第八节 函数与方程1．函数f(x)＝ln(x ＋1)－2x 的一个零点所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)2．若x 0是方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＝x 13的解，则x 0属于区间( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 D.⎝⎛⎭⎪⎫0，133．(A.金华模拟)若函数f(x)＝(m －2)x 2＋mx ＋(2m ＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12 4．(A.舟山模拟)设函数f 1(x)＝log 2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，f 2(x)＝log 12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的零点分别为x 1，x 2，则( )A ．0<x 1x 2<1B ．x 1x 2＝1C ．1<x 1x 2<2D ．x 1x 2≥25．已知函数f(x)＝a x ＋x －b 的零点x 0∈(n ，n ＋1)(n ∈Z )，其中常数a ，b 满足2a ＝3,3b ＝2，则n 的值为( )A ．－1B ．－2C ．1D ．26．(A.温州模拟)偶函数f(x)满足f(x －1)＝f(x ＋1)，且当x ∈[0,1]时，f(x)＝－x ＋1，则关于x 的方程f(x)＝lg(x ＋1)在x ∈[0,9]上解的个数是( )A ．7B ．8C ．9D ．107．函数f(x)＝⎩⎨⎧x 2＋2x －3，x ≤0－2＋ln x ，x>0的零点个数为________．8．(A.杭州模拟)已知函数f(x)＝⎩⎨⎧x ，x ≤0，x 2－x ，x>0，若函数g(x)＝f(x)－m有三个不同的零点，则实数m 的取值范围为__________．9．(A.义乌模拟)已知函数f(x)＝ln x ＋3x －8的零点x 0∈[a ，b]，且b －a ＝1，a ，b ∈N *，则a ＋b ＝________.10．设函数f(x)＝ax 2＋bx ＋b －1(a ≠0)． (1)当a ＝1，b ＝－2时，求函数f(x)的零点；(2)若对任意b ∈R ，函数f(x)恒有两个不同零点，求实数a 的取值范围． 11．已知函数f(x)＝－x 2＋2ex ＋m －1，g(x)＝x ＋e 2x(x>0)．(1)若g(x)＝m 有实数根，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．12．是否存在这样的实数a ，使函数f(x)＝x 2＋(3a －2)x ＋a －1在区间[－1,3]上与x 轴有且只有一个交点．若存在，求出a 的范围，若不存在，说明理由．[冲击名校]1．已知函数f(x)满足f(x)＋1＝1fx ＋1，当x ∈[0,1]时，f(x)＝x ，若在区间(－1,1]内，函数g(x)＝f(x)－mx －m 有两个零点，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，13D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，122．已知函数f(x)＝⎩⎨⎧kx ＋1，x ≤0，ln x ，x>0，则下列关于函数y ＝f(f(x))＋1的零点个数的判断正确的是( )A ．当k>0时，有3个零点；当k<0时，有2个零点B ．当k>0时，有4个零点；当k<0时，有1个零点C ．无论k 为何值，均有2个零点D ．无论k 为何值，均有4个零点 [高频滚动]1．若函数f(x)＝a 2x －4，g(x)＝log a |x|(a>0，a ≠1)，且f(2)·g(－2)<0，则函数f(x)、g(x)在同一坐标系内的大致图象是 ( )\A B C D2．已知函数 y ＝f(x)的定义域是R ，若对于任意的正数a ，函数g(x)＝f(x ＋a)－f(x)是其定义域上的增函数，则函数y ＝f(x)的图象可能是( )A B C D答案 [全盘巩固]1．解析：选B 由题意知，函数f(x)＝ln(x ＋1)－2x 的定义域为(－1,0)∪(0，＋∞)，结合四个选项可知，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(1)<0，f(2)>0，所以函数f(x)＝ln(x ＋1)－2x的一个零点所在的区间是(1,2)．2．解析：选C 构造函数f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －x 13，则函数f(x)的图象是连续不断的一条曲线，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213－⎝ ⎛⎭⎪⎫1313>0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212－⎝ ⎛⎭⎪⎫1213<0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0，故函数的零点所在区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12，即方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝x 13的解x 0属于区间⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12.3．解析：选C 依题意，结合函数f(x)的图象分析可知m 需满足⎩⎨⎧m ≠2，f 1f 0<0，f 1f2<0，即⎩⎨⎧m ≠2，[m －2－m 2m ＋1]2m ＋1<0，[m －2＋m2m ＋1][4m －22m2m ＋1]<0，解得14<m<12.4．解析：选A 依题意知x 1>x 2>0，且log 2x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 1＝0，log 12x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＝0，则log 2x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 1＝log 12x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＝－log 2x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2，所以log 2x 1＋log 2x 2＝log 2x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2<0＝log 21，所以0<x 1x 2<1. 