2020年全国高考数学试题汇编选择填空压轴题一、选择题(本大题共11小题,共54.0分)1.2020年3月14日是全球首个国际圆周率日(πDay).历史上,求圆周率π的方法有多种,与中国传统数学中的“割圆术”相似,数学家阿尔⋅卡西的方法是:当正整数n充分大时,计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形(各边均与圆相切的正6n边形)的周长,将它们的算术平均数作为2π的近似值.按照阿尔⋅卡西的方法,π的近似值的表达式是()A. 3n(sin30°n +tan30°n) B. 6n(sin30°n+tan30°n)C. 3n(sin60°n +tan60°n) D. 6n(sin60°n+tan60°n)2.设集合A={(x,y)|x−y≥1,ax+y>4,x−ay≤2},则()A. 对任意实数a,(2,1)∈AB. 对任意实数a,(2,1)∉AC. 当且仅当a<0时,(2,1)∉AD. 当且仅当a≤32时,(2,1)∉A3.根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080,则下列各数中与MN最接近的是()(参考数据:lg3≈0.48)A. 1033B. 1053C. 1073D. 10934.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线C:x2+y2=1+|x|y就是其中之一(如图).给出下列三个结论:①曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点);②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过√2;③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.其中,所有正确结论的序号是()A. ①B. ②C. ①②D. ①②③5.袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半,甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个放入乙盒,否则就放入丙盒,重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则()A. 乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B. 乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C. 乙盒中红球不多于丙盒中红球D. 乙盒中黑球与丙盒中红球一样多6. 若2a +log 2a =4b +2log 4b ,则( )A. a >2bB. a <2bC. a >D. a <7. 已知函数f(x)={x 3,x ≥0,−x,x <0.若函数g(x)=f(x)−|kx 2−2x|(k ∈R)恰有4个零点,则k 的取值范围是( ) A. (−∞,−12)∪(2√2,+∞) B. (−∞,−12)∪(0,2√2) C. (−∞,0)∪(0,2√2)D. (−∞,0)∪(2√2,+∞)8. 已知A ,B ,C 为球O 的球面上的三个点,⊙O 1为▵ABC 的外接圆.若⊙O 1的面积为4π,AB =BC =AC =OO 1,则球O 的表面积为( )A. 64πB. 48πC. 36πD. 32π9. 0−1周期序列在通信技术中有着重要应用,若序列a 1a 2…a n …满足a i ∈(0,1)(i =1,2,…),且存在正整数m ,使得a i+m =a i (i =1,2,…)成立,则称其为0−1周期序列,并称满足a i+m =a i (i =1,2,…)的最小正整数m 为这个序列的周期.对于周期为m 的0−1序列a 1a 2…a n …,C(k)=1m ∑a i a i+k (k =1,2,…,m −1)m i=1是描述其性质的重要指标.下列周期为5的0−1序列中,满足C(k)≤15(k =1,2,3,4)的序列是( )A. 11010…B. 11011…C. 10001…D. 11001…10. 已知<,<.设a =3,b =5,c =8,则( )A. a <b <cB. b <a <cC. b <c <aD. c <a <b11. 某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段,表中为10名学生的预赛成绩,其中有三个数据模糊.在这10名学生中,进入立定跳远决赛的有8人,同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人,则( )A. 2号学生进入30秒跳绳决赛B. 5号学生进入30秒跳绳决赛C. 8号学生进入30秒跳绳决赛D. 