导数压轴题题型引例【2016高考山东理数】(本小题满分13分) 已知. （I ）讨论的单调性；（II ）当时，证明对于任意的成立.1. 高考命题回顾例1.已知函数)f x =（a e 2x+(a ﹣2) e x ﹣x . （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.()221()ln ,R x f x a x x a x -=-+∈()f x 1a =()3()'2f x f x +＞[]1,2x ∈例2.（21）（本小题满分12分）已知函数()()()221x f x x e a x =-+-有两个零点. (I)求a 的取值范围；(II)设x 1,x 2是()f x 的两个零点,证明：122x x +<.例3.（本小题满分12分）已知函数f （x ）=31,()ln 4x ax g x x ++=- (Ⅰ)当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x = 的切线；（Ⅱ）用min {},m n 表示m,n 中的最小值，设函数}{()min (),()(0)h x f x g x x => ，讨论h （x ）零点的个数例4.(本小题满分13分)已知常数,函数(Ⅰ)讨论在区间上的单调性;(Ⅱ)若存在两个极值点且求的取值范围.例5已知函数f(x)＝e x－ln(x＋m)．(1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；(2)当m≤2时，证明f(x)>0.例6已知函数)(x f 满足2121)0()1(')(x x f ef x f x +-=- (1)求)(x f 的解析式及单调区间； (2)若b ax x x f ++≥221)(，求b a )1(+的最大值。

例7已知函数，曲线在点处的切线方程为。

（Ⅰ）求、的值；（Ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围。

ln ()1a x bf x x x=++()y f x =(1,(1))f 230x y +-=a b 0x >1x ≠ln ()1x kf x x x>+-k例8已知函数f(x)＝(x3+3x2+ax+b)e－x.(1)若a＝b＝－3,求f(x)的单调区间;(2)若f(x)在(－∞,α),(2,β)单调增加,在(α,2),(β,+∞)单调减少,证明β－α＞6.2. 在解题中常用的有关结论※min ()f x 0<.(9)设()f x 与()g x 的定义域的交集为D ，若x ∀∈D ()()f x g x >恒成立，则有[]min ()()0f x g x ->.(10)若对11x I ∀∈、22x I ∈ ，12()()f x g x >恒成立，则min max ()()f x g x >.若对11x I ∀∈，22x I ∃∈，使得12()()f x g x >,则min min ()()f x g x >. 若对11x I ∀∈，22x I ∃∈，使得12()()f x g x <，则max max ()()f x g x <.（11）已知()f x 在区间1I 上的值域为A,，()g x 在区间2I 上值域为B ，若对11x I ∀∈,22x I ∃∈，使得1()f x =2()g x 成立，则A B ⊆。

(12)若三次函数f(x)有三个零点，则方程()0f x '=有两个不等实根12x x 、，且极大值大于0，极小值小于0. (13)证题中常用的不等式:① ln 1(0)x x x ≤-> ②≤ln +1(1)x x x ≤>-（）③1x e x ≥+ ④1x e x -≥-⑤ ln 1(1)12x x x x -<>+ ⑥ 22ln 11(0)22x x x x <->3. 题型归纳①导数切线、定义、单调性、极值、最值、的直接应用（构造函数，最值定位）（分类讨论，区间划分）（极值比较）（零点存在性定理应用）（二阶导转换）例1（切线）设函数.（1）当时，求函数在区间上的最小值；（2）当时，曲线在点处的切线为，与轴交于点求证：.a x x f -=2)(1=a )()(x xf x g =]1,0[0>a )(x f y =)))((,(111a x x f x P >l l x )0,(2x A a x x >>211 x x例2（最值问题，两边分求）已知函数. ⑴当时，讨论的单调性； ⑵设当时，若对任意，存在，使，求实数取值范围.②交点与根的分布例3（切线交点）已知函数在点处的切线方程为．⑴求函数的解析式；⑵若对于区间上任意两个自变量的值都有，求实数的最小值；⑶若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．1()ln 1af x x ax x-=-+-()a ∈R 12a ≤()f x 2()2 4.g x x bx =-+14a =1(0,2)x ∈[]21,2x ∈12()()f x g x ≥b ()()323,f x ax bx x a b R =+-∈()()1,1f 20y +=()f x []2,2-12,x x ()()12f x f x c -≤c ()()2,2M m m ≠()y f x =m例4（综合应用）已知函数⑴求f (x )在[0,1]上的极值；⑵若对任意成立，求实数a 的取值范围；⑶若关于x 的方程在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b 的取值范围.③不等式证明例5 (变形构造法)已知函数，a 为正常数． ⑴若，且a，求函数的单调增区间；⑵在⑴中当时，函数的图象上任意不同的两点，，线段的中点为，记直线的斜率为，试证明：．⑶若，且对任意的，，都有，求a 的取值范围．.23)32ln()(2x x x f -+=0]3)(ln[|ln |],31,61[>+'+-∈x x f x a x 不等式b x x f +-=2)(1)(+=x ax ϕ)(ln )(x x x f ϕ+=29=)(x f 0=a )(x f y =()11,y x A ()22,y x B AB ),(00y x C AB k )(0x f k '>)(ln )(x x x g ϕ+=(]2,0,21∈x x 21x x ≠1)()(1212-<--x x x g x g例6 (高次处理证明不等式、取对数技巧)已知函数.（1）若对任意的恒成立，求实数的取值范围；（2）当时，设函数，若，求证例7（绝对值处理）已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点，且在1=x 处取得极大值．（I ）求实数a 的取值范围；（II ）若方程9)32()(2+-=a x f 恰好有两个不同的根，求)(x f 的解析式；)0)(ln()(2>=a ax x x f 2)('x x f ≤0>x a 1=a x x f x g )()(=1),1,1(,2121<+∈x x e x x 42121)(x x x x +<（III ）对于（II ）中的函数)(x f ，对任意R ∈βα、，求证：81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ．例8（等价变形）已知函数x ax x f ln 1)(--=()a ∈R ．（Ⅰ）讨论函数)(x f 在定义域内的极值点的个数；（Ⅱ）若函数)(x f 在1=x 处取得极值，对x ∀∈),0(+∞,2)(-≥bx x f 恒成立，求实数b 的取值范围；（Ⅲ）当20e y x <<<且e x ≠时，试比较xyx y ln 1ln 1--与的大小．例9（前后问联系法证明不等式）已知，直线与函数的图像都相切，且与函数的图像的切点的横坐标为1。

