专题突破练(1)　函数的综合问题一、选择题1．函数f (x )＝Error!的零点个数为( ) A ．3 B ．2 C ．7 D ．0 答　B解　解法一：由f (x )＝0得Error!或Error!解得x ＝－2或x ＝e ． 因此函数f (x )共有2个零点． 解法二：函数f (x )的图象如图所示， 由图象知函数f (x )共有2个零点．故选B ．2．已知A (2，5)，B (4，1)，若点P (x ，y )在线段AB 上，则的最大值为( ) y2xA ．B ．1C ．D ． 185472答　C解　由题意，得线段AB ：y －1＝(x －4)⇒y ＝－2x ＋9(2≤x ≤4)，所以＝5－12－4y2x＝－1＋≤，当x ＝2时等号成立，即的最大值为．故选C ． －2x ＋92x 92x 54y 2x 543．若变量x ，y 满足|x |－ln ＝0，则y 关于x 的函数图象大致是( )1y答　B解　由|x |－ln ＝0得y ＝＝Error!画出图象可知选B ．1y 1e|x |4．(2018·贵阳模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝log 2(2＋x )－1，则f (－6)＝( )A ．2B ．4C ．－2D ．－4 答　C解　因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )．而在x ≥0时，f (x )＝log 2(2＋x )－1，所以f (－6)＝－f (6)＝－[log 2(2＋6)－1]＝－(log 28－1)＝－2．故选C ．5．(2018·唐山模拟)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，若f (－2)＝0，则满足xf (x )＞0的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪(0，2)B ．(－2，0)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2，0)∪(0，2) 答　A解　因为f (x )是偶函数且在[0，＋∞)上单调递减，所以f (x )在(－∞，0]上单调递增，又f (－2)＝0，所以f (2)＝0，即在区间(－∞，－2)和(2，＋∞)上，f (x )＜0；在区间(－2，2)上，f (x )＞0，所以xf (x )＞0等价于Error!和Error!即得x <－2或0<x <2．故选A ．6．(2018·广东潮州模拟)设函数f (x )＝，则使得f (x 2－2x )>f (3x －6)成立的x1＋|x |x 的取值范围是( )A ．(－∞，2)∪(3，＋∞)B ．(2，3)C ．(－∞，2)D ．(3，＋∞) 答　A解　易得函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝＝1－为单x1＋x11＋x调增函数，故函数f (x )在R 上为增函数，依题意得x 2－2x >3x －6，解得x <2或x >3．故选A ．7．(2018·佛山质检一)已知函数f (x )＝Error! 则下列函数为奇函数的是( ) A ．f (sin x ) B ．f (cos x ) C ．xf (sin x ) D ．x 2f (cos x ) 答　C解　易知f (x )为偶函数，即满足∀x ∈R ，f (－x )＝f (x )恒成立．研究g (x )＝xf (sin x )，g (－x )＝－xf [sin(－x )]＝－xf (－sin x )＝－xf (sin x )＝－g (x )，故g (x )＝xf (sin x )为奇函数．故选C ．8．(2019·青岛质检)已知a ＞b ＞1，则下列结论正确的是( ) A ．a a ＜b b B ．a ln b ＞b ln a C ．a ln a ＞b ln b D ．a b ＜b a 答　C解　取a ＝e ，b ＝，则B 项明显错误；对于D 项，若a b ＜b a 成立，则ln a b ＜ln b a ，e 则b ln a ＜a ln b ，由B 项错误得D 项错误；因为a ＞b ＞1，所以ln a ＞ln b ＞0，由同向不等式相乘得a ln a ＞b ln b ，进一步得ln a a ＞ln b b ，所以a a ＞b b ，所以A 项错误，C 项正确．故选C ．9．若x ，y ∈R ，且满足Error!则x ＋y ＝( ) A ．－4 B ．－3 C ．3 D ．