5．解析：选A a ＝log 23>1，b ＝log 32<1，令f(x)＝0，得a x ＝－x ＋b.在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝a x 和y ＝－x ＋b 的图象，由图可知，两函数的图象在区间(－1,0)内有交点，所以函数f(x)在区间(－1,0)内有零点，所以n ＝－1.6．解析：选C 依题意得f(x ＋2)＝f(x)，所以函数f(x)是以2为周期的函数．在平面直角坐标系中画出函数y ＝f(x)的图象与y ＝lg(x ＋1)的图象(如图所示)，观察图象可知，这两个函数的图象在区间[0,9]上的公共点共有9个，因此，当x ∈[0,9]时，方程f(x)＝lg(x ＋1)的解的个数是9.7．解析：法一：令f(x)＝0，得⎩⎨⎧x ≤0，x 2＋2x －3＝0或⎩⎨⎧x>0，ln x ＝2，解得x＝－3或x ＝e 2，所以函数f(x)有两个零点．法二：画出函数f(x)的图象(图略)可得，图象与x 轴有两个交点，则函数f(x)有两个零点．答案：28．解析：由g(x)＝f(x)－m ＝0，得f(x)＝m ，作出函数y ＝f(x)的图象，当x>0时，f(x)＝x 2－x ＝⎝⎛⎭⎪⎫x －122－14≥－14，所以要使函数g(x)＝f(x)－m 有三个不同的零点，只需直线y ＝m 与函数y ＝f(x)的图象有三个交点即可，如图，只需－14<m<0.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，09．解析：∵f(2)＝ln 2＋6－8＝ln 2－2<0， f(3)＝ln 3＋9－8＝ln 3＋1>0，且函数f(x)＝ln x ＋3x －8在(0，＋∞)上为增函数， ∴x 0∈[2,3]，即a ＝2，b ＝3. ∴a ＋b ＝5. 答案：510．解：(1)当a ＝1，b ＝－2时，f(x)＝x 2－2x －3， 令f(x)＝0，得x ＝3或x ＝－1. ∴函数f(x)的零点为3或－1.(2)依题意，f(x)＝ax 2＋bx ＋b －1＝0有两个不同实根， ∴b 2－4a(b －1)>0恒成立，即对于任意b ∈R ，b 2－4ab ＋4a>0恒成立， 所以有(－4a)2－4×(4a)<0⇒a 2－a<0，解得0<a<1， 因此实数a 的取值范围是(0,1)．11．解：(1)法一：∵g(x)＝x ＋e 2x ≥2e 2＝2e ，等号成立的条件是x ＝e ，故g(x)的值域是[2e ，＋∞)，因此，只需m ≥2e ，g(x)＝m 就有实数根．法二：作出g(x)＝x ＋e 2x (x>0)的大致图象如图：可知若使g(x)＝m 有实数根，则只需m ≥2e.(2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，作出g(x)＝x ＋e 2x(x>0)的大致图象．∵f(x)＝－x 2＋2ex ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2，∴f(x)的图象的对称轴为x ＝e ，开口向下，最大值为m －1＋e 2.故当m －1＋e 2>2e ，即m>－e 2＋2e ＋1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．∴m 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞)．12．解：∵Δ＝(3a －2)2－4(a －1)＝9⎝⎛⎭⎪⎫a －892＋89>0，∴若存在实数a 满足条件，则只需f(－1)·f(3)≤0即可．f(－1)·f(3)＝(1－3a ＋2＋a －1)·(9＋9a －6＋a －1)＝4(1－a)(5a ＋1)≤0，所以a ≤－15或a ≥1.检验：①当f(－1)＝0时，a ＝1. 所以f(x)＝x 2＋x.令f(x)＝0，即x 2＋x ＝0，得x ＝0或x ＝－1. 方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a ≠1. ②当f(3)＝0时，a ＝－15，此时f(x)＝x 2－135x －65. 令f(x)＝0，即x 2－135x －65＝0， 解得x ＝－25或x ＝3.方程在[－1,3]上有两根，不合题意， 故a ≠－15.综上所述，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－15∪(1，＋∞)．[冲击名校]1．解析：选D 当x ∈(－1,0]时，x ＋1∈(0,1]．因为函数f(x)＋1＝1f x ＋1，所以f(x)＝1fx ＋1－1＝1x ＋1－1＝－x x ＋1.即f(x)＝⎩⎨⎧－xx ＋1，x1，0]，x ，x 0，1].函数g(x)＝f(x)－mx －m 在区间(－1,1]内有两个零点等价于方程f(x)＝m(x ＋1)在区间(－1,1]内有两个根，令y ＝m(x ＋1)，在同一坐标系中画出函数y ＝f(x)和y ＝m(x ＋1)的部分图象(图略)，可知当m ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，12时，函数g(x)＝f(x)－mx －m 有两个零点．2．解析：选B 当k>0时，f(f(x))＝－1，结合图(1)分析， 则f(x)＝t 1∈(－∞，－1k )或f(x)＝t 2∈(0,1)．对于f(x)＝t 1，存在两个零点x 1，x 2；对于f(x)＝t 2，存在两个零点x 3，x 4.此时共计存在4个零点． 当k<0时，f(f(x))＝－1，结合图(2)分析， 则f(x)＝t ∈(0,1)，此时仅有1个零点x 0.[高频滚动1．解析：选B f(2)·g(－2)＝a 0log a 2<0，得0<a<1，所以f(x)＝a 2x －4在R 上为减函数，g(x)＝log a |x|在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数．2．解析：选A 设x 1<x 2，由g(x)为其定义域上的增函数，得f(x 1＋a)－f(x 1)<f(x 2＋a)－f(x 2)，即f(x 1＋a)－f(x 2＋a)<f(x 1)－f(x 2)，所以f x 1＋a f x 2＋a x 1＋ax 2＋a>f x 1f x 2x 1－x 2，即曲线y ＝f(x)的割线的斜率单调递增．结合函数图象可知，选项A 正确．。