高中数学竞赛数列问题一、 高考数列知识及方法应用（见考纲） 二、 二阶高次递推关系1．因式分解降次。

例：正项数列{a n }，满足12+=n n a S ，求a n （化异为同后高次）2．两边取对数降次。

例：正项数列{a n }，a 1=1，且a n ·a n+12 = 36，求a n三、 线性递推数列的特征方程法 定理1：若数列{a n }的递推关系为a n+2=λ1a n+1+λ2a n ，则设特征方程x 2=λ1x+λ2，且此方程有相异两根x 1，x 2（x 1≠x 2），则必有a n =c 1x 1n +c 2x 2n，其中c 1，c 2由此数列已知前2项解得，即⎩⎨⎧+=+=222211222111x c x c a x c x c a 或由⎩⎨⎧+=+=22111210x c x c a c c a 得到。

（见训练及考试题）定理2：若方程x 2=λ1x+λ2有相等重根x 0，则有a n =（c 1+c 2n ）x 0n ，其中c 1，c 2仍由定理1方程组解得。

例如.：1，已知.数列{}n a 满足)(,11221+++∈+===N n a a a a a n n n ，求数列{}n a 的通项公式2，.数列{}n a 中，设,2,1321===a a a 且)3(3211≥+=--+n a a a a n n n n ，求数列{}n a 的通项公式3，.数列}{n a 满足：.,236457,1210N n a a a a n n n ∈-+==+证明：（1）对任意n a N n ,∈为正整数；(2)求数列}{n a 的通项公式。

4，已知.数列{}n a 满足121,2,a a n N +==∈都有2144n n n a a a ++=-，求数列{}n a 的通项公式四、 特殊递推的不动点法 （ f （x ）= x 的解称为f （x ）的不动点 ） 定理1：若数列{a n }满足递推：a n+1=a ·a n +b （a ，b ∈R ）， 则设x=ax+b ，得不动点10--=a bx 且数列递推化为：a n+1-x 0=a （a n -x 0），进而用构造法解得。

定理2：若数列{a n }满足递推：）（01≠-+⋅+⋅=+bc ad da c ba a a n n n ，则设dcx bax x ++=，得不动点x 1，x 2， 若x 1≠x 2，则原递推化为：）（21212111x a x a c x a c x a x a x a n n n n ----=--++，再由构造法解得。

若x1=x2=x0，即有唯一不动点x0时，原递推可化为：da cx a x a n n ++-=-+211001，再由构造法解得。

例如：1，在数列｛a n ｝中，若a 1=1,a n +1=2a n +3 (n ≥1),求该数列的通项a n2，已知.数列{}n a 满足：11381,23n n n a a a a ++==+，求该数列的通项a n 3，已知.数列{}n a 满足：1121,23n n n a a a a +--==+，求该数列的通项a n五、 递推构造法1．若数列递推满足a n+1=k 1a n +k 2·2n ，注意构造变形为（a n+1+A ·2n+1）= k 1（a n +A ·2n ），展开后与原递推相同，求出A 得值，再化为等比数列解决。

2．若数列递推满足a n+1=k 1a n +k 2n 2+k 3n ，注意构造变形为 （a n+1+A(n+1)2+B(n+1)+c ）= k 1（a n +An 2+Bn+c ），展开后与原递推相同而求出A ，B ，C 的值，再化为等比数列解决。

3．若数列为a n+1=-3a n +2n - n 呢？例如：1，求所有a 0∈R ，使得由a n+1=2n -3a n （n ∈N ）所确定得数列a 0，a 1，a 2，…是递增的。

2，某运动会开了n 天(1)n >，共发出m 枚奖牌：第一天发出1枚加上余下的17，第二天发出2枚加上余下的17；如此持续了(1)n -天，第n 天发出n 枚. 该运动会开了________天，共发了____________枚奖牌.后注：以上方法相辅相成，不可孤立理解，当条件不符合时不可随意应用。

