2019考研数学线性代数—二次型（三）
来源：文都教育
二次型化为标准型的方法主要有两个方法：正交变换法、配方法.上次我们主要介绍了正交变换法，下面我们将介绍另一种方法-配方法，配方法虽然并非大题常用考法，但是对于某些题目却又奇效.为介绍配方法，以题为例.
一、配方法化标准型 （1）有平方项
例1.（2018-改）设实二次型2221231232313(,,)()()(2),f x x x x x x x x x x =-+++++ 其中a 是参数，求123(,,)f x x x 的规范形.
解：()312123222132162622,,x x x x x x x x x x f +-++=
法一：
1）合并所有含1x 的项，并配方：
()()⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡-+⎪⎭⎫ ⎝
⎛+-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-++⎪⎭⎫ ⎝⎛
+-=+++-=+++-=2
322
3213223222
3212
322312121232231212132143232223
43432322)
33(262622,,x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f
2）再合并所有含2x 的项，并配方：()()⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=2
322
321321432322,,x x x x x x x x f 3)作非退化的线性变换321122333
322x x y x y x x y x
⎧
=-+⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩
, 可得2
212322f y y =+.(标准型）
4)令112233232z y z y z y ⎧=⎪
⎪=⎨⎪
⎪=⎩
, 得二次型的规范形为2212f z z =+.
法二：()x x ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=+-++=60302131262622,,T
3
121232221321x x x x x x x x x x f , 记⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--=603021312B ， 令()0]75[603021
3122
=--=-----=-λλλλλλB E 可得：75750321+=-==λλλ，，,
则标准型为()
()
2
2
125757f z z =-++；规范形为22
12f z z =+.
（2）没有平方项
例2.化二次型121323226f x x x x x x =+-为标准型.
分析：没有平方项，先构造平方项出来，然后再按例1方法计算即可. 解：（1）构造平方项
令1122123
3x y y x y y x y
=+⎧⎪
=-⎨⎪=⎩，带入可得：221213232248f y y y y y y =--+ （2）按照有平方项的进行处理
1）()
2222
1132231132232428=224f y y y y y y y y y y y y =--+--+
()()()222
22213232313233=24223y y y y y y y y y y y ⎡⎤⎡⎤---+=---+⎣⎦⎣⎦ 2）令11321333
2()2(2)6z y y z y y z y ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩, 得二次型的规范形为22
2123f z z z =-+.
二、配方法的妙用
例1给我们展示了二次型化为标准型的两种方法，但是我们应该注意到，使用不同方法得到的标准型是不一样的：配方法和正交变换法可得标准型分别为：
2212322
f y y =+
，()()
22
125757f z z =-++. 虽然标准型不唯一，但是标准型中正负项的个数是相同的，这个也被称为惯性定理.其中正向的个数是正惯性指数，负项的个数为负惯性指数.所以我们求惯性指数也有两种方法，而有些时候配方法较为简单.
例3.(2014)设二次型2
2
123121323(,,)24f x x x x x ax x x x =-++的负惯性指数为1，则a 的
取值范围是______.
解:配方法可得：222212313233(,,)()(2)(4)f x x x x ax x x a x =+--+-， 因为负惯性指数是1，故042
≥-a ，解得[]2,2-∈a .
由上可知，对于本题用配方法可以迅速解出答案，而如果用正交变换法先求出特征值，然后再根据特征值符号来进行判定就没有那么容易。

因⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=0221001a a A ，通过λλλλ2211---+--=-a a A E 是不易求出特征值的. 二次型化标准型是考研常考点，正交变换法和配方法都需要认真掌握.下次我们会讲解正定二次型以及正定二次型与高数的连接,在此希望能对2019考生的复习有所帮助.
最后，预祝各位考生考研成功！。