待定系数法求解析式
代入方程求得解析式
例题一
1．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点(－1，0)，(0，－2)，(1，－2)，则这个二次函数的解析式为____________．
2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝0时，y＝1；当x＝－1时，y＝6；当x＝1
时，y＝0.求这个二次函数的解析式．
3．已知二次函数的图象经过(1，0)，(2，0)和(0，2)三点，则该函数的解析式是() A．y＝2x2＋x＋2 B．y＝x2＋3x＋2
C．y＝x2－2x＋3D．y＝x2－3x＋2
4．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A，B，C三点，
求出抛物线的解析式．
5.已知抛物线C
1
：y＝ax2＋bx＋c经过点A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)．
(1)求抛物线C
1
的解析式；
(2)将抛物线C
1向左平移几个单位长度，可使所得的抛物线C
2
经过坐标原点，并写出
C
2
的解析式．
2、知识点二：利用“顶点式”求二次函数的解析式
顶点式y＝a(x－h)2＋k的求解方法：
若是已知条件是图像上的顶点（h，k）及另外一点（x，y），则设所求二次函数y＝a(x－h)2＋k，将已知条件（x，y）代入解析式，得到关于a的一元一次方程，解方程求出a的值，代入方程求得解析式
例题二
1．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为()
A．y＝2(x＋1)2＋8
B．y＝18(x＋1)2－8
C．y＝(x－1)2＋8
D．y＝2(x－1)2－8
2．二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象的最高点是(－1，－3)，则b，c的值分别是()
A．b＝2，c＝4 B．b＝2，c＝－4
C．b＝－2，c＝4D．b＝－2，c＝－4
3．在直角坐标平面内，二次函数的图象顶点为A(1，－4)，且过点B(3，0)，求该二
次函数的解析式．
4．已知抛物线经过两点A(1，0)，B(0，3)，且对称轴是直线x＝2，求其解析式．
5.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为x＝1，且抛物线经过
A(－1，0)，B(0，－3)两点，则这条抛物线的解析式为
3、知识点三：利用“交点式”求二次函数的解析式
交点式y＝a(x－x
1)(x－x
2
)的求解方法：
若是已知条件是图像上抛物线与x轴的交点（x1，0）、（x2，0）及另外任意一点（x3，y3），则设所求二次函数y＝a(x－x1)(x－x2)，将已知条件（x3，y3）代入解析式，得到关于a的一元一次方程，解方程求出a的值，代入方程求得解析式
例题三
1．如图，抛物线的函数表达式是()
A．y＝x2－x＋4
B．y＝－x2－x＋4
C．y＝x2＋x＋4
D．y＝－x2＋x＋4
2．已知一个二次函数的图象与x 轴的两个交点的坐标分别为(－1，0)和(2，0)，与y
轴的交点坐标为(0，－2)，求这个二次函数的解析式．
3．抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是()
A ．y ＝x 2－x －2
B ．y ＝－x 2－x ＋2
C ．y ＝－x 2－x ＋1
D ．y ＝－x 2＋x ＋2
4．已知抛物线与x 轴的交点是A(－2，0)，B(1，0)，且经过点C(2，8)，该抛物线
的解析式为
5．如图，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与x 轴的两个交点分别为A(1，0)，B(3，0)，求
这条抛物线的解析式．
三、基础巩固
考点题库
1、已知一个二次函数的图象过点（－1,10）、（1,4）、（2,7）三点，求这个函数的解析式。

2、已知一个二次函数的图象经过点（0，1），它的顶点坐标和（8，9），求这个二次函数的关系式。

3、已知抛物线与X 轴交于A （－1，0），B （1,0）并经过点M （0,1），求抛物线的解析式？
4.二次函数y=ax 2+bx+c 的对称轴为x=3，最小值为－2，，且过（0，1），求此函数的解析式。

5.已知二次函数的图象与x 轴的交点为（－5，0），（2，0），且图象经过（3，－4），求解析式
四、培优训练
1．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：
x … －2 －1 0 1 2 …
y … 0 4 6 6 4 …
从上表可知，下列说法中正确的是____．(填序号)
①抛物线与x 轴的一个交点为(3，0)；
②函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最大值为6；
③抛物线的对称轴是x ＝0.5；
④在对称轴左侧，y 随x 增大而增大．
2、抛物线的图象经过（0，0)与（12，0）两点，其顶点的纵坐标是3，求它的函数关系式。

3.把二次函数
25
3212++=x x y 的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，求所得二次函数的解析式。

4、如图，在平面直角坐标系xOy 中，边长为2的正方形OABC 的顶点A ，C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的图象经过B ，C 两点．求该二次函数的
解析式．
五、真题在线
1.（2008山东威海）已知二次函数
的图象过点A （1，2），B （3，2），C （5，7）．若点M （-2，y 1），N （-1，y 2），K （8，y 3）也在
二次函数的图象上，则下列结论正确的是
轴的一个交点为
，
则代数式的值为（）
A．2006 B．2007 C．2008 D．2009
5、（2008年四川省宜宾市）已知:如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A（-1，0）、B（0，3）两点，其顶点为D.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若该抛物线与x轴的另一个交点为E.
求四边形ABDE的面积；
（注：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为）
六、作业设计：
经典在线
1.已知二次函数的图象过（－1，－9）、（1，－3）和（3，－5）三点，求此二次函数的解析式。

2.已知抛物线的顶点（－1，－2）且图象经过（1，10），求此抛物线解析式。

能力拓展
1、二次函数y=ax2+bx+c，当x＜6时y随x的增大而减小，x＞6时y随x的增大而增大，其最小值为－12，其图象与x轴的交点的横坐标是8，求此函数的解析式。

2、二次函数的图象与x轴两交点之间的距离是2，且过（2，1）、（－1，－8）两点，求此二次函数的解析式。

真题在线
1、(2008河南实验区)如图是二次函数图像的一部分，
该图在轴右侧与
轴交点的坐标是
2、.(2008年乐山市)已知二次函数的图象如图所。