【经典例题】二次函数根的分布
二次函数根的分布
一、知识点
二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳
一元二次方程
02=++c bx ax 根的分布情况 分
布情况
两个负根即两根都小于0 ()1
2
0,0x x <<
两个正根即两根都大于0 ()1
2
0,0x x >>
一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()1
2
0x x <<
大致图
象（0
>a ）
得出的
结论 ()00200
b a f ∆>⎧⎪⎪
-<⎨⎪>⎪⎩
()0
0200
b a f ∆>⎧⎪⎪
->⎨⎪>⎪⎩ ()0
0<f
大致图
象（0
<a ）
得出的
结论
()0
0200
b a f ∆>⎧⎪⎪
-<⎨⎪<⎪⎩ ()0
0200
b a f ∆>⎧⎪⎪
->⎨⎪<⎪⎩
()0
0>f
表三：（根在区间上的分布）
分
布情况
两根都在()n m ,内
两根有且仅有
一根在()n m ,内 （图象有两种
情况，只画了一种）
一根在()n m ,内，另一根在()q p ,内，q p n m <<<
大致图
象（0
>a ）
得出的结论
()()0002f m f n b m n
a ∆>⎧⎪
>⎪⎪
>⎨⎪⎪<-<⎪⎩
()()0
<⋅n f m f
()()()()0
000f m f n f p f q ⎧>⎪
<⎪⎨
<⎪⎪>⎩
或
()()()()00
f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩
大致图
象
（0
<a ）
二、经典例题
例1：（实根与分布条件）已知βα, 是方程0
24)12(2=-+-+m x m x 的两个根，且βα<<2 ，求实数m 的
取值范围。

变式：关于x 的方程0
12)1(2
2
=-+-mx x
m 的两个根，一
个小于0，一个大于1，求m 的取值范围。

例2：（动轴定区间）函数3
2)(2
--=ax x x f 在区间[]2,1上
是单调函数，则a 的取值范围是？
讨论
变式2：函数3
2)(2
+-=kx x x f 在[]+∞-,1上是增函数，求
实数k 的取值范围。

列3：（定轴动区间）求函数1
2)(2
--=ax x x f 在[]2,0上的
值域。

变式3：已知函数2
244)(22
+-+-=a a ax x x f 在区间[]2,0上
有最小值3，求实数a 的取值范围。

例4：（定轴动区间）已知二次函数3
x
x
f，
=x
-
2
)
(2-
若)(x f在[]1
t t上的最小值为)(t g，求)(t g的表达式。

,+
变式4：已知二次函数)(x f满足)
=
f-
+，且
x
1(
1(x
)
f
=f
f，若)(x f在区间[]n m,上的值域是[]n m,，求n m, )0(=
)1(
,0
1
的值。

例5：（恒成立问题）已知函数1
x
x
=mx
f，若对
+
)
(2-
于任意[]1
x，都有0
m
∈m
,+
x
f成立，求实数m的取值
(<
)
范围。

变式5：已知函数1
x
f在)2,21(上恒大于0，
x
=mx
-
)
(2+
求实数m的取值范围。

三、课后练习
1、已知二次方程()()
2
+-+-=有一正根和
21210
m x mx m
一负根，求实数m的取值范围。

2、函数()()
2220
=-++≠在[]2,3上有最大值5和
f x ax ax b a
最小值2，求,a b的值。

3、讨论函数()21
=+-+的最小值。

f x x x a
4、已知函数1
x
mx
f的图像与x轴的交点至
(2-
)
+
=x
少有一个在原点的右侧，求实数m
的取值范围。

5、已知函数3
x
f，当[]1,1-∈x时，a
=ax
x
+
)
(2+
(恒成
)
x
f>
立，求a的取值范围。