沁乐教育沁心学习乐在其中2015年秋季九年级数学辅导资料第二讲函数图像性质及应用学校：姓名：二次函数的图象与基本性质（一）、知识点回顾【知识点二：抛物线的图像与a 、b 、c 关系】（1） a 决定抛物线的开口方向：a>0，开口向 ________ ；a<0，开口向 ________ （2） c 决定抛物线与 ________的位置：c>0，图像与y 轴的交点在___________； c=0，图像与y 轴的交点在___________；c<0，图像与y 轴的交点在___________；（3）a ，b 决定抛物线对称轴的位置，我们总结简称为：___________；（4）△＝b 2－4ac 决定抛物线与________交点情况：△＝b 2－4ac ⎪⎩⎪⎨⎧<=>轴没有交点与轴有一个交点与轴有两个交点与x x x 000【知识点三：二次函数的平移】设0,0>>n m ，将二次函数2ax y =向右平移m 个单位得到___________；向左平移m 个单位得到___________；向上平移n 个单位得到___________；向下平移n 个单位得到___________。

简单总结为___________，___________。

（注意：要用以上方法对二次函数图象进行平移，要先化成顶点式再操作）【知识点四：二次函数与一元二次方程的关系】二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ，当0=y 时，即变为一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax ，从图象上来说，二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象与x 轴的交点的横坐标x 的值就是方程)0(02≠=++a c bx ax 的根。

【知识点五：二次函数解析式的求法】（1） 知抛物线三点，可以选用一般式：c bx ax y ++=2，把三点代入表达式列三元一次方程组求解；（2）知抛物线顶点或对称轴、最大（小）值可选用顶点式：k h x a y +-=2)(；其中抛物线顶点是),(k h ；（3）知抛物线与x 轴的交点坐标为)0,(),0,(21x x 可选用交点式：))((21x x x x a y --=，特别：此时抛物线的对称轴为直线)(2121x x x +=（二）、感悟与实践例1： （1）求二次函数y ＝x 2－4x ＋1的顶点坐标和对称轴.（2）已知二次函数y ＝－2x 2－8x －6，当___________时，y 随x 的增大而增大；当x ＝________时，y 有_________值是___________．变式练习1-1：二次函数y ＝－x 2＋mx 中，当x ＝3时，函数值最大，求其最大值．例2（1）a ___0,b___0 ,c___0（2）b 2－4ac___0 （3）a+b+c___0 （4）a-b+c___0变式练习﹣1，给出下列结果：①b 2＞4ac ；②abc ＞0；③2a +b =0；④a +b +c ＞0；⑤a ﹣b +c ＜0，则正确的结论是 （ ） A 、①②③④ B 、②④⑤ C 、②③④ D 、①④⑤变式练习2-2：已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图3所示，那么一次函数y bx c =+和反比例函数ay x=在同一平面直角坐标系中的图像大致是（ ）C Dy-图1x224682112O图2图3A B例3：（2012•广州）将二次函数y=x2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为（）A．y=x2﹣1 B．y=x2+1 C．y=（x﹣1）2D．y=（x+1）变式练习3-1：（2012泰安）将抛物线23y x=向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（）A．23(2)3y x=++B．23(2)3y x=-+C．23(2)3y x=+-D．23(2)3y x=--例4：二次函数22y x x k=-++的部分图象如图4所示，则关于x的一元二次方程220x x k-++=的一个解13x=，另一个解2x=（）A、1B、1- C、2- D、0变式练习5-1：（2009广州25）如图6，二次函数2y x px q=++（0p<）的图象与x轴交于A B、两点，与y轴交于点(01)C-，，ABC△的面积为54．（1）求该二次函数的关系式；二次函数的性质的综合应用图4yxBACO例1. 已知抛物线y x x =+-12122（或223y x x =--） （1） 把它配方成2()y a x h k =++的形式；（2） 写出抛物线的开口方向，顶点M 的坐标、对称轴方程；(3)求函数的最大值和最小值，并求出相应的自变量的值 。

