工程學院基礎數學題庫第五章空間中的直線與平面第六章球面方程式第七章矩陣與行列式第五章 空間中的直線與平面5-1.空間中直線與平面的概念1.設ABCD 為正四面體，各面均為正三角形，其稜長為1，為M 的CD 中點， 求 AB 與CD 兩歪斜線間的距離？ 若∠AMB ＝θ，求cos θ＝？【a 22； 31】 【解】 a a a 22)2()23(22=- 餘弦定理a 2＝θcos 23232434322⨯⨯⨯-+a a a a ,cos θ＝312.四面體A-BCD 中,2,4======BD CD BC AD AC AB ， 求四面體A-BCD 之體積？【3112 】 【解】G 是△ABC 重心33232==DE DG 344)332(422=-=AG ，體積＝311234433131=⨯⨯=⨯∆⨯AG BCD3.如圖，OA 垂直平面E ，AB 垂直直線L ，已知OA ＝9，AB ＝12， BC ＝20，求OC ＝？【三垂線定理】【 25 】【解】2222129AB OA OB +=+=＝15,22222015BC OB OC +=+=＝25 4.空間中O 點在平面E 的垂足為A 點，OA ＝3，L 為平面E 之 直線，由A 作直線L 的垂線交於B 點，AB ＝2，C 為直線L 之 點，已知OC ＝7，求BC ＝？ 【三垂線定理】【 6 】【解】1323AB OA OB 2222=+=+=,)13(-7OB -OC BC 222==＝6 5.有一四面體OABC ，它的一個底面ABC 是邊長4的正三角形， 且知OA ＝OB ＝OC ＝a ，如果直線OA 與直線BC 間的公垂線段長 (亦即此兩直線間的距離)是3，則a ＝？(以最簡分數表示) 【38】 【解】4a OM 2-=,作AO MN ⊥於點N設ON ＝a －3，222OM MN ON =+2222)4a ()3()3a (-=+-，a ＝386.設ABCD 為四面體，底面為BCD ，側稜AB ＝4，AC ＝AD ＝5， 底邊BC ＝BD ＝5，CD ＝6，令平面ACD 與平面BCD 所定的兩面角 度量為銳角θ，求cos θ＝？【21 】【解】△ABM 為正三角形，θ＝60°，則cos60°＝21 7.長方體如圖,若3,3,2===AE AD AB ，若△ABD 與△BDE 所在平面之二面角為θ，則sin θ＝？A DE HF G【1713】 【解】133222=+=+=22AD AB BD過E 點作EM 垂直BD 於M 點，AM ＝1361332BD AD AB =⋅=⋅ tan θ＝2136133AM AE =⋅=，則sin θ＝17138.如圖正立方體ABCD-EFGH 的稜長等於2，K 為正方形ABCD 的中心， M,N 分別為線段BF ,EF 的中點，求△KMN 之面積為？A DKBME NCH6】【29.如圖，ABCD是邊長為2的正方形，P,Q分別為CDBC,的中點，若將正方形沿虛線向上摺起，使B,C,D三點重合，令此點為R，求四面體APQR的體積？1】【310.將ㄧ張四邊形的紙ABCD沿著對角線BD摺起，使得∠ABC＝45°，BC=＝22，∠A＝60°，若平面ABD與平面BCD 已知ADAB=＝4，CD的夾角為θ，則cosθ＝？【 33】5-2.空間坐標系與空間向量1.如下圖，正四角錐體的底面是正方形，其正方形邊長為4， 側稜長為6，求平面OAB 與平面OBC 之夾角θ，則cos θ＝？【 －81】【解】328,6244=⨯=⨯AP AP 24,328===AC CP AP 餘弦定理θ⨯⨯⨯-+=cos 3283282)328()328()24(222 解得81cos -=θ2.續上題，求平面OAB 與平面ABCD 之夾角α，則cos α＝？【42】 【解】平面OAB 與平面ABCD 之夾角＝平面OBC 與平面ABCD 之夾角 cos α＝42242==OP PM3.如下圖，正四角錐體的底面是正方形，其正方形邊長為1單位長， 側稜長亦為1單位長，求平面OAB 與平面OAD 之夾角θ，則cos θ＝？