9号学生进入30秒跳绳决赛二、不定项选择题(本大题共1小题,共5.0分)12. 信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X 所有可能的取值为1,2,,n ,且P(X =i)=>0(i =1,2,,n),=1,定义X 的信息熵H(X)=−( )A. 若n =1,则H (x )=0B. 若n =2,则H(x)随着的增大而增大C. 若=(i =1,2,,n),则H(x)随着n 的增大而增大D. 若n =2m ,随机变量Y 的所有可能取值为1,2,,m ,且P(Y =j)=+(j =1,2,,m)则H(X)H(Y)三、填空题(本大题共12小题,共60.0分)13.为满足人民对美好生活的向往,环保部门要求相关企业加强污水治理,排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t),用−f(b)−f(a)b−a的大小评价在[a,b]这段时间内企业污水治理能力的强弱.已知整改期内,甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示.给出下列四个结论:①在[t1,t2]这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强;②在t2时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强;③在t3时刻,甲,乙两企业的污水排放都已达标;④甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,在[0,t1]的污水治理能力最强.其中所有正确结论的序号是______.14.某网店统计了连续三天售出商品的种类情况:第一天售出19种商品,第二天售出13种商品,第三天售出18种商品;前两天都售出的商品有3种,后两天都售出的商品有4种,则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有______种;②这三天售出的商品最少有______种.15.某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件:(i)男学生人数多于女学生人数;(ii)女学生人数多于教师人数;(iii)教师人数的两倍多于男学生人数.①若教师人数为4,则女学生人数的最大值为______.②该小组人数的最小值为______.16.李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.①当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付__________元;②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为________.17.已知椭圆M:x2a2+y2b2=1(a>b>0),双曲线N:x2m2−y2n2=1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率为__________;双曲线N的离心率为________.18.三名工人加工同一种零件,他们在一天中的工作情况如图所示,其中A i的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数,点B i的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数,i=1,2,3.(1)记Q i为第i名工人在这一天中加工的零件总数,则Q1,Q2,Q3中最大的是______ ;(2)记p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数,则p1,p2,p3中最大的是______ .19.设函数f(x)={x 3−3x,x≤a−2x,x>a.①若a=0,则f(x)的最大值为______;②若f(x)无最大值,则实数a的取值范围是______.20.如图,在三棱锥P−ABC的平面展开图中,AC=1,AB=AD=,AB AC,AB AD,CAE=,则FCB=__________.21.设有下列四个命题:P1:两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.P2:过空间中任意三点有且仅有一个平面.P3:若空间两条直线不相交,则这两条直线平行.P4:若直线l⊂平面α,直线m⊥平面α,则m⊥l.则下述命题中所有真命题的序号是________.①p1∧p4②p1∧p2③¬p2∨p3④¬p3∨¬p422.关于函数f(x)=x+有如下四个命题:f(x)的图像关于y轴对称.f(x)的图像关于原点对称,f(x)的图像关于直线x=对称.f(x)的最小值为2.