4 答　B解　函数f (t )＝t 3＋2018t (t ∈R )是奇函数，且在R 上是增函数，故若f (u )＋f (v )＝130，则必有u ＋v ＝0，本题中，u ＝x ＋4，v ＝y －1，∴x ＋4＋y －1＝0⇒x ＋y ＝－3．故选B ．10．(2018·长沙统考)函数f (x )＝2x ＋的图象大致为( )x x ＋1答　A 解　f (x )＝2x ＋＝2x －＋1，其定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)．令u (x )x x ＋11x ＋1＝2x ，v (x )＝－．由于u (x )和v (x )都在(－∞，－1)和(－1，＋∞)上单调递增，所以1x ＋1f (x )在(－∞，－1)上和(－1，＋∞)上单调递增，排除C ，D ；又当x 趋向负无穷时，2x 趋近于0，－趋近于0，所以f (x )接近于1，所以选A ． 1x ＋111．(2018·大庆质检一)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈[0，＋∞)时，f ′(x )<0．若a ＝f ln ，b ＝f ln －，c ＝f (e 0．1)，则a ，b ，c 的大小关系为( )121e 1e2A ．b <a <c B ．b <c <a C ．c <a <b D ．a <c <b 答　C解　依题意，有f (x )在[0，＋∞)上单调递减，而且f (x )是定义在R 上的奇函数，则由其图象知f (x )在(－∞，0]上单调递减，从而奇函数f (x )在R 上单调递减．则由ln －1e ＝ln 1－<ln ＝－1，0>ln >ln ＝－1，e0．1>0，知ln －<ln <e 0．1，从而结合1e 21e 1e 1e 121e 1e 1e 212f (x )的单调性，有f ln －>f ln >f (e 0．1)，即c <a <b ．故选C ．1e 1e 21212．(2018·长沙统考)设平行于x 轴的直线l 分别与函数y ＝2x 和y ＝2x ＋1的图象相交于点A ，B ，若函数y ＝2x 的图象上存在点C ，使得△ABC 为等边三角形，则这样的直线l ( )A ．不存在B ．有且只有一条C ．至少有两条D ．有无数条 答　B解　如图，设直线l 的方程为y ＝a (a ＞0)，则点A (log 2a ，a )，B (log 2a －1，a )． 因为直线AB 平行于x 轴，所以|AB |＝1．取AB 中点D ，连接CD ，因为△ABC 是等边三角形，所以CD ⊥AB ，且|AD |＝，|CD |＝，所以点C log 2a －，a －．因为点C 在y ＝2x12321232的图象上，所以a －＝2log2a －＝，解得a ＝，所以直线l 只有一条．故选B ．3212a232－2二、填空题13．若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间[1，4]内有解，则实数a 的取值范围是________．答　(－∞，－2)解　不等式x 2－4x －2－a >0在区间[1，4]内有解等价于a <(x 2－4x －2)max ，令g (x )＝x 2－4x －2，x ∈[1，4]，∴g (x )≤g (4)＝－2，∴a <－2．14．若存在b ∈[1，2]，使得2b (b ＋a )≥4，则实数a 的取值范围是________． 答　[－1，＋∞)解　由题可得2b (a ＋b )≥4⇒a ＋b ≥4b ⇒a ≥4b －b ，即存在b ∈[1，2]使得a ≥4b (12)(12)(12)－b ，因为y ＝4x－x 在R 是单调递减的，所以4b－b 在区间[1，2]上的范围为[－1，(12)(12)1]，则a ≥－1，故填[－1，＋∞)．15．已知函数g (x )的图象与函数f (x )＝log 3x (x >0)的图象关于直线y ＝x 对称，若g (a )·g (b )＝3(其中a >0且b >0)，则＋的最小值为________． 1a 4b答　9解　依题意可知g (x )＝3x ，∴g (a )·g (b )＝3a ·3b ＝3a ＋b ＝3即a ＋b ＝1，∴＋＝1a 4b·(a ＋b )＝5＋＋≥9当且仅当a ＝，b ＝取“＝”． (1a ＋4b )b a 4a b 132316．如图，在第一象限内，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 分别在函数y ＝log x ，y22＝x ，y ＝x 的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴，若点A 的纵坐标是2，则点D1232的坐标是________．