【 －31】4.已知一正四面體，其中三頂點坐標分別為(0，0，0)、(2，0，0) 及(1，1，2)，則另一頂點之坐標為？【 (1，35，－32)；(1，－1，2) 】【解】⎪⎩⎪⎨⎧=-+-+-=++-=++4)2()1()1(4)2(4222222222z y x z y x z y xx ＝1，y 2＋z 2＝3，(y －1)2＋(z －2)2＝4 (z －2)(3z ＋2)＝0，z ＝2，－32，解得y ＝－1，355.令A(－1，6，0)、B(3，－1，－2)、C(4，4，5)為坐標空間中三點， 若D 為空間中一點且滿足DC DB DA 243+-＝0，則點D 的坐標為？ 【 (－7，30，8) 】6.如圖長方體的長、寬、高分別為3、4、5，今置頂點A 於空間坐標系， 原點(0，0，0)，置頂點B 於正z 軸上，求頂點C 之z 坐標？【225 】【解】由上圖得知(z －52)2＝z 2 ，解得z ＝225 7.設(2，2，0)、(－2，2，0)、(－2，－2，0)、(2，－2，0) 為一正立方體的四個頂點，則下列哪些點也是此正立方體的頂點？ (A) (2，0，2) (B) (0，2，2) (C) (2，2，4) (D) (2，2，22) (E ) (－2，0，－2) 【 (A)；(E) 】 【解】8.ABCD －EFGH 邊長等於1之正立方體，若P 點在正立方體內部且滿足AE AD AB AP 322143++=，求P 點至直線AB 之距離？【65】 【解】P )32,43,21(對xy 平面的投影Q )0,43,21(對直線AB 的投影R )0,43,1(222)320()4343()211(-+-+-=PR ＝659.如圖為一單位正立方體ABCDEFGH ，即稜長為1。

則四面體ACFH 的表面積為？四面體ACFH 的體積為？(以最簡分數表示)【 32；31】【解】正△CHF 面積2)2(43⨯＝23四面體ACFH 表面積＝4×23＝23四面體ACFH 體積＝3122a ＝3)2(122＝3110.空間中四點A(1，1，2)、B(－1，0，3)、C(3，k ，1)、D(2，0，－1) 求： 若A 、B 、C 、D 四點共平面，則k ＝？ 若四面體ABCD 之體積為5，則k ＝？ 【 2； －4，8 】【解】 AB ＝(－2，－1，1),AC ＝(2，k －1，－1),AD ＝(1，－1，－3)平行六面體之體積＝311112112------k ＝010k 5-＝0，解得k ＝2 四面體之體積＝10k 561-＝5 k －2＝6或－6，解得k ＝8或－45-3.空間向量的內積與外積1.如下圖長方體ABCD-EFGH ，已知H(0，0，0)且3=HE ，4=HG ，2=HD 對角線AG 與EC 相交於一點P ，若∠APC ＝θ，求cos θ＝？【 －2921 】【解】設A(3，0，2)，G(0，4，0) E(3，0，0)，C(0，4，2)，P(23，2，1) PA ＝(23，－2，1)，PC ＝(－23，2，1) 內積PA ．PC ＝(23，－2，1)．(－23，2，1)＝－421PA ．PC ＝429429⨯×cos θ＝－421；cos θ＝－2921 2.如下圖，正立方體ABCD-EFGH ，O 為正立方體的中心，P 在GH 上，2:1:=PH GP ，Q 在DH 上且2:1:=QH DQ ，則cos ∠ POQ ＝？【193】 A DB C․O E HF G【解】設O(3，3，3),P(4，6，0),Q(0，6，4),P O ＝(1，3，－3)Q O ＝(－3，3，1) P O ．Q O ＝1919⨯×cos ∠ POQ ＝3，cos ∠ POQ ＝1933.在坐標空間中給定兩點A(1，2，3)與B(7，6，5)，令S 為xy 平面上， 所有使得向量PA 垂直於向量PB 的P 點所成的集合，則(A)S 為空集合 (B)S 恰含一點 (C) S 恰含兩點 (D)S 為一線段 (E)S 為一圓 【 (A) 】4.