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高三导数压轴题题型归纳

导数压轴题题型1. 高考命题回顾例1已知函数f(x)=e x -ln(x +m).(2013全国新课标Ⅱ卷)(1)设x =0是f(x)的极值点,求m ,并讨论f(x)的单调性; (2)当m≤2时,证明f(x)>0.(1)解 f (x )=e x -ln(x +m )⇒f ′(x )=e x -1x +m ⇒f ′(0)=e 0-10+m=0⇒m =1,定义域为{x |x >-1},f ′(x )=e x-1x +m=e x x +1-1x +1,显然f (x )在(-1,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增.(2)证明 g (x )=e x -ln(x +2),则g ′(x )=e x -1x +2(x >-2).h (x )=g ′(x )=e x -1x +2(x >-2)⇒h ′(x )=e x +1x +22>0,所以h (x )是增函数,h (x )=0至多只有一个实数根,又g ′(-12)=1e -132<0,g ′(0)=1-12>0,所以h (x )=g ′(x )=0的唯一实根在区间⎝⎛⎭⎫-12,0内, 设g ′(x )=0的根为t ,则有g ′(t )=e t -1t +2=0⎝⎛⎭⎫-12<t <0, 所以,e t =1t +2⇒t +2=e -t ,当x ∈(-2,t )时,g ′(x )<g ′(t )=0,g (x )单调递减; 当x ∈(t ,+∞)时,g ′(x )>g ′(t )=0,g (x )单调递增; 所以g (x )min =g (t )=e t -ln(t +2)=1t +2+t =1+t 2t +2>0,当m ≤2时,有ln(x +m )≤ln(x +2),所以f (x )=e x -ln(x +m )≥e x -ln(x +2)=g (x )≥g (x )min >0. 例2已知函数)(x f 满足2121)0()1(')(x x f ef x f x +-=-(2012全国新课标) (1)求)(x f 的解析式及单调区间;(2)若b ax x x f ++≥221)(,求b a )1(+的最大值。

(1)1211()(1)(0)()(1)(0)2x x f x f e f x x f x f e f x --'''=-+⇒=-+令1x =得:(0)1f =1211()(1)(0)(1)1(1)2x f x f e x x f f e f e --'''=-+⇒==⇔= 得:21()()()12xx f x e x x g x f x e x '=-+⇒==-+ ()10()xg x e y g x '=+>⇒=在x R ∈上单调递增 ()0(0)0,()0(0)0f x f x f x f x ''''>=⇔><=⇔<得:()f x 的解析式为21()2xf x e x x =-+且单调递增区间为(0,)+∞,单调递减区间为(,0)-∞(2)21()()(1)02xf x x ax b h x e a x b ≥++⇔=-+-≥得()(1)x h x e a '=-+①当10a +≤时,()0()h x y h x '>⇒=在x R ∈上单调递增 x →-∞时,()h x →-∞与()0h x ≥矛盾②当10a +>时,()0ln(1),()0ln(1)h x x a h x x a ''>⇔>+<⇔<+ 得:当ln(1)x a =+时,min ()(1)(1)ln(1)0h x a a a b =+-++-≥22(1)(1)(1)ln(1)(10)a b a a a a +≤+-+++> 令22()ln (0)F x x x x x =->;则()(12ln )F x x x '=-()00()0F x x F x x ''>⇔<<<⇔>当x =max ()2eF x =当1,a b ==(1)a b +的最大值为2e例3已知函数ln ()1a x bf x x x=++,曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。

(2011全国新课标) (Ⅰ)求a 、b 的值;(Ⅱ)如果当0x >,且1x ≠时,ln ()1x kf x x x>+-,求k 的取值范围。

解(Ⅰ)221(ln )'()(1)x x b x f x x x α+-=-+ 由于直线230x y +-=的斜率为12-, 且过点(1,1),故(1)1,1'(1),2f f =⎧⎪⎨=-⎪⎩即1,1,22b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩解得1a =,1b =。

(Ⅱ)由(Ⅰ)知ln 1f ()1x x x x =++,所以 22ln 1(1)(1)()()(2ln )11x k k x f x x x x x x---+=+--。

考虑函数()2ln h x x =+2(1)(1)k x x--(0)x >,则22(1)(1)2'()k x x h x x -++=。

(i)设0k ≤,由222(1)(1)'()k x x h x x+--=知,当1x ≠时,'()0h x <,h(x)递减。

而(1)0h =故当(0,1)x ∈时, ()0h x >,可得21()01h x x >-; 当x ∈(1,+∞)时,h (x )<0,可得211x - h (x )>0 从而当x>0,且x ≠1时,f (x )-(1ln -x x +x k )>0,即f (x )>1ln -x x (ii )设0<k<1.由于2(1)(1)2k x x -++=2(1)21k x x k -++-的图像开口向下,且244(1)0k ∆=-->,对称轴x=111k >-.当x ∈(1,k -11)时,(k-1)(x 2 +1)+2x>0,故'h (x )>0,而h (1)=0,故当x ∈(1,k -11)时,h (x )>0,可得211x-h (x )<0,与题设矛盾。

(iii )设k ≥1.此时212x x +≥,2(1)(1)20k x x -++>⇒'h (x )>0,而h (1)=0,故当x ∈ (1,+∞)时,h (x )>0,可得211x- h (x )<0,与题设矛盾。