答　，12916解　由2＝log x 可得点A ，2，由2＝x 可得点B (4，2)，因为4＝，所以点C22121232916的坐标为4，，所以点D 的坐标为，．91612916三、解答题17．(2018·湖北荆州摸底)已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x )，满足f (mn )＝f (m )＋f (n )(m ，n >0)，且当x >1时，有f (x )>0．(1)求证：f ＝f (m )－f (n )；(mn)(2)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数； (3)比较f与的大小．(m ＋n2)f (m )＋f (n )2解　(1)证明：∵f (m )＝f ＝f ＋f (n )，(m n ·n )(mn)∴f＝f (m )－f (n )． (mn)(2)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝f ．(x 2x1)∵0<x 1<x 2，∴>1，∴f >0，x 2x1(x 2x 1)∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(3)f－(m ＋n 2)f (m )＋f (n )2＝f ＋f － 12(m ＋n 2)12(m ＋n 2)f (m )＋f (n )2＝＋ 12[f (m ＋n 2)－f (m )]12[f (m ＋n2)－f (n )]＝f ＋f12(m ＋n 2m )12(m ＋n 2n )＝f12[(m ＋n )24mn ]∵≥1，∴f≥0，(m ＋n )24mn [(m ＋n)24mn ]故f≥． (m ＋n 2)f (m )＋f (n )218．(2018·浙江宁波统考)已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，g (x )＝x |x －a |． (1)若g (x )为奇函数，求a 的值并判断g (x )的单调性(单调性不需证明)；(2)对任意x 1∈[1，＋∞)，总存在唯一的x 2∈[2，＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，求正实数a 的取值范围．解　(1)∵g (x )为奇函数，∴g (x )＋g (－x )＝x (|x －a |－|x ＋a |)＝0恒成立． ∴a ＝0．此时g (x )＝x |x |，在R 上单调递增． (2)x 1∈[1，＋∞)，f (x )＝log 2(x ＋1)， ∴f (x 1)∈[1，＋∞)，g (x )＝Error!①当a ≤2时，g (x 2)在[2，＋∞)上单调递增， ∴g (2)＝4－2a ≤1，a ≥，∴≤a ≤2．3232②当2<a <4时，g (x 2)在[2，a ]上单调递减，在[a ，＋∞)上单调递增． ∴g (2)＝－4＋2a <1，a <，∴2<a <．5252③当a ≥4时，g (x 2)在2，上单调递增，在，a 上单调递减，在[a ，＋∞)上单调递a 2a2增．∴g ＝－2＋<1，－2<a <2，不成立．a2a 2a 22综上可知≤a ＜．325219．(2018·福建四校联考)某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率P 与日产量x (万件)之间满足关系：P ＝Error!(其中c 为小于6的正常数)．(注：次品率＝次品数/生产量，如P ＝0．1表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品．)已知每生产1万件合格的仪器可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量．(1)试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T (万元)表示为日产量x (万件)的函数； (2)当日产量为多少时，可获得最大利润？ 解　(1)当x >c 时，P ＝，23∴T ＝x ·2－x ·1＝0；1323当1≤x ≤c 时，P ＝，16－x∴T ＝·x ·2－·x ·1＝．(1－16－x )(16－x )9x －2x 26－x综上，日盈利额T (万元)与日产量x (万件)的函数关系为T ＝Error! (2)由(1)，当x >c 时，每天的盈利额为0，∴1≤x ≤c ，①当3≤c <6时，T ＝＝15－2(6－x )＋≤15－12＝3(当且仅当x ＝3时取等9x －2x 26－x 96－x 号)，T max ＝3，此时x ＝3；②当1≤c <3时，由T ′＝＝知函数T ＝在[1，3]上2x 2－24x ＋54(6－x )22(x －3)(x －9)(6－x )29x －2x 26－x递增，∴当x ＝c 时，∴T max ＝．