（I ）求直线的方程及m 的值； （II ）若，求函数的最大值。

（III ）当时，求证：例10 (整体把握，贯穿全题)已知函数． （1）试判断函数的单调性；（2）设，求在上的最大值；（3）试证明：对任意，不等式都成立（其中是自然对数的底数）． （Ⅲ）证明：．217()ln ,()(0)22f x x g x x mx m ==++<l(),()f x g x ()f x l ()(1)'()()h x f x g x =+-其中g'(x)是g(x)的导函数()h x 0b a <<()(2).2b af a b f a a -+-<ln ()1xf x x=-()f x 0m >()f x [,2]m m *n ∈N 11ln()e n nn n++<e例11（数学归纳法）已知函数，当时，函数取得极大值.（１）求实数的值； （２）已知结论：若函数在区间内导数都存在，且，则存在，使得.试用这个结论证明：若，函数，则对任意，都有；（３）已知正数，满足，求证：当，时，对任意大于，且互不相等的实数，都有.④恒成立、存在性问题求参数范围例12（分离变量）已知函数(a 为实常数). (1)若，求证：函数在(1,+∞)上是增函数；(2)求函数在[1,e ]上的最小值及相应的值；()ln(1)f x x mx =++0x =()f x m ()ln(1)f x x mx =++(,)a b 1a >-0(,)x a b ∈0()()()f b f a f x b a-'=-121x x -<<121112()()()()()f x f x g x x x f x x x -=-+-12(,)x x x ∈()()f x g x >12,,,n λλλ121n λλλ+++=2n ≥n N ∈1-12,,,n x x x 1122()n n f x x x λλλ+++>1122()()()n n f x f x f x λλλ+++x a x x f ln )(2+=2-=a )(x f )(x f x(3)若存在，使得成立，求实数a 的取值范围.例13（先猜后证技巧）已知函数 （Ⅰ）求函数f (x )的定义域（Ⅱ）确定函数f (x )在定义域上的单调性，并证明你的结论.（Ⅲ）若x >0时恒成立，求正整数k 的最大值.例14（创新题型）设函数f(x)=e x +sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x)－g(x).(Ⅰ)若x=0是F(x)的极值点,求a 的值；(Ⅱ)当 a=1时,设P(x 1,f(x 1)), Q(x 2, g(x 2))(x 1>0,x 2>0), 且PQ//x 轴,求P 、Q 两点间的最短距离；(Ⅲ)若x≥0时,函数y=F(x)的图象恒在y=F(－x)的图象上方,求实数a 的取值范围．],1[e x ∈x a x f )2()(+≤xx n x f )1(11)(++=1)(+>x kx f例15(图像分析，综合应用) 已知函数，在区间上有最大值4，最小值1，设．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）不等式在上恒成立，求实数的范围； （Ⅲ）方程有三个不同的实数解，求实数的范围．⑤导数与数列例16（创新型问题）设函数，，是的一个极大值点．⑴若，求的取值范围；⑵当是给定的实常数，设是的3个极值点，问是否存在实数，可找到，使得的某种排列（其中=)1,0(12)(2<≠++-=b a b ax ax x g []3,2()()g x f x x =ba ,02)2(≥⋅-x x k f ]1,1[-∈x k 0)3|12|2(|)12(|=--+-x x k f k2()()()xf x x a x b e =-+a b R ∈、x a =()f x 0a =b a 123x x x ，，()f x b 4x R ∈1234x x x x ，，，1234,,,i i i i x x x x {}1234i i i i ，，，）依次成等差数列若存在，求所有的及相应的；若不存在，说明理由．⑥导数与曲线新题型例17（形数转换）已知函数, . (1)若, 函数 在其定义域是增函数,求b 的取值范围; (2)在(1)的结论下,设函数的最小值; (3)设函数的图象C 1与函数的图象C 2交于点P 、Q,过线段PQ 的中点R 作轴的垂线分别交C 1、C 2于点、,问是否存在点R,使C 1在处的切线与C 2在处的切线平行?若存在,求出R 的横坐标;若不存在,请说明理由.{}1234，，，b 4x ()ln f x x =21()2g x ax bx =+(0)a ≠2a =-()()()h x f x g x =-ϕϕ2x x (x)=e +be ,x ∈[0,ln2],求函数(x))(x f )(x g x M N M N例18（全综合应用）已知函数. (1)是否存在点,使得函数的图像上任意一点P 关于点M 对称的点Q 也在函数的图像上?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由;(2)定义,其中,求; (3)在(2)的条件下,令,若不等式对且恒成立,求实数的取值范围.⑦导数与三角函数综合例19（换元替代，消除三角）设函数（），其中． （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）当时，求函数的极大值和极小值；（Ⅲ）当， 时，若不等式对任意的恒成立,求的值。