(4)当-2<x ≤1时，求函数y 的最值（4） 当1<x<4时，求函数y 的取值范围；（6）求出与y 轴交点N 的坐标及与x 轴的交点P,Q 的坐标（点P 在点Q 的左边）（7）作出函数的大致图像（8当x 取何值时，函数值y 随x 增大而增大，y 随x 值的增大而减小；（9）图像过点A （2-，1y ）、B （0，2y ）、C （6，3y ）、D （4，4y ）比较1y ，2y ，3y ，4y 的大小（10）观察图象，当x 取何值时，y y y >=<000，，；（11）当x 取何值时，y<2;（12）求△PQM 的面积。

（13）求四边形PQMN 的面积例2. 已知抛物线2222y x kx k k =-++-，根据下列条件，求k 的值。

(1) 抛物线过原点；(2) 顶点在x 轴上；(3) 顶点在y 轴上；(4) 顶点在y 轴左侧；(5) 当x=–1时，函数有最小值；(6) 关于直线x=-1对称；(7) 函数y 的值恒大于0；(8) 顶点在x 轴上方；(9) 抛物线在x 轴上截得的线段长为1；8.如图，抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点， （1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y 轴与C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△ABCPBC 的面积最大，若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值.若没有，请说明理由.二次函数应用题归类【基本思想】一、转化思想————实际问题中的最优化问题转化为求二次函数的最值问题。

1、方案设计最优问题：费用最低利润最大储量最大等等。

2、面积最优化问题：全面观察几何图形的结构特征，挖掘出相应的内在联系，列出包含函数，自变量在内的等式，转化为函数解析式，求最值问题。

二、建模思想————从实际问题中发现、提出、抽象、简化、解决、处理问题的思维过程。

1、建立图像模型：自主建立平面直角坐标系，构造二次函数关系式解决实际问题。

2、方程模型和不等式模型：根据实际问题中的数量关系，列出方程或不等式转化为二次函数解决问题。

3、根据实际问题情境抽象出二次函数模型。

三、运动思想————图像上的动点问题及几何图形的形状的确定。

四、分类讨论的思想————二次函数与其他知识的综合题时经常用到。

【最值的确定方法】1．二次函数在没有范围条件下的最值：二次函数的一般式c bx ax y ++=2(0≠a )化成顶点式224()24b ac b y a x a a-=++，如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）．2．二次函数在有范围条件下的最值：如果自变量的取值范围21x x x ≤≤，如果顶点在自变量的取值范围21x x x ≤≤内，则当2bx a=-，244ac b y a-=最值，如果顶点不在范围，则需考虑函数在自变量的取值范围内的增减性〖2014年中考第23题分类汇总分析〗 一、分段函数型1.【四月调考】某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件；如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件.设每件商品的售价为x元，每个月的销售量为y件.（1）求与的函数关系式并直接写出自变量的取值范围；（2）设每月的销售利润为W，请直接写出与的函数关系式；（3）每件商品的售价定位多少元时，每个月可获得最大利润最大的月利润是多少元二、与不等式结合型2.【2009四月调考】某商场将进货价为30元的书包以40元售出，平均每月能售出600个。

调查表明：这种书包的售价每上涨1元，其销售量就减少10个。

（1）请写出每月售出书包的利润y（元）与每个书包涨价x（元）间的函数关系式；（2）设某月的利润为10000元，此利润是否为该月的最大利润，请说明理由；（3）请分析并回答售价在什么范围内商家获得的月利润不低于6000元3.某商品的进价为每件40元，售价为每件60元时，每个月可卖出100件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件．设每件商品的售价为x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润最大的月利润是多少元（3）当售价的范围是是多少时，使得每件商品的利润率不超过80%且每个月的利润不低于2250元三、前期投入，亏损、盈利型4.【2011年四月】杰瑞公司成立之初投资1500万元购买新生产线生产新产品，此外，生产每件该产品还需要成本60元。