設u 、v 為兩非零向量，以∣u ∣表示u 之長度，若∣u ∣＝2∣v ∣ ＝∣2u ＋3v ∣，且θ表示u 與v 之夾角，則cos θ＝？ 【 －87】【解】2212)32(++=+cos 12=+⨯+=θ5.在坐標空間中，通過O(0，0，0)、N(0，0，1)、P(41，411，－21)三點的平面與球面S ：x 2＋y 2＋z 2＝1相交於一個圓C ，求圓C 的劣弧NP 的弧長？【π32】 【解】θcos 11)1,0,0()21,411,41(⨯⨯=⋅-=⋅ON OP ，則cos θ＝－216.如圖O-ABCD 是一金字塔，底是邊長為2的正方形，頂點O 與A,B,C,D 的距離都是2，求下列各式的值？ (1)OD OA ⋅＝？(2)頂點O 到底面ABCD 的距離為＝？【 (1)2；(2)2 】【解】(1)OD OA ⋅＝2⨯2⨯cos60°＝2⨯2⨯21＝2 (2)3CN OC ON 22=-=；2132222=-=-=MN ON OM7.如下圖，ABCD-EFGH 是各稜長皆為3之正立方體，求cos ∠BED ＝？【21】 【解】建立坐標系，設邊長為3，B(3，3，3)、D(0，0，3)、E(3，0，0)內積EB ．ED ＝(0，3，3)．(－3，0，3)＝9 內積EB ．ED ＝1818⨯×cos θ，則cos θ＝21 8.續上題，求△BED 之面積？【329】 【解】3299181821)(212222=-⨯=⋅-ED EB ED EB 9.續上題，點A 到平面BED 的距離？【 3 】 【解】A(3，0，3)到平面BED 距離3331)1(13303222==+-+-+- 10.如下圖正立方體ABCD-EFGH ，P 在EF 上，且2:1:=PF EP ， 則cos ∠APG ＝？ 【 －65130】【解】內積PA ．PG ＝(－1，0，3)．(2，3，0)＝－2內積PA ．PG ＝1310⨯×cos ∠APG ＝－2，則cos ∠APG ＝65130-1.過點(7，0，－3)而與二平面2x －4y ＋3z ＝0，7x ＋2y ＋z －14＝0 垂直之平面方程式？ 【 10x －19y －32z ＝166 】 【解】 外積(2，－4，3)×(7，2，1)＝(1234-，7123，2742-)＝(－10，19，32) 設平面方程式10x －19y －32z ＋c ＝0代點(7，0，－3) 解得c ＝－1662.平面E 過點A(1，0，0)、B(0，0，31)且與平面x ＋z ＝21之銳交角為45°，求平面E 之方程式？ 【66x ＋y ＋26z ＝66；66x －y ＋26z ＝66】 【解】設截距式1311=++zb y x ，bx ＋y ＋3bz ＝b 法向量(b ，1，3b)， 平面x ＋z ＝21法向量(1，0，1) 內積(b ，1，3b)．(1，0，1)＝21012b +⨯×cos45°，則b ＝66±3.定點P(3，4，5)作一平面E ，則E 與三個坐標平面在第一象限內所圍成 的四面體之最小體積為？此時E 與x 軸交於A 點之坐標？與y 軸交於B 點 之坐標？與z 軸交於C 點之坐標？【 270；A(9，0，0)；B(0，12，0)；C(0，0，15)； 】【解】設截距式1c z b y a x =++，3c5b 4a 33c 5b 4a 3⨯⨯≥++，abc ≧27×60 四面體體積＝61abc ＝270，c 5b 4a 3==＝31，a ＝9，b ＝12，c ＝154.給定一平面π：x －3y ＋2z ＋4＝0及一直線L ：513621-+=-=+z y x ， 試求在空間中包含L 而與π垂直的平面方程式？ 【 x ＋y ＋z －4＝0 】【解】外積(1，－3，2)×(2，3，－5)＝(3231,2512,5323----)＝(1，1，1) 設平面方程式x ＋y ＋z ＋c ＝0代點(－1，6，－1)解得c ＝－4,x ＋y ＋z －4＝05.