其中所有真命题的序号是__________.23. 如图,在四边形ABCD 中,∠B =60°,AB =3,BC =6,且AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−32,则实数λ的值为______,若M ,N 是线段BC 上的动点,且|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,则DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为______.24. 数列{a n }满足a n+2+(−1)n a n =3n −1,前16项和为540,则a 1=____.答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查数学中的文化,考查圆的内接和外切多边形的边长的求法,考查运算能力,属于基础题.设内接正6n边形的边长为a,外切正6n边形的边长为b,运用圆的性质,结合直角三角形的锐角三角函数的定义,可得所求值.【解答】解:如图,设内接正6n边形的边长为a,外切正6n边形的边长为b,可得a=2sin360°12n =2sin30°n,b=2tan360°12n =2tan30°n,则2π≈6na+6nb2=6n(sin30°n+tan30°n),即π≈3n(sin30°n +tan30°n),故选:A.2.【答案】D【解析】【分析】本题考查元素与集合的关系,考查运算求解能力,是中档题.根据题意,取特例判断求解即可.【解答】解:当a=−1时,集合A={(x,y)|x−y≥1,ax+y>4,x−ay≤2}={(x,y)|x−y≥1,−x+y>4,x+ y≤2},显然(2,1)不满足,−x+y>4,x+y≤2,所以A不正确;当a=4时,集合A={(x,y)|x−y≥1,ax+y>4,x−ay≤2}={(x,y)|x−y≥1,4x+y>4,x−4y≤2},可知:此时(2,1)∈A,所以B不正确;当a=1时,集合A={(x,y)|x−y≥1,ax+y>4,x−ay≤2}={(x,y)|x−y≥1,x+y>4,x−y≤2},显然此时(2,1)∉A,所以C不正确;故选:D.3.【答案】D【解析】【分析】本题考查指数形式与对数形式的互化,属于基础题.根据对数的性质:T=a log a T,可得:3=10lg3≈100.48,将M也化为10为底的指数形式,进而可得结果.【解答】解:由题意:M≈3361,N≈1080,根据对数性质有:3=10lg3≈100.48,∴M≈3361≈(100.48)361≈10173,∴MN ≈101731080=1093.故选D.4.【答案】C【解析】【分析】本题考查了方程与曲线,属中档题.将x换成−x方程不变,所以图形关于y轴对称,根据对称性讨论y轴右边的图形可得.【解答】解:将x换成−x方程不变,所以图形关于y轴对称,当x=0时,代入得y2=1,∴y=±1,即曲线经过(0,1),(0,−1),当x>0时,方程变为y2−xy+x2−1=0,所以由△=x2−4(x2−1)≥0,解得x∈(0,2√33],所以x只能取整数1,当x=1时,y2−y=0,解得y=0或y=1,即曲线经过(1,0),(1,1),根据对称性可得曲线还经过(−1,0),(−1,1),故曲线一共经过6个整点,故①正确,当x>0时,由x2+y2=1+xy得x2+y2−1=xy≤x2+y22,(当x=y时取等),∴x2+y2≤2,∴√x2+y2≤√2,即曲线C上y轴右边的点到原点的距离不超过√2,根据对称性可得:曲线C上任意一点到原点的距离都不超过√2,故②正确,×2×1=1,在x轴上方图形面积大于矩形面积=1×2=2,x轴下方的面积大于等腰直角三角形的面积=12因此曲线C所围成的“心形”区域的面积大于2+1=3,故③错误,故选C.5.【答案】B【解析】【分析】本题考查了推理与证明,重点是找到切入点逐步进行分析,对学生的逻辑思维能力有一定要求,属于中档题.取出的两球有四种情况,分别分析三个盒子中球的关系即可得出结果.【解答】解:取两个球共有4种情况:①红+红,则乙盒中红球数加1个;②黑+黑,则丙盒中黑球数加1个;③红+黑(红球放入甲盒中),则乙盒中黑球数加1个;④黑+红(黑球放入甲盒中),则丙盒中红球数加1个.设一共有球2a个,则a个红球,a个黑球,甲中球的总个数为a,其中红球x个,黑球y个,x+y=a.则乙中有x个球,其中k个红球,j个黑球,k+j=x;丙中有y个球,其中l个红球,i个黑球,i+l=y;黑球总数a=y+i+j,又x+y=a,故x=i+j由于x=k+j,所以可得i=k,即乙中的红球等于丙中的黑球.故选B.6.【答案】B【解析】【分析】本题考查指数及对数的运算性质,指数及对数函数的单调性,属中档题.