综合得,k 的取值范围为(-∞,0]例4已知函数f(x)=(x 3+3x 2+ax+b)e -x . (2009宁夏、海南)(1)若a =b =-3,求f(x)的单调区间;(2)若f(x)在(-∞,α),(2,β)单调增加,在(α,2),(β,+∞)单调减少,证明β-α>6. 解: (1)当a =b =-3时,f(x)=(x 3+3x 2-3x -3)e -x ,故f′(x)=-(x 3+3x 2-3x -3)e -x +(3x 2+6x -3)e -x =-e -x (x 3-9x)=-x(x -3)(x+3)e -x .当x <-3或0<x <3时,f′(x)>0;当-3<x <0或x >3时,f′(x)<0. 从而f(x)在(-∞,-3),(0,3)单调增加,在(-3,0),(3,+∞)单调减少.(2)f′(x)=-(x 3+3x 2+ax+b)e -x +(3x 2+6x+a)e -x =-e -x [x 3+(a -6)x+b -a ]. 由条件得f′(2)=0,即23+2(a -6)+b -a =0,故b =4-a.从而f′(x)=-e -x [x 3+(a -6)x+4-2a ].因为f′(α)=f′(β)=0,所以x 3+(a -6)x+4-2a =(x -2)(x -α)(x -β)=(x -2)[x 2-(α+β)x+αβ]. 将右边展开,与左边比较系数,得α+β=-2,αβ=a -2.故a 4124)(2-=-+=-αβαβαβ.又(β-2)(α-2)<0,即αβ-2(α+β)+4<0.由此可得a <-6. 于是β-α>6.2. 在解题中常用的有关结论※3. 题型归纳①导数切线、定义、单调性、极值、最值、的直接应用(构造函数,最值定位)(分类讨论,区间划分)(极值比较)(零点存在性定理应用)(二阶导转换)例1(切线)设函数a x x f -=2)(. (1)当1=a 时,求函数)()(x xf x g =在区间]1,0[上的最小值;(2)当0>a 时,曲线)(x f y =在点)))((,(111a x x f x P >处的切线为l ,l 与x 轴交于点)0,(2x A 求证:a x x >>21.例2(最值问题,两边分求)已知函数1()ln 1af x x ax x-=-+-()a ∈R . ⑴当12a ≤时,讨论()f x 的单调性; ⑵设2()2 4.g x x bx =-+当14a =时,若对任意1(0,2)x ∈,存在[]21,2x ∈,使12()()f x g x ≥,求实数b 取值范围.②交点与根的分布例3(切线交点)已知函数()()323,f x ax bx x a b R =+-∈在点()()1,1f 处的切线方程为20y +=.⑴求函数()f x 的解析式;⑵若对于区间[]2,2-上任意两个自变量的值12,x x 都有()()12f x f x c -≤,求实数c 的最小值;⑶若过点()()2,2M m m ≠可作曲线()y f x =的三条切线,求实数m 的取值范围.例4(综合应用)已知函数.23)32ln()(2x x x f -+=⑴求f (x )在[0,1]上的极值;⑵若对任意0]3)(ln[|ln |],31,61[>+'+-∈x x f x a x 不等式成立,求实数a 的取值范围;⑶若关于x 的方程b x x f +-=2)(在[0,1]上恰有两个不同的实根,求实数b 的取值范围.③不等式证明例5 (变形构造法)已知函数1)(+=x ax ϕ,a 为正常数. ⑴若)(ln )(x x x f ϕ+=,且a 29=,求函数)(x f 的单调增区间;⑵在⑴中当0=a 时,函数)(x f y =的图象上任意不同的两点()11,y x A ,()22,y x B ,线段AB 的中点为),(00y x C ,记直线AB 的斜率为k ,试证明:)(0x f k '>.⑶若)(ln )(x x x g ϕ+=,且对任意的(]2,0,21∈x x ,21x x ≠,都有1)()(1212-<--x x x g x g ,求a 的取值范围.例6 (高次处理证明不等式、取对数技巧)已知函数)0)(ln()(2>=a ax x x f .(1)若2)('x x f ≤对任意的0>x 恒成立,求实数a 的取值范围;(2)当1=a 时,设函数x x f x g )()(=,若1),1,1(,2121<+∈x x e x x ,求证42121)(x x x x +<例7(绝对值处理)已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点,且在1=x 处取得极大值.(I )求实数a 的取值范围;(II )若方程9)32()(2+-=a x f 恰好有两个不同的根,求)(x f 的解析式;(III )对于(II )中的函数)(x f ,对任意R ∈βα、,求证:81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f . 例8(等价变形)已知函数x ax x f ln 1)(--=()a ∈R .(Ⅰ)讨论函数)(x f 在定义域内的极值点的个数;(Ⅱ)若函数)(x f 在1=x 处取得极值,对x ∀∈),0(+∞,2)(-≥bx x f 恒成立,求实数b 的取值范围;(Ⅲ)当20e y x <<<且e x ≠时,试比较xyx y ln 1ln 1--与的大小. 例9(前后问联系法证明不等式)已知217()ln ,()(0)22f x x g x x mx m ==++<,直线l与函数(),()f x g x 的图像都相切,且与函数()f x 的图像的切点的横坐标为1。

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