第一章 勾股定理 1.1 探索勾股定理
【学习目标】：
1、经历用数格子的办法探索勾股定理的过程.
2、探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系. 一．情景引入
勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。
正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，因此有许多名称。
中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一。
中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理。
二．导入课题
（图中每个小方格代表一个单位面积）
1、 观察图1—1，正方形A 中有_______个小方格，即A 的面积为______个单位。
正方形B 中有_______个小方格，即B 的面积为______个单位。
正方形C 中有_______个小方格，即C 的面积为______个单位。
图1—2中，A,B,C 之间的面积之间有什么关系？ SA+SB=SC
结论1：两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积.
2.图1—1、1—2中，你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？
3.你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？
结论2：直角三角形边的两直角边的平方和等于斜边的平方。
这就是著名的“勾股定理”，也就是说：如果直角三角形的两直角边为a,b,斜边为c ，那么2
2
2
c b a =+
4.美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法。
三、解读探究
例1.已知直角三角形的两条直角边长分别为6和8，求斜边长x．
分析可直接利用勾股定理．
解由勾股定理，得，所以．
由，可得．
例2.在中，，若，则
例3.如图，中，AB=13，BC=14，AC=15，求BC边上的高AD．
三、基础练习
1.△ABC，∠C=90°，a=9，b=12，则c =_______．
2.△ABC，AC=6，BC=8,当AB=________时，∠C=90°．
3.等边三角形的边长为6 cm，则它的高为__________．
4.直角三角形两直角边长分别为5 和12，则斜边上的高为__________．
5.等腰三角形的顶角为120°，底边上的高为3，则它的周长为__________．
6.若直角三角形两直角边之比为3∶4，斜边长为20，则它的面积为__________．
7.若一个三角形的三边长分别为3，4， x ，则使此三角形是直角三角形的x 的值是 __________．
这里的29英寸（74厘米）的电视机，指的是屏幕的长吗？只的是屏幕的款吗？那他指什么呢？ 荧屏对角线的长度
1.2 勾股定理的应用
【学习目标】：
1． 经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程。
2． 掌握勾股定理和他的简单应用。
一．情景引入
1. 我方侦察员小王在距离东西向公路400M 处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶。
他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400M 。
10S 后，汽车与他相离500M 。
你能邦小王计算敌方汽车的速度吗？
分析：根据题意：可以先画出符合题意的图形。
如下图，图中△ABC 的400,90=︒=∠AC c 米，AB=500米，其中点C 点B 表示两个时刻汽车的位置，那么就可以由勾股定理来解决这个问题了。
这里一定要注意单位的换算。
解：由勾股定理得米）(900004005002
2
2
2
2
=-=-=AC AB BC
即BC=300米 汽车10秒行驶300米，那么它1小时行驶的距离为：
米）
(108000360010
300
=⨯
答：每个小时速度为540千米。
二、解读探究
例1.利用勾股定理求两点之间距离问题
某工人拿一个2.5m 的长的梯子，一头放在离墙1.5m 处，另一头靠墙，以便去修理梯子另一头的有线电视分线盒（如图）．这个分线盒离地多高？
分析 图中是直角三角形， ，根据勾股定
理可求出BC 的长．
解 在直角三角形 中，因为
，所以 ．由 ，得
．
所以分线盒离地面2m ．
例2.用勾股定理求最短问题
如图，直四棱柱侧棱长为4cm ，底面是长为5cm 宽为3cm 的长方形．一只蚂蚁从顶点A 出发沿棱柱的表面爬到顶点B ．求： （1）蚂蚁经过的最短路程.
解：（1）AB 的长就为最短路线．
然后根据 若蚂蚁沿侧面爬行，则经过的路程为 （cm ）； 若蚂蚁沿侧面和底面爬行，则经过的路程为 （cm ）， 或
（cm ）所以蚂蚁经过的最短路程是
cm ．
例3.用勾股定理逆定理
如图5，已知正方形ABCD 中，，
，求证：
证明：连结FC ，设AF ＝1，则DF ＝3，，
在
、
、
中
5米3米
由勾股定理的逆定理知
即
三、基础练习
1.如图1-1-8为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地
毯,地毯的长度至少需要____________米.
2.有一圆柱体如图，高4cm，底面半径5cm，A处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到C处，求
蚂蚁爬行的最短距离.
3.如图1-1-9，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树
高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞
___________米.
4.如图，已知长方形ABCD中AB=8 cm,BC=10 cm,在边CD上取一点E，
将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.
第2题。