例：若不知a 1，a 2的确定值，a n+2=2a n+1+3a n 都不可以用特征方程法。

望大家结合数列其他讲义及考题认真领会。

数列训练题1．（2006年广东卷）在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第2、3、4、…堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放.从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以)(n f 表示第n 堆的乒乓球总数，则=)3(f ；=)(n f （答案用n 表示） .2. ( 2006年重庆卷)在数列｛a n ｝中，若 a 1=1,a n +1=2a n +3 (n ≥1),则该数列的通项 a n =_____.3．（2006年全国卷II ）函数f (x )＝∑i ＝119|x －n |的最小值为 ( )（A ）190 （B ）171 （C ）90 （D ）45 4．（2006年全国卷I ）设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++=A ．120B ．105C ．90D ．755．（2006年江西卷）已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若1O a B u u u r ＝200OA a OC u u u r u u u r＋，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则S 200＝（ ）A ．100 B. 101 C.200 D.201 6．（2006年辽宁卷）在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S 等于(A)122n +- (B) 3n (C) 2n (D)31n - 7．(2006年山东卷）已知a 1=2，点(a n ,a n+1)在函数f (x )=x 2+2x 的图象上，其中=1，2，3，…（1） 证明数列｛lg(1+a n )｝是等比数列；（2） 设T n =(1+a 1) (1+a 2) …(1+a n )，求T n 及数列｛a n ｝的通项；（3） 记b n =211++n n a a ，求｛b n ｝数列的前项和S n ，并证明S n +132-n T =1.8．（2006年上海卷）已知有穷数列{n a }共有2k 项（整数k ≥2），首项1a ＝2．设该数列的前n 项和为n S ，且1+n a ＝n S a )1(-＋2（n ＝1，2，┅，2k －1），其中常数a ＞1．（1）求证：数列{n a }是等比数列；（2）若a ＝2122-k ，数列{n b }满足n b ＝)(log 1212n a a a n⋅⋅⋅（n ＝1，2，┅，2k ），求数列{n b }的通项公式；（3）若（2）中的数列{n b }满足不等式|1b －23|＋|2b －23|＋┅＋|12-k b －23|＋|k b 2－23|≤4，求k 的值．9．（2006年全国卷II ）设数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，且方程x 2－a n x －a n ＝0有一根为S n －1，n ＝1，2，3，…． （Ⅰ）求a 1，a 2； （Ⅱ）｛a n ｝的通项公式．（只须写出即可）10. （2006年上海春卷）已知数列3021,,,a a a Λ，其中1021,,,a a a Λ是首项为1，公差为1的等差数列；201110,,,a a a Λ是公差为d 的等差数列；302120,,,a a a Λ是公差为2d 的等差数列（0≠d ）. （1）若4020=a ，求d ；（2）试写出30a 关于d 的关系式，并求30a 的取值范围；（3）续写已知数列，使得403130,,,a a a Λ是公差为3d 的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能 得到什么样的结论？ 11．（2006年广东卷）已知公比为)10(<<q q 的无穷等比数列}{n a 各项的和为9，无穷等比数列}{2n a 各项的和为581.(Ⅰ)求数列}{n a 的首项1a 和公比q ；(Ⅱ)对给定的),,3,2,1(n k k ⋅⋅⋅=,设)(k T 是首项为k a ，公差为12-k a 的等差数列.求数列)(k T 的前10项之和；(Ⅲ)设i b 为数列)(i T 的第i 项，n n b b b S +⋅⋅⋅++=21，求n S ，并求正整数)1(>m m ，使得m Sn n ∞→lim 存在且不等于零. 12．（2006年福建卷）已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）证明：*122311...().232n n a a a n nn N a a a +-<+++<∈13．（2006年安徽卷）数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()211,1,1,2,2n n a S n a n n n ==--=⋅⋅⋅（Ⅰ）写出n S 与1n S -的递推关系式()2n ≥，并求n S 关于n 的表达式； （Ⅱ）设()()()1/,n n n n n S f x x b f p p R n+==∈，求数列{}n b 的前n 项和n T 14．（2006年全国卷I ）设数列{}n a 的前n 项的和14122333n n n S a +=-⨯+，1,2,3,n =g g g（Ⅰ）求首项1a 与通项n a ；（Ⅱ）设2nn n T S =，1,2,3,n =g g g ，证明：132ni i T =<∑15．（2006年江西卷）已知数列｛a n ｝满足：a 1＝32，且a n ＝n 1n 13na n 2n N 2a n 1*≥∈－－（，）＋－求数列｛a n ｝的通项公式；数列竞赛训练题1.数列{}n a 中，设1,01=>a a n 且6213=⋅+n n a a ，求数列{}n a 的通项公式.2.已知.数列{}n a 满足)2(11,21211≥-+==-n n a a a n n ，求数列{}n a 的通项公式3. 已知.数列{}n a 满足)(,11221+++∈+===N n a a a a a n n n ，求数列{}n a 的通项公式4. 已知.数列{}n a 满足1245,0211++==+nn n a a a a ，求数列{}n a 的通项公式5. 数列{}n a 中，设,121==a a 且)1(2212≥+-=++n a a a n n n n ，求数列{}n a 的通项公式6. 数列{}n a 中，设,2,1321===a a a 且)3(3211≥+=--+n a a a a n n n n ，求数列{}n a 的通项公 式7.数列{}n a 满足：)3(21≥-=--n a a a n n n ，如果前1492项的和是1985，而前1985项的和为1492，求该数列的前2001项之和.8. 已知.数列{}n a 满足1)1(1+++=n n n n a n ，求数列{}n a 的前n 项和.参考答案1. =)3(f 10，6)2)(1()(++=n n n n f2. a n =123n +-.3. C4. B 12322153155a a a a a ++=⇒=⇒=，()()1232228080a a a a d a a d =⇒-+=，将25a =代入，得3d =，从而()()11121312233103530105a a a a a d ++==+=⨯+=。