【解答】解:根据指数及对数的运算性质,4b+2log4b=22b+log2b,∵log2(2b)=log2b+1>log2b,∴22b+log2(2b)>22b+log2b=2a+log2a,根据函数f(x)=2x+log2x是定义域上的增函数,由f(2b)>f(a),得a<2b,故答案为B.7.【答案】D【解析】【分析】本题考查函数的零点,参数的取值范围,关键利用分类讨论思想,分析函数的交点,属于难题.问题转化为f(x)=|kx2−2x|有四个根,⇒y=f(x)与y=ℎ(x)=|kx2−2x|有四个交点,再分三种情况当k=0时,当k<0时,当k>0时,讨论两个函数四否能有4个交点,进而得出k的取值范围.【解答】解:若函数g(x)=f(x)−|kx2−2x|(k∈R)恰有4个零点,则f(x)=|kx2−2x|有四个根,即y=f(x)与y=ℎ(x)=|kx2−2x|有四个交点,当k=0时,y=f(x)与y=|−2x|=2|x|图象如下:两图象有2个交点,不符合题意,当k<0时,y=|kx2−2x|与x轴交于两点x1=0,x2=2k(x2<x1)图象如图所示,两图象有4个交点,符合题意,当k>0时,y=|kx2−2x|与x轴交于两点x1=0,x2=2k(x2>x1)在[0,2k)内两函数图象有两个交点,所以若有四个交点,只需y=x3与y=kx2−2x在(2k,+∞)还有两个交点,即可,即x3=kx2−2x在(2k,+∞)还有两个根,即k=x+2x 在(2k,+∞)还有两个根,函数y=x+2x≥2√2,(当且仅当x=√2时,取等号),所以0<2k<√2,且k>2√2,所以k>2√2,综上所述,k的取值范围为(−∞,0)∪(2√2,+∞).故选:D.8.【答案】A【解析】【分析】本题考查球的结构与性质,球的表面积公式,属中档题.【解答】解:由圆O1的面积为4π=πr2,故圆O1的半径ρ=2,∵AB=BC=AC=OO1,则三角形ABC是正三角形,由正弦定理:ABsin60∘=2r=4,得AB=OO1=2√3,由R2=r2+OO12,得球O的半径R=4,表面积为4πR2=64π,故答案为A.9.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查新定义类型的问题,属于较难题.【解答】解:对于A选项,C(1)=15∑a i5i=1a i+1=15(1+0+0+0+0)=15,C(2)=15∑a i5i=1a i+2=15(0+1+0+1+0)=25>15,不满足,排除;对于B选项,C(1)=15∑a i5i=1a i+1=15(1+0+0+1+1)=35>15,不满足,排除;对于C选项,C(1)=15∑a i5i=1a i+1=15(0+0+0+0+1)=15,C(2)=15∑a i5i=1a i+2=15(0+0+0+0+0)=0,C(3)=15∑a i5i=1a i+3=15(0+0+0+0+0)=0,C(4)=15∑a i5i=1a i+4=15(1+0+0+0+0)=15,满足;对于D选项,C(1)=15∑a i5i=1a i+1=15(1+0+0+0+1)=25>15,不满足,排除;故选C.10.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查对数与对数函数,借助中间值比较大小.【解答】解:a=log53=ln 3ln 5,b=log85=ln 5ln 8,c=log138=ln 8ln 13,a−b=ln 3ln 5−ln 5ln 8=ln 3⋅ln 8−(ln 5)2ln 5⋅ln 8<(ln 3+ln 82)2−(ln 5)2ln 5⋅ln 8=(ln 24+ln 25)(ln 24−ln 25)4ln 5⋅ln 8<0;c−45=ln 8ln 13−45=5ln 8−4ln 135ln 13=ln 85−ln 1345ln 13>0;b−45=ln 5ln 8−45=5ln 5−4ln 85ln 8=ln 55−ln 845ln 13<0;综上所述,a<b<45<c,即a<b<c,故选A.11.【答案】B【解析】解:∵这10名学生中,进入立定跳远决赛的有8人,故编号为1,2,3,4,5,6,7,8的学生进入立定跳远决赛,又由同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人,则3,6,7号同学必进入30秒跳绳决赛,剩下1,2,4,5,8号同学的成绩分别为:63,a,60,63,a−1有且只有3人进入30秒跳绳决赛,故成绩为63的同学必进入30秒跳绳决赛,故选:B根据已知中这10名学生中,进入立定跳远决赛的有8人,同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人,逐一分析四个答案的正误,可得结论.本题考查的知识点是推理与证明,正确利用已知条件得到合理的逻辑推理过程,是解答的关键.12.【答案】AC【解析】【分析】本题考查离散型随机变量的应用,重点考查对新定义的理解,属于难题.