在空間中，已知平面E 過點(3，0，0)、(0，4，0)及正z 軸上一點 (0，0，a)，如果平面E 與xy 平面的夾角成45°，求a ＝？ 【512 】 【解】設截距式1az4y 3x =++，4ax ＋3ay ＋12z ＝12a 法向量(4a ，3a ，12) xy 平面的法向量(0，0，1)內積(0，0，1)．(4a ，3a ，12)＝1×()22212a 3)a 4(++×cos45°~解得a＝5126.已知直線L1、L2交於(1，0，－1)，且互相垂直，其中t為實數，⎪⎩⎪⎨⎧-==+=11:1ztytxL；⎪⎩⎪⎨⎧--=-=+=tztytxL11:2，若以L1為軸將L2旋轉一圈得一平面，則此平面方程式？【x＋y＝1 】7.如下圖，OABC-DEFG是各稜長皆為2之正立方體，P在EF上且為EF的中點，Q在FG上且為FG的中點，求cos∠BPQ＝？【1010】【解】內積PB．PQ＝(0，1，－2)．(－1，1，0)＝1＝25⨯×cosθ8.續上題，求△BPQ之面積？【23】【解】2312521)(21222=-⨯=⋅-PQPBPQPB9.續上題，點F到平面BPQ的距離？【32】【解】外積PB×PQ＝(0，1，－2)×(－1，1，0)(1110,1002,0121----)＝(2，2，1) 設平面2x ＋2y ＋z ＋c ＝0代點B(2，2，0)解得c ＝－8, 2x ＋2y ＋z －8＝0 點F(2，2，2)到平面BPQ 距離321228244222=++-++10.設△ABC 的三頂點坐標分別為A(－2，7，15)、B(1，16，3)、C(10，7，3)， 求(1)通過A 、B 、C 三點的平面方程式？(2)求△A BC 的外心坐標？ 【 x ＋y ＋z ＝20； (3，9，8) 】1.在空間中，下列選項中的方程組何者圖形為一直線？ (A) z ＝3 (B) 2x ＋3y ＝6(C)1-z43-4y 23x -=-=- (D)⎩⎨⎧=+=9z -y 2x 7z -y -x (E)⎪⎩⎪⎨⎧+===8t -9z 5y 6t -2x ，t 為任意實數 【 (C)；(D)；(E) 】 2.空間中三點P(6，－4，4)、Q(2，1，2)、R(3，－1，4) 自P 作QR 的垂直線求垂足H 的坐標？ P 至QR 的最短距離？ 【 (4，－3，6)； 3 】【解】參數式 x ＝2＋t y ＝1－2t z ＝2＋2t設垂足H 的坐標(2＋t ，1－2t ，2＋2t),PH ＝(t －4，－2t ＋5，2t －2)PH 與方向向量內積(t －4，－2t ＋5，2t －2)．(1，－2，2)＝0解得t ＝2,H(4，－3，6),PH ＝()()()()222643446-+---+-＝33.設L 為x －y ＋z ＝1與x ＋y －z ＝1兩平面的交線，則直線L 上與 點(1，2，3)距離最近之點坐標為多少？【 (1，25，25) 】4.△ABC 的三頂點坐標為A(2，－3，5)、B(3，0，10)、C(x ，y ，0)， 則求使△ABC 的周長最小的點C 坐標為？ 【 (37，－2，0) 】 【解】A(2，－3，5)對xy 平面的對稱點A /(2，－3，－5) 直線A /B 方向向量(1，3，15)直線A /B 參數式x ＝3＋t ，y ＝3t ，z ＝10＋15t 設C 坐標為(3＋t ，3t ，10＋15t ) 已知z ＝10＋15t ＝0，解得t ＝－32，x ＝3＋t ＝37，y ＝3t ＝－2 5.設空間坐標分別為A(1，1，3)、B(－2，1，1)、C(2，－1，6) 求通過A 、B 、C 三點的平面方程式？【 4x －7y －6z ＋21＝0 】【不共線的三點決定唯一的平面】【解】外積AB (－3，0，－2)×AC (1，－2，3)＝(2103,1332,3220------)＝(－4，7，6)＝(4，－7，－6) 設平面方程式4x －7y －6z ＋d ＝0代點A(1，1，3)，解得d ＝21，平面4x －7y －6z ＋21＝06.