高中数学竞赛专题试题讲座——数列一、选择题部分1．（2006年江苏）已知数列{}n a 的通项公式2245n a n n =-+，则{}n a 的最大项是（ B ）()A 1a()B 2a()C 3a()D 4a2（2006安徽初赛）正数列满足()231221,10,103n n n t a a a a a n --===≥，则100lg ()a = （ ）A 、98B 、99C 、100D 、1013. （2006吉林预赛）对于一个有n 项的数列P=(p 1，p 2，…，p n )，P 的“蔡查罗和”定义为s 1、s 2、…s n 、的算术平均值，其中s k =p 1+p 2+…p k (1≤k≤n )，若数列(p 1，p 2，…，p 2006)的“蔡查罗和”为2007，那么数列(1，p 1，p 2，…，p 2006)的“蔡查罗和”为 （ A ）A. 2007B. 2008C. 2006D. 10044．(集训试题)已知数列{a n }满足3a n+1+a n =4(n ≥1)，且a 1=9，其前n 项之和为S n 。
则满足不等式|S n -n-6|<1251的最小整数n 是 （ ）A ．5B ．6C ．7D ．8解：由递推式得：3(a n+1-1)=-(a n -1)，则{a n -1}是以8为首项，公比为-31的等比数列， ∴S n -n=(a 1-1)+(a 2-1)+…+(a n -1)=311])31(1[8+--n =6-6×(-31)n ，∴|S n -n-6|=6×(31)n <1251，得：3n-1>250，∴满足条件的最小整数n=7，故选C 。
5．(集训试题)给定数列{x n }，x 1=1，且x n+1=nn x x -+313，则∑=20051n nx= （ ）A ．1B ．-1C ．2+3D ．-2+3解：x n+1=n n x x 33133-+，令x n =tan αn ，∴x n+1=tan(αn +6π), ∴x n+6=x n , x 1=1，x 2=2+3,x 3=-2-3, x 4=-1, x 5=-2+3, x 6=2-3, x 7=1，……，∴有∑===2005111n nx x。
故选A 。
6、（2006陕西赛区预赛）已知数列{}{}n n a b 、的前n 项和分别为n A ，n B 记(1)n n n n n n n C a B b A a b n =⋅+⋅-⋅>则数列{n C }的前10项和为 ( C )A .1010AB + B.10102A B + C.1010A B ⋅D.7．（2006年浙江省预赛）设)(n f 为正整数n （十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如14321)123(222=++=f 。
记)()(1n f n f =，))(()(1n f f n f k k =+，，⋯=,3,2,1k 则)2006(2006f ＝(A) 20(B)4(C)42(D)145.（ D ）解： 将40)2006(=f 记做402006→，于是有Λ→→→→→→→→→→→164204214589583716402006从16开始，nf 是周期为8的周期数列。
故.145)16()16()16()2006(48250420042006====⨯+f f f f 正确答案为D 。
二、填空题部分1.数列{}n a 的各项为正数,其前n 项和n S 满足)1(21nn n a a S +=,则n a-2．（200 6天津）已知d c b a ,,,都是偶数，且d c b a <<<<0，90=-a d ，若c b a ,,成等差数列，d c b ,,成等比数列，则d c b a +++的值等于 194 ．3. （2006吉林预赛）如图所示，在杨辉三角中斜线上方的数所组成的数列1，3，6，10，…，记这个数列前n 项和为S(n)，则)(lim3n S nn +∞→=___________。
4．（2006年江苏）等比数列{}n a 的首项为12020a =，公比12q =-．设()f n 表示这个数列的前n 项的积，则当n = 12 时，()f n 有最大值．5. 在x 轴的正方向上，从左向右依次取点列 {}Λ,2,1,=j A j ，以及在第一象限内的抛物线x y 232=上从左向右依次取点列{}Λ,2,1,=k B k ，使k k k A B A 1-∆（Λ,2,1=k ）都是等OOO M N NN15101051146411331121111边三角形，其中0A 是坐标原点，则第2005个等边三角形的边长是 2005。
【解】：设第n 个等边三角形的边长为n a 。
则第n 个等边三角形的在抛物线上的顶点nB 的坐标为（2121nn a a a a ++++-Λ， ⎪⎭⎫ ⎝⎛++++-223121n n a a a a Λ）。
再从第n 个等边三角形上，我们可得n B 的纵坐标为n n na a a 232122=⎪⎭⎫⎝⎛-。
从而有⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=-22323121n n n a a a a a Λ，即有 2211212n n n a a a a a ++++=-Λ。