9c －2c 26－c综上，若3≤c <6，则当日产量为3万件时，可获得最大利润； 若1≤c <3，则当日产量为c 万件时，可获得最大利润．20．(2018·天津模拟)统计表明某型号汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/小时)的函数为y ＝x 3－x ＋8(0<x <120)．1128000380(1)当x ＝64千米/小时时，行驶100千米耗油量多少升？ (2)若油箱有22．5升油，则该型号汽车最多行驶多少千米？ 解　(1)当x ＝64千米/小时时，要行驶100千米需要＝小时， 100642516要耗油×643－×64＋8×＝11．95(升)． 11280003802516(2)设22．5升油能使该型号汽车行驶a 千米，由题意得， x 3－x ＋8×＝22．5， 1128000380ax 所以a ＝，22.51128000x 2＋8x －380设h (x )＝x 2＋－， 11280008x 380则当h (x )最小时，a 取最大值， h ′(x )＝x －＝，1640008x 2x 3－80364000x 2令h ′(x )＝0⇒x ＝80，当x ∈(0，80)时，h ′(x )<0，当x ∈(80，120)时，h ′(x )>0，故当x ∈(0，80)时，函数h (x )为减函数，当x ∈(80，120)时，函数h (x )为增函数， 所以当x ＝80时，h (x )取得最小值，此时a 取最大值为＝200．22.51128000×802＋880－380所以若油箱有22．5升油，则该型号汽车最多行驶200千米．专题突破练(1)　函数的综合问题一、选择题1．函数f (x )＝Error!的零点个数为( ) A ．3 B ．2 C ．7 D ．0 答　B解　解法一：由f (x )＝0得Error! 或Error!解得x ＝－2或x ＝e ． 因此函数f (x )共有2个零点．解法二：函数f (x )的图象如图所示，由图象知函数f (x )共有2个零点．故选B ．2．已知A (2，5)，B (4，1)，若点P (x ，y )在线段AB 上，则的最大值为( )y2xA ．B ．1C ．D ． 185472答　C解　由题意，得线段AB ：y －1＝(x －4)⇒y ＝－2x ＋9(2≤x ≤4)，所以＝5－12－4y2x＝－1＋≤，当x ＝2时等号成立，即的最大值为．故选C ． －2x ＋92x 92x 54y 2x 543．若变量x ，y 满足|x |－ln ＝0，则y 关于x 的函数图象大致是( )1y答　B解　由|x |－ln ＝0得y ＝＝Error!画出图象可知选B ．1y1e |x |4．(2018·贵阳模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝log 2(2＋x )－1，则f (－6)＝( )A ．2B ．4C ．－2D ．－4 答　C解　因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )．而在x ≥0时，f (x )＝log 2(2＋x )－1，所以f (－6)＝－f (6)＝－[log 2(2＋6)－1]＝－(log 28－1)＝－2．故选C ．5．(2018·唐山模拟)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，若f (－2)＝0，则满足xf (x )＞0的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪(0，2)B ．(－2，0)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2，0)∪(0，2) 答　A解　因为f (x )是偶函数且在[0，＋∞)上单调递减，所以f (x )在(－∞，0]上单调递增，又f (－2)＝0，所以f (2)＝0，即在区间(－∞，－2)和(2，＋∞)上，f (x )＜0；在区间(－2，2)上，f (x )＞0，所以xf (x )＞0等价于Error!和Error!即得x <－2或0<x <2．故选A ．6．(2018·广东潮州模拟)设函数f (x )＝，则使得f (x 2－2x )>f (3x －6)成立的x1＋|x |x 的取值范围是( )。