空間中A(1，2，3)與L:124221--=+=-z y x 所決定之平面方程式？ 【 4x －y ＋4z －14＝0 】【直線與線外一點決定唯一的平面】【解】外積(0，4，1)×(2，4，－1)＝(4240,2101,1414--)＝(－8，2，－8)＝(4，－1，4) 設平面方程式4x －y ＋4z ＋d ＝0，A(1，2，3)，d ＝－147.求包含二直線L:231121--=+=-z y x 與M:132513+=--=-z y x 的平面方程式？ 【 3x ＋4y ＋5z －14＝0 】【兩相交直線決定唯一的平面】【解】方向向量＝(2，1，－2)，方向向量＝(1，－2，1)外積(2，1，－2)×(1，－2，1)＝ (2112,1122,1221----)＝(－3，－4，－5)＝(3，4，5) 設平面方程式3x ＋4y ＋5z ＋d ＝0代點(1，－1，3)，解得d ＝－14，平面3x ＋4y ＋5z －14＝08.求包含二直線L:2113z y x =-+=與M:23132+=-=-z y x 的平面方程式？【 x ＋13y ＋5z ＋13＝0 】【兩平行直線決定唯一的平面】 【解】AB ＝(2，1，－3)，方向向量＝(3，－1，2)外積(2，1，－3)×(3，－1，2)＝ (1312,3223,2131----)＝(－1，－13，－5)＝(1，13，5) 設平面方程式x ＋13y ＋5z ＋d ＝0代點(0，－1，0)，解得d ＝13，平面x ＋13y ＋5z ＋13＝0 9.直線L 1:12121zy x =-=+,L 2:12221+==-z y x 求L 1與 L 2的距離？ 【 3 】【二平行線間的距離】【解】L 1參數式x ＝－1＋2t ，y ＝1＋2t ，z ＝t ，點A(－1＋2t ，1＋2t ，t)L 2點B(1，0，－2)，向量BA ＝(－2＋2t ，1＋2t ，t ＋2) 內積BA ．(2，2，1)＝(－2＋2t ，1＋2t ，t ＋2)．(2，2，1)＝0 解得t ＝0，A(－1，1，0)則L 1與 L 222221)2(++-=＝310.求兩歪斜線L 1：42z 21y 31x -=-=+；L 2：21z 11y 31x -+=-=+的 公垂線段長？ 【 3979】【二歪斜線間的距離】【解】L 1方向向量(3，2，4)與L 2方向向量(3，1，－2)的外積 公垂向量(3，2，4)×(3，1，－2)＝(1323,3234,2142--)＝(－8，18，－3) L 1上的點A(－1，1，2)與L 2上的點B(－1，1，－1) AB (0，0，－3)在公垂向量(－8，18，－3)的投影長()222318)8()3,18,8()3,0,0(-++---⋅-＝3979第六章 球面方程式1.空間中有兩點A(1，3，5)、B(7，3，－1)，若有一球面S 通過A 、B 兩點 且球心在直線L ：23z 2y 1x +=-=-上，求此球的半徑？【 69 】【解】設球心(1＋t ，－2t ，－3＋2t)222222)22()32()6()82()32(-+++-=-+++t t t t t tt ＝2，球心(3，－4，1)，半徑222)15()43()13(-+++-＝692.空間中一點A(4，－4，4)，球面S:x 2＋y 2＋z 2－2x －4y ＋4z ＝0 求點A 到球面S 的最小距離為m ，最大距離為M ？【 6；12 】 【解】S ：(x －1)2＋(y －2)2＋(z ＋2)2＝9，球心(1，2，－2)球半徑為3A(4，－4，4)到球心(1，2，－2)距離 ＝222))2(4()24()14(--+--+-＝9最小距離為m ＝9－3＝6，最大距離為M ＝9＋3＝123.空間中有兩點P(10，2，5)、Q(－6，10，11)，試求 以PQ 為直徑的球面 方程式？ 此球面與xy 平面所交的圓面積？