由此可得221212n n n a a a a a +=+++Λ （1） , 以及 211121212---+=+++n n n a a a a a Λ （2） （1）－（2）即得 ))((21)(21111---+-+-=n n n n n n n a a a a a a a .变形可得 0))(1(11=+----n n n n a a a a .由于01≠+-n n a a ，所以 11=--n n a a 。
在（1）式中取n ＝ 1，可得 2112121a a =，而01≠a ，故11=a 。
因此第2005个等边三角形的边长为 20052005=a 。
6.(2005年浙江)已知数列n x ，满足n x x n n n +=++1)1(, 且21=x ， 则2005x = !20051!2005+。
【解】：由 n x x n n n +=++1)1(，推出 1111+-=-+n x x n n 。
因此有 )!1(12)1()1(1)1()1(1)1(11111211+=-+-==-+-=+-=+-=---+n n n n x n n n x n n x n x x n n n n ΛΛ.即有 1)!1(11++=+n x n 。
从而可得 !20051!20052005+=x 。
7. (2005全国)记集合},4,3,2,1,|7777{},6,5,4,3,2,1,0{4433221=∈+++==i T a a a a a M T i 将M 中的元素按从大到小的顺序排列，则第2005个数是（ ）A ．43273767575+++ B ．43272767575+++ C ．43274707171+++D ．43273707171+++ 解：用p k a a a ][21K 表示k 位p 进制数，将集合M 中的每个数乘以47，得32123412347{777|,1,2,3,4}{[]|,1,2,3,4}.i i M a a a a a T i a a a a a T i '=⋅+⋅+⋅+∈==∈=M ' 中的最大数为107]2400[]6666[=。
在十进制数中，从2400起从大到小顺序排列的第2005个数是2400-2004=396。
而=10]396[7]1104[将此数除以47，便得M 中的数.74707171432+++故选C 。
8．（2004 全国）已知数列012,,,...,,...,n a a a a 满足关系式10(3)(6)18,3n n a a a +-+==且，则1ni o ia =∑的值是_________________________。
解：设1111,0,1,2,...,(3)(6)18,n n n nb n a b b +==-+=则 即1111113610.2,2()333n n n n n n b b b b b b +++--=∴=++=+ 故数列1{}3n b +是公比为2的等比数列，11001111112()2()2(21)33333n n n n n n b b b a +++=+=+=⨯∴=-。
()112001112(21)1(21)(1)2333213n nn ni n i i o i i i b n n a +++===⎡⎤-==-=-+=--⎢⎥-⎣⎦∑∑∑。
9．（2005四川）设t s r ,,为整数，集合}0,222|{r s t a a ts r <<≤++=中的数由小到大组成数列}{n a ：Λ,14,13,11,7，则=36a 131 。
解：∵t s r ,,为整数且r s t <<≤0，∴r 最小取2，此时符合条件的数有122=C3=r ，t s ,可在2,1,0中取，符合条件有的数有323=C同理，4=r 时，符合条件有的数有624=C5=r 时，符合条件有的数有1025=C 6=r 时，符合条件有的数有1526=C7=r 时，符合条件有的数有2127=C因此，36a 是7=r 中的最小值，即13122271036=++=a三、解答题部分1．（200 6天津）已知数列}{n a 满足p a =1，12+=p a ，20212-=+-++n a a a n n n ，其中p 是给定的实数，n 是正整数，试求n 的值，使得n a 的值最小． 【解】令n n n a a b -=+1，Λ,2,1=n 由题设20212-=+-++n a a a n n n ，有201-=-+n b b n n ，且11=b ………5分 于是)20()(11111∑∑-=-=+-=-n i n i i i i b b，即)1(2)]1(21[1---+++=-n n n b b n Λ．∴12)40)(1(+--=n n b n ． （※） …………………10分又p a =1，12+=p a ，则21123172012a a p a a a <<-=-+-=． ∴当n a 的值最小时，应有3≥n ，1+≤n n a a ，且1-≤n n a a ．即01≥-=+n n n a a b ，011≤-=--n n n a a b ． …………………… 15分由（※）式，得⎩⎨⎧-≤--≥--2)41)(2(2)40)(1(n n n n 由于3≥n ，且*N n ∈，解得⎩⎨⎧≤≥4040n n ，∴当40=n 时，40a 的值最小． …………………………………………… 20分2．（2006陕西赛区预赛）(20分)已知sin(2)3sin αββ+=,设tan ,tan x y αβ==,记()y f x =。