按规定，该产品售价不得低于100元/件且不得超过180元/件，该产品销售量y（万件）与产品售价x（元）之间的函数关系如图所示。

(1)求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；(2)第一年公司是盈利还是亏损求出当盈利最大或者亏损最小时的产品售价；(3)在(2)的前提下，即在第一年盈利最大或者亏损最小时，第二年公司重新确定产品售价，能否使两年共盈利达1340万元，若能，求出第二年产品售价；若不能，请说明理由。

四、面积有关问题5.【2010年中考】星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成。

已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米。

（1）若平行于墙的一边长为y米，直接写出y与x的函数关系式及其自变量x的取值范围；（2）垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值；18米苗圃园（3）当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，试结合函数图象，直接写出x的取值范围。

五、二次函数与建模(高频型)6.〖2015调考〗要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根2.25m 的水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m 处达到最高，高度为3m ．(1)建立适当的平面直角坐标系．，使水管顶端的坐标为(0，，水柱的最高点的坐标为 (1，3)，求出此坐标系中抛物形水柱对应的函数关系式(2)道之间的宽度为0.3 m ，最内轨道的半径为r m ，其上每0.3 m 的弧长上安装一个地漏，其它轨道上的地漏个数与最内轨道上的个数相同，水柱落地处为最外轨道，其上不安装地漏，求当r 为多少时池中安装的地漏的个数最多六、细节变化、陷阱题9.中百超市每天购进一种水产品300千克，其进货成本（含运输费）是每千克3元，根据超市规定，这种水产品只能当天销售，并且每千克的售价不能超过10元，一天内没有销售完的水产品只能按2元处理给食品深加工公司，而且这种水产品每天的损耗率是10%，根据市场调查这种水产品每天在市场上的销售量y (单位：千克，y ≥0）与每千克的销售价x (元)之间的函数关系如下图所示：（1）求出每天销售量y 与每千克销售价x 之间的函数关系式；（2）根据题中的分析：每天销售利润w 最多是多少元（3）请你直接回答：当每千克销售价为多少元时，每天的销售利润不低于960元【巩固练习】A 组：1. 二次函数y=x 2-2x-6的图象开口方向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ；2、抛物线242my x x =-+与x 轴的一个交点的坐标为（l,0), 则它与x 轴的另一个交点的坐标是__________3、二次函数y=2(1)x -－2的图像的对称轴是直线_____________.4、抛物线y ＝22x －bx ＋3的对称轴是直线x ＝1，则b 的值为__________；若抛物线y=2()a x h m ++形状与它一样，则a=______________5抛物线3)2(2+-=x y 的顶点坐标是（ ）A ．（2，3）B ．（－2，3）C ．（2，－3）D ．（－2，－3） 6二次函数2(1)2y x =++的最小值是（ ）． A ．2 B ．1 C ．－3 D ．237抛物线22()y x m n =++（m n ，是常数）的顶点坐标是（ ） A ．()m n ，B ．()m n -，C ．()m n -，D ．()m n --，8、若抛物线2y ax =+c 的图像经过点P(m,m),则此抛物线也经过点（ ）A(-m,n) B(m,-n) C(n,m) D(-n,m) 9、二次函数2365y x x =--+的图象的顶点坐标是（ ） A ．(18)-，B ．(18)，C ．(12)-，D ．(14)-，10、二次函数2(1)2y x =--的图象上最低点的坐标是 A ．(-1，-2) B ．(1，-2)C ．(-1，2)D ．(1，2)11、若把代数式223x x --化为()2x m k -+的形式，其中,m k 为常数，则m k +=.12、已知A 、B 是抛物线243y x x =-+上位置不同的两点，且关于抛物线的对称轴对称，则点A 、B 的坐标可能是_____________．（写出一对即可）13、函数)32(x x y -=，当x 为 时，函数的最大值是 ；14、若二次函数2)1(2-+-=mx x m y 的最大值为49，则常数_____=m ； B 组：1.向上发射一枚炮弹，经x 秒后的高度为y 公尺，且时间与高度关系为y =ax 2bx 。