●此球面與z 軸截出的線段長？ 【 (x －2)2＋(y －6)2＋(z －8)2＝89； 25π； ●14 】 【解】 球心(2，6，8) 半徑222)85()62()210(-+-+-＝91664++＝89球方程式(x －2)2＋(y －6)2＋(z －8)2＝89設z ＝0 (x －2)2＋(y －6)2＋64＝89 (x －2)2＋(y －6)2＝25則球面與xy 平面所交的圓面積25π●設x ＝0，y ＝0，4＋36＋(z －8)2＝89 (z －8)2＝49z－8＝7或－7解得z＝15或1 z軸交點(0，0，1)、(0，0，15)則球面與z軸截出的線段長＝15－1＝144.設O(0，0，0)、I(1，0，0)、J(0，2，0)、K(0，0，3)試求四面體O-IJK的外接球面方程式？【x2＋y2＋z2－x－2y－3z＝0 】【解】設球面一般式x2＋y2＋z2＋dx＋ey＋fz＋g＝0代(0，0，0) g＝0代(1，0，0) 1＋d＋g＝0 d＝－1代(0，2，0) 4＋2e=0 e＝－2代(0，0，3) 9＋3f=0 f＝－3則球面方程式x2＋y2＋z2－x－2y－3z＝05.空間中四平面x＝0，y＝0，z＝0，x＋y＋z＝1，圍成一個四面體，則此四面體的內切球的半徑為？【633 】【解】設內切球的半徑為r，則球心坐標(r，r，r)球心(r ，r ，r)到切平面x ＋y ＋z ＝1的距離為半徑rr 1111r r r 122=++-++，解得－3r ＝3r －1r ＝331+＝633-6.設平面6x ＋3y ＋2z －18＝0與三坐標平面圍成一四面體，求此四面體的 內切球的方程式？【 (x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＝1 】【解】設A(3，0，0)，B(0，6，0)，C(0，0，9) 設球半徑r ，球心(r ，r ，r)球心(r ，r ，r)到切平面6x ＋3y ＋2z －18＝0的距離為半徑r7181123618236222-=++-++r r r r ＝r ，r ＝1，29(不合) 內切球方程式(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＝17.空間中球面x 2＋y 2＋z 2＝4上兩點A(1，－1，2)、B(1，1，2)一隻烏龜沿球面從A 爬至B ，其最短距離為？【32π】 【解】內積OA ．OB ＝(1，－1，2)．(1，1，2)＝2內積OA ．OB ＝2．2．cos θ＝2，cos θ＝21，解得θ＝3π最短航線長＝弧長＝r θ＝2×3π＝32π8.在平面z ＝0有一圓，其圓心為(0，0，0)半徑為1，今有一球其球面 含此圓及點(0，0，3)，則此球半徑？【332 】【解】設球半徑為r ，直角△OBC 商高定理222B C OC OB =+ 222r )r 3(1=-+，解得r ＝332 9.空間中有二個半徑相同的球，兩球的交集落在平面4x ＋6y ＋12z ＝49 若其中一球的球心是原點，則另一球的球心坐標？ 【 (2，3，6) 】【解】設過兩球的球心的直線參數式為x ＝4t ，y ＝6t ，z ＝12t 則球心坐標(4t ，6t ，12t)球心(0，0，0)到平面4x ＋6y ＋12z －49＝0的距離＝222126449++＝27解得t ＝21，球心(4t ，6t ，12t)＝(2，3，6)10.直線121121--=+=-z y x 上一點P ，使到球面S ：x 2＋y 2＋z 2＋4x －6y ＋4z ＋16＝0距離最小，求P 的坐標？距離的最小值？【 P(35,32,35-)；3311－1 】【解】設P(1＋2t ，－1＋t ，2－t) 球心O(－2，3，－2) ，球半徑1內積OP ．(2，1，－1)＝(3＋2t ，－4＋t ，4－t)．(2，1，－1)＝0t ＝31，P(35,32,35-)－r ＝3311－11.