【解答】解:A选项中,由题意知p1=1,此时H(X)=−1×log21=0,故A正确;B选项中,由题意知p1+p2=1,且p1∈(0,1),H(X)=−p1log2p1−p2log2p2=−p1log2p1−(1−p1)log2(1−p1),设f(x)=−xlog2x−(1−x)log2(1−x),x∈(0,1)则f′(x)=−log2x−1ln2+log2(1−x)+1ln2=log2(1x−1),当x∈(12,1)时,f′(x)<0,当x∈(0,12)时,f′(x)>0,故当p1∈(0,12)时,H(X)随着p1的增大而增大,当p1∈(12,1)时,H(X)随着p1的增大而减小,故B错误;C 选项中,由题意知H(X)=n ×(−1n )log 21n =log 2n ,故H(X)随着n 的增大而增大,故C 正确.D 选项中,由题意知H(Y)=−∑(p j +p 2m+1−j )m j=1log 2(p j +p 2m+1−j ),H(X)=−∑p j 2m j=1log 2p j =−∑(p j m j=1log 2p j +p 2m+1−j log 2p 2m+1−j ), H(X)−H(Y)=∑log 2(p j +p 2m+1−j )p j +p 2m+1−j m j=1−∑(log 2p j p j +log 2p 2m+1−jp 2m+1−j m j=1) =∑log 2(p j +p 2m+1−j )p j +p 2m+1−j p j p j p 2m+1−j p 2m+1−j m j=1=∑log 2(p j +p 2m+1−j )p j (p j +p 2m+1−j )p 2m+1−j p j p j p 2m+1−j p 2m+1−j m j=1=∑log 2(1+p 2m+1−j p j )p j (1+p j p 2m+1−j )p 2m+1−j m j=1>0,故D 错误,故答案为AC .13.【答案】①②③【解析】解:设甲企业的污水排放量W 与时间t 的关系为W =f(t),乙企业的污水排放量W 与时间t 的关系为W =g(t).对于①,在[t 1,t 2]这段时间内,甲企业的污水治理能力为−f(t 2)−f(t 1)t 2−t 1, 乙企业的污水治理能力为−g(t 2)−g(t 1)t 2−t 1.由图可知,f(t 1)−f(t 2)>g(t 1)−g(t 2),∴−f(t 2)−f(t 1)t 2−t 1>−g(t 2)−g(t 1)t 2−t 1,即甲企业的污水治理能力比乙企业强,故①正确;对于②,由图可知,f(t)在t 2时刻的切线的斜率小于g(t)在t 2时刻的切线的斜率,但两切线斜率均为负值, ∴在t 2时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强,故②正确;对于③,在t 3时刻,甲,乙两企业的污水排放都小于污水达标排放量,∴在t 3时刻,甲,乙两企业的污水排放都已达标,故③正确;对于④,由图可知,甲企业在[0,t 1],[t 1,t 2],[t 2,t 3]这三段时间中,在[t 1,t 2]的污水治理能力最强,故④错误.∴正确结论的序号是①②③.故答案为:①②③.由两个企业污水排放量W 与时间t 的关系图象结合平均变化率与瞬时变化率逐一分析四个命题得答案. 本题考查利用数学解决实际生活问题,考查学生的读图视图能力,是中档题.14.【答案】16 29【解析】解:①设第一天售出商品的种类集为A ,第二天售出商品的种类集为B ,第三天售出商品的种类集为C ,如图,则第一天售出但第二天未售出的商品有19−3=16种;②由①知,前两天售出的商品种类为19+13−3=29种,第三天售出但第二天未售出的商品有18−4=14种,当这14种商品属于第一天售出但第二天未售出的16种商品中时,即第三天没有售出前两天的商品时,这三天售出的商品种类最少为29种.故答案为:①16;②29.①由题意画出图形得答案;②求出前两天所受商品的种数,由特殊情况得到三天售出的商品最少种数. 本题考查集合的包含关系及其应用,考查了集合中元素的个数判断,考查学生的逻辑思维能力,是中档题. 15.【答案】6 12【解析】解:①设男学生女学生分别为x ,y 人,若教师人数为4,则{x >yy >42×4>x,即4<y <x <8,即x 的最大值为7,y 的最大值为6,即女学生人数的最大值为6.②设男学生女学生分别为x ,y 人,教师人数为z ,则{x >yy >z 2z >x,即z <y <x <2z即z 最小为3才能满足条件,此时x 最小为5,y 最小为4,即该小组人数的最小值为12,故答案为:6,12①设男学生女学生分别为x ,y 人,若教师人数为4,则{x >yy >42×4>x,进而可得答案;②设男学生女学生分别为x,y人,教师人数为z,则{x>yy>z2z>x,进而可得答案;本题考查的知识点是推理和证明,简易逻辑,线性规划,难度中档.16.【答案】①130;②15.