≠2，故实数m 的值为－2. (2) 已知复数z ＝(a －i )(1＋2i )(a ∈R ，i 为虚数单位)，若复数z 在复平面内对应的点在实轴上，则实数 a ＝ 1
2
；
解析：z ＝(a －i)(1＋2i)＝(a ＋2)＋(2a －1)i.因为复数z 在复平面内对应的点在实轴上，所以2a －1＝0，即a ＝12
.
(3) 已知i 是虚数单位，则1－i （1＋i ）2
的实部为 －1
2 .
解析：由题意得1－i （1＋i ）2＝1－i 2i ＝－12－12i ，所以该复数的实部为－1
2. 自测反馈
1. 若复数z ＝i (3－2i )(i 是虚数单位)，则z 的虚部为 3 . 解析：因为z ＝i (3－2i )＝2＋3i ，所以复数z 的虚部为3.
2. 已知复数z 满足i z ＝1＋3i (i 为虚数单位)，则|z|＝ 2 .
解析：由题意得z ＝1＋3i
i ＝3－i ，所以|z|＝（3）2＋（－1）2＝2.
3. 若复数m ＋2i
1－i (m ∈R ，i 是虚数单位)为实数，则m ＝ －2 .
解析：由题意得
m ＋2i 1－i ＝（m ＋2i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝m －22＋m ＋22i.因为复数m ＋2i
1－i
是实数，所
以m ＋2
2
＝0，解得m ＝－2，故m 的值为－2.
4. 设3＋i 1＋i
＝a ＋b i (i 为虚数单位，a ，b ∈R)，则a ＋b ＝ 1 .
解析：由题意得3＋i 1＋i ＝（3＋i ）（1－i ）
（1＋i ）（1－i ）＝2－i ＝a ＋b i ，所以a ＝2，b ＝－1，所以a ＋b
＝1.
1. 复数加减法的法则可以类比多项式合并同类项法则来理解和记忆.
2. 复数z ＝a ＋b i (a ，b ∈R)为实数的充要条件是b ＝0；它为纯虚数的充要条件是a ＝0且b ≠0.
3. 你还有哪些体悟，写下来：。