平面E ：2x －y ＋2z ＋1＝0截球面S ：x 2＋y 2＋z 2－2x ＋2y －2z －7＝0 於一圓，求圓心坐標？圓面積？【 圓心(－31，－31，－31)；6π 】【解】S ：(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z －1)2＝10，球心(1，－1，1)，半徑為10圓心坐標(1＋2t ，－1－t ，1＋2t)代入平面2x －y ＋2z ＋1＝0 解得t ＝－32，則圓心坐標(－31，－31，－31)2.平面E ：2x －y ＋2z ＋4＝0截球面S ：x 2＋y 2＋z 2－6x ＋4z －36＝0 於一圓C ，求此圓心坐標？【 (35，32，－310) 】【解】設圓心坐標(3＋2t ，－t ，－2＋2t)代入平面2x －y ＋2z ＋4＝0 解得t ＝－32，則圓心坐標(35，32，－310)3.球面通過點A(1，1，－3)且與平面E ：x －2y －2z ＝7相切於點 B(3，－1，－1)，求球面方程式？ 【 x 2＋(y －5)2＋(z －5)2＝81 】【解】設過球心與切點直線參數式x ＝3＋t ，y ＝－1－2t ，z ＝－1－2t 則球心坐標(3＋t ，－1－2t ，－1－2t)球心到切點的距離＝球心到球面點的距離＝半徑()()()()()222222t 22t 222t t 2t 2t -+--++=-+-+解得t＝－3，球心坐標(0，5，5)半徑＝()()81t2t2t9t2222=+＝9-=+-4.在坐標空間中，球面S交xy平面於一半徑為13圓心為(2，3，0)的圓，且S通過點(6，6，6)，求S的半徑？【29】【解】設球心(2，3，c)，球半徑r2)62222+--=c，解得c＝4+c+13)3(6()2)6((-半徑r＝222)2=c＝2913+(+13(4)5.設一球面S過點(5，4，2)且與xy平面交於一圓x2＋y2－4x－4y＋7＝0 試求此球面方程式？【(x－2)2＋(y－2)2＋(z－4)2＝17 】【解】圓(x－2)2＋(y－2)2＝1，圓心(2，2)，圓半徑為1設球心坐標(2，2，c)球半徑＝()()2222)c-+=+c--+2142(25解得c＝4，則球面方程式(x－2)2＋(y－2)2＋(z－4)2＝176.設球面S過點(3，－1，2)且與xz平面交集為一圓(x－1)2＋(z＋1)2＝18 試求此球面方程式？【(x－1)2＋(y－2)2＋(z＋1)2＝22 】【解】圓心(1，－1)，圓半徑為18，設球心坐標(1，b，－1)球半徑＝()()()22222))1(2(b 11318b --+--+-=+解得b ＝2，則球面方程式(x －1)2＋(y －2)2＋(z ＋1)2＝227.球面S 通過點A(2，1，－3)且與平面E ：x －2y －2z ＝8相切於點 B(4，－1，－1)，求球面S 之球心坐標？球面半徑？ 【 (1，5，5)；9 】【解】設過球心與切點的直線參數式x ＝4＋t ，y ＝－1－2t ，z ＝－1－2t 設球心坐標(4＋t ，－1－2t ，－1－2t)球心到切點的距離＝球心到球面點的距離＝球半徑()()()()()2222222222222t t t t t t -+--++=-+-+解得t ＝－3，球心坐標(1，5，5)半徑＝()()81t 9t 2t 2t 2222==-+-+＝98.空間中，半徑為22的四個球，其中任兩球均外切，然而此四球的 縫隙之中，剛好又塞進一個小球，此小球同時與此四球均相切，求 此小球的半徑？ 【 2＋362 】9.將四個大小相同，半徑均為1的球分上下二層緊密的堆疊在地面上，下層堆三個球，上層第四個球堆在下層三個球的中間空隙中，相鄰兩球相切，上層ㄧ球與下層三球皆相切，求上層的球之最高點離地面的高度？【23－22】10.設S:x2＋y2＋z2＝54為坐標空間中的球面，L為坐標空間中通過點P(0，－6，9)且方向向量為(1，4，－2)的直線：(1)求L與S的所有交點之坐標。