【解析】【分析】本题考查不等式在实际问题的应用,考查化简运算能力,属于中档题.①由题意可得顾客一次购买的总金额,减去x,可得所求值;②在促销活动中,设订单总金额为m元,讨论m的范围,可得(m−x)×80%≥m×70%,解不等式,结合恒成立思想,可得x的最大值.【解答】解:①当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,可得60+80=140(元),即有顾客需要支付140−10=130(元);②在促销活动中,设订单总金额为m元,当0<m<120时,显然符合题意;当m≥120时,可得(m−x)×80%≥m×70%,即有x≤m8,可得x≤1208=15,则x的最大值为15元.故答案为:130;15.17.【答案】√3−1;2【解析】【分析】本题考查椭圆和双曲线的简单性质,考查计算能力,属于中档题.根据题意,可得正六边形的一个顶点(c2,√3c2),代入椭圆方程,求出椭圆的离心率;再根据双曲线渐近线斜率求出双曲线离心率即可.【解答】解:椭圆M:x2a2+y2b2=1(a>b>0),双曲线N:x2m2−y2n2=1,若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,又椭圆的一个焦点为(c,0),可得正六边形的一个顶点(c2,√3c2),可得:c 24a 2+3c 24b 2=1,可得14e 2+34(1e 2−1)=1,可得e 4−8e 2+4=0,e ∈(0,1), 解得e =√3−1.同时,双曲线的渐近线的斜率为√3,即n m =√3,可得:n 2m 2=3,即m 2+n 2m 2=4,可得双曲线的离心率为√m2+n 2m =2.故答案为:√3−1;2.18.【答案】Q 1;p 2【解析】【分析】本题考查的知识点是函数的图象,分析出Q i 和p i 的几何意义,是解答的关键.(1)若Q i 为第i 名工人在这一天中加工的零件总数,则Q i =A i +B i ,是A i B i 连线的中点的纵坐标的2倍,进而得到答案.(2)若p i 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数,则p i 为A i B i 中点与原点连线的斜率;进而得到答案.【解答】解:(1)设A 1(x A 1,y A 1),B 1(x B 1,y B 1),线段A 1B 1的中点为E(x 1,y 1),则Q 1=y A 1+y B 1=2y 1.因此,要比较Q 1,Q 2,Q 3的大小,只需比较线段A 1B 1,A 2B 2,A 3B 3中点纵坐标的大小,作图比较知Q 1最大.(2)若p i 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数,则p i 为A i B i 中点与原点连线的斜率,故p 1,p 2,p 3中最大的是p 2.故答案为:Q 1,p 2.19.【答案】2;(−∞,−1)【解析】【分析】本题考查的知识点是分段函数的应用,函数的最值,难度中档.①将a =0代入,求出函数的导数,分析函数的单调性,可得当x =−1时,f(x)的最大值为2;②根据y =x 3−3x 与y =−2x 有三个交点,结合f(x)无最大值,可得答案.【解答】解:①若a =0,则f(x)={x 3−3x,x ≤0−2x,x >0,则f′(x)={3x 2−3,x ≤0−2,x >0, 当x <−1时,f′(x)>0,此时函数为增函数,当x >−1时,f′(x)<0,此时函数为减函数,故当x =−1时,f(x)的最大值为2;②对于y =x 3−3x ,可知y′=3x 2−3,令y′=3x 2−3=0得x =±1,当x ∈(−∞,−1)∪(1,+∞)时,y′>0,函数单调递增;当x ∈(−1,1)时,y′<0,函数单调递减;且易知y =x 3−3x 与y =−2x 有三个交点,坐标为(0,0),(1,−2),(−1,2),若f(x)无最大值,则a <−1,故答案为:2,(−∞,−1).20.【答案】−14【解析】【分析】本题考查利用正余弦定理解三角形,属于中档题.【解答】解:由已知得BD =√2AB =√6,∵D 、E 、F 重合于一点,∴AE =AD =√3,BF =BD =√6,∴ △ACE 中,由余弦定理得,∴CE =CF =1,∴在△BCF 中,由余弦定理得.故答案为.21.【答案】①③④【解析】【分析】本题考查含逻辑联结词的命题真假的判断以及立体几何相关知识,属于中档题.【解答】解:对于p1:可设l1与l2,所得平面为α.若l3与l1相交,则交点A必在平面α内.同理l2与l3的交点B在平面α内,故直线AB在平面α内,即l3在平面α内,故p1为真命题.对于p2:过空间中任意三点,若三点共线,可形成无数个平面,故p2为假命题.对于p3:空间中两条直线的位置关系有平行,相交,异面,故p3为假命题.对于p4:若m⊥α,则m垂直于平面α内的所有直线,故m⊥l,故p4为真命题.