例1（1）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两个实根，且一个大于1，一个小于1，求m 的取值范围；
（2）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根都在)4,0[内，求m 的取值范围； ⑶关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根在[]3,1外，求m 的取值范围
（4）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m mx 有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值范围.
例3已知函数3)12()(2--+=x a ax x f 在区间]2,2
3[-上的最大值为1，求实数a 的值。

解（1）令142)3(2)(2++++=m x m x x f ，∵对应抛物线开口向上，∴方程有两个实根，且一个大于1，一个小于1等价于0)1(<f （思考：需要0>∆吗？），即.4
21-<m （2）令142)3(2)(2++++=m x m x x f ，原命题等价于
.55271,5370142)3(81601420)142(4)3(442)3(200)4(0)0(2-≤<-⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≤-<<->++++≥+⇔⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧≥+-+<+-<≥≥m m m m m m m m m m f f （3）令142)3(2)(2++++=m x m x x f ，原命题等价于
⎩⎨⎧<<0)3(0)1(f f 即⎩
⎨⎧<++++<++++0142)3(690142)3(21m m m m 得.421-<m （4）令142)3(2)(2++++=m x m mx x g ，依题得
⎩⎨⎧<>0)4(0g m 或,0
)4(0⎩⎨⎧><g m 得.01319<<-m 例2（1）已知函数2)(2-+=a ax
x f ，若0)(<x f 有解，求实数a 的取值范围；
（2）已知x x x f 4)(2+-=，当]1,1[-∈x 时，若a x f >)(恒成立，求实数a 的取
值范围。

解：（1）0)(<x f 有解，即022<-+a ax 有解2)1(2<+⇔x a 有解1
22+<⇔x a 有解⇔.2|1
2|max 2=+<x a 所以).2,(-∞∈a （2）当]1,1[-∈x 时，a x f >)(恒成立⇔.)]([min a x f >又当]1,1[-∈x 时，5)1()]([min -=-=f x f ，所以).5,(--∞∈a
【评注】“有解”与“恒成立”是很容易搞混的两个概念。

一般地，对于“有解”与“恒成立”，有下列常用结论：（1）a x f >)(恒成立⇔a x f >min )]([；（2）
a x f <)(恒成立⇔a x f <max )]([;（3）a x f >)(有解⇔a x f >max )]([；
（4）a x f <)(有解⇔.)]([min a x f <
分析：这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，首先应搞清二次项系数a 是否为零，如果)(,0x f a ≠的最大值与二次函数系数a 的正负有关，也与对称轴
a
a x 2210-=的位置有关，但f(x)的最大值只可能在端点或顶点处取得，解答时必须用讨论法。

解、0=a 时，3)(--=x x f ，
)(x f 在]2,2
3[-上不能取得1，故0≠a . )0(3)12()(2≠--+=a x a ax x f 的对称轴方程为.2210a
a x -= （1）令1)2
3
(=-f ，解得3
10-=a ， 此时]2,23[20230-∈-=x ， 因为0<a ，)(0x f 最大，所以1)23(=-f 不合适。

（2）令1)2(=f ，解得43=a ， 此时]2,23[310-∈-=x ， 因为]2,2
3[31,0430-∈-=>=
x a ，且距右端点2较远，所以)2(f 最大，合适。

（3）令1)(0=x f ，得)223(2
1±-=a ， 验证后知只有)223(2
1--=a 才合适。

综上所述，43=a ，或).223(21+-=a。