综上可知,p1∧p4为真命题,¬p2∨p3为真命题,¬p3∨¬p4为真命题.故答案为①③④.22.【答案】②③【解析】【分析】本题主要考查了三角函数的图象与性质及函数的奇偶性、对称性等有关知识,属于中档题.根据函数奇偶性定义可判断出函数图象的对称性;通过函数图象关于直线对称可得等量关系,进而检验等式是否成立即可;特殊值法可判断出函数的最值.【解答】解:根据题意,易得函数定义域关于原点对称,f(−x)=sin(−x)+1sin(−x)=−(sinx+1sinx)=−f(x),所以f(x)是奇函数,图象关于原点对称,故①错误,②正确;若函数f(x)关于直线x=π2对称,则有f(π2−x)=f(π2+x),即sin(π2−x)+1sin(π2−x)=sin(π2+x)+1sin(π2+x),通过化简可得等式成立.故③正确;当x=−π2时,f(−π2)=−2<2,故④错误.故答案为②③.23.【答案】16 132 【解析】【分析】 本题考查了向量在几何中的应用,考查了向量的共线和向量的数量积,以及二次函数的性质,属于中档题. 以B 为原点,以BC 为x 轴建立如图所示的直角坐标系,根据向量的平行和向量的数量积即可求出点D 的坐标,即可求出λ的值,再设出点M ,N 的坐标,根据向量的数量积可得关于x 的二次函数,根据二次函数的性质即可求出最小值.【解答】解:以B 为原点,以BC 为x 轴建立如图所示的直角坐标系,∵∠B =60°,AB =3,∴A(32,3√32), ∵BC =6,∴C(6,0),∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴AD//BC ,设D(x 0,3√32), ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0−32,0),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−32,−3√32), ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−32(x 0−32)+0=−32,解得x 0=52, ∴D(52,3√32), ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,0),∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =16BC ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴λ=16,∵|MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1, 设M(x,0),则N(x +1,0),其中0≤x ≤5,∴DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −52,−3√32),DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −32,−3√32), ∴DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −52)(x −32)+274=x 2−4x +212=(x −2)2+132,当x =2时取得最小值,最小值为132,第21页,共21页 故答案为:16,132. 24.【答案】7【解析】【分析】本题主要考查累加法求通项公式,等差数列的求和公式以及数列的递推关系,属较难题. 对n 取偶数,再结合条件可求得前16项中所有奇数项的和,对n 取奇数时,利用累加法求得a n+2的值,用其表示出前16项和可得答案.【解答】解:因为a n+2+(−1)n a n =3n −1,当n =2,6,10,14时,a 2+a 4=5,a 6+a 8=17, a 10+a 12=29,a 14+a 16=41因为前16项和为540,所以a 1+a 3+a 5+a 7+a 9+a 11+a 13+a 15=540−(5+17+29+41), 所以a 1+a 3+a 5+a 7+a 9+a 11+a 13+a 15=448,当n 为奇数时,a n+2−a n =3n −1,所以a 3−a 1=2,a 5−a 3=8,a 7−a 5=14⋯a n+2−a n =3n −1,累加得a n+2−a 1=2+8+14+⋯3n −1=(2+3n−1)⋅n+122,∴a n+2=(3n+1)⋅(n+1)4+a 1,∴a 3=2+a 1,a 5=10+a 1,a 7=24+a 1,a 9=44+a 1,a 11=70+a 1,a 13=102+a 1, a 15=140+a 1,因为a 1+a 3+a 5+a 7+a 9+a 11+a 13+a 15=448,所以8a 1+392=448,所以a 1=7. 故答案为7.。