1 1 F0.95 (12,9)＝ 0.357 F0.05 (9,12) 2.8
证明：
P{F F1 (n1, n2 )} 1
1 1 P{ } 1 F F1 (n1 , n2 ) 1 1 P{ } F F1 (n1, n2 )
1 F ( n2 , n1 ) F1 ( n1 , n2 )
单侧分位点 t ( n)也可由表四查得， P{t t (n)}
2
2
定理5.2 （P.124）设 X ~ N(0,1), Y ~ 2(n),
且 X与Y 独立，则
X t ~ t (n) Y /n
例 设总体 X ~ N(0,1), X1,X2为总体X的样本，Z= X1+X2
z Y X X 2 , 令W , 则W 服从的分布是 （） Y Z 0
例：设随机变量X1, X2, …,Xn为总体X~N(,2)的 一个样本，
1 1 2 2 X X i , Sn ( X i X ) n i 1 n i 1
则服从 t(n-1) 分布的统计量是( 4 )
n
n
(1) (3)
n( X )

; ;
n( X ) (2) ; Sn (4) n 1( X ) . Sn
§5.2 几种常用的分布（统计三大分布）
一、2 （卡方）分布 1. 定义
2 ~
称随机变量 2 服从自由度为n的2 分布，记为2 ~ 2(n).
其中，( r ) x r 1e x dx ( r 0时收敛 ). 0 1 有 ( r 1) r( r )(r 0), (1) 1, ( ) . 2
(2) (6);
2
(4) (3) .
2
§5.3 抽样分布 1. 单个正态总体
2 X , X , , X 设 1 2 n 是来自正态总体X ~ N ( , )的样本
下面介绍几个常用统计量的分布（Th5.4, 5.6, 5.7）。 2 1. X ~ N , n
X 2. u / n
~ N (0,1)
4. 与正态分布之间的关系 定理5.1（P.123 ）设随机变量 X ~ N (0,1) (i 1,2,, n), 且它们相互独立，则
i
X ~ ( n)
2 2 i 2 i 1
n
自由度：构成平方和的独立项数。
本平方和中，有 n个独立项： X 1 , X 2 , , X n
X ~ N (0,1), 则X ~ (1),即EX
定理5.3 （P.125）设 X ~ 2 ( n1 ),Y ~ 2 ( n2 ) ，
且X与Y相互独立，则
X / n1 ~ F ( n1 , n2 ) F Y / n2
推论 若 F ~ F(n1, n2) ，则
1 1 ~ F ( n2 , n1 ), 且 F1－ ( n1 , n2 )＝ F F ( n2 , n1 )
X1 , X 2 ,
, X15为来自总体N (0,32 )的一个样本，
15 15 2 求:(1)P X i 225 (2) P 36.65 ( X i X )2 235 . i 1 i 1
15 1 解：（1）令12 2 X i 2 ~ 2 (15) 3 i 1 15 15 1 225 2 2 P{ X i 225} P{ 2 ( X i 0) 2 } 3 i 1 3 i 1 2 P{12 25} 1 P{1 25} 1 0.05 0.95
2 2
2
2 1 _, DX
2 _
二、t 分布 定义5.6 随机变量t 的概率密度为
称t 服从自由度为n 的t 分布，记为 t ~ t(n).
双侧分位点（表四）
P{| t | t ( n)} (给定 )
例1) 2.080,
3. 分位点
P{ ( n)} (给定)
2 2
2 分布的上 分位点（表三）
2 查表三 ( P . 256 ) 得 0.01, n 14, 例如： 0.01 (14) 29.141
即若 2 ~ 2 (14), 则 P{ 2 29.141} 0.01
15 2 (2) P 36.65 ( X i X ) 235 . i 1
(2) 由定理5.6知
15
15 1 22 2 ( X i X ) 2 ~ 2 (14) 3 i 1
15 36.65 1 235 2 P 2 2 ( X i X ) 2 P 36.65 ( X i X ) 235 2 3 i 1 3 3 i 1
解 由 故
2 2 X ~ N ( 21, ) 25
0 .4 2 X 21 ~ 得 N (0,1) 0.4
X 21 P{| X 21 | 0.24} P 0.6 0.4 2(0.6) 1
0.4514
例（ P.130 定理5.1，定理5.6的应用）

n 2(指数分布)
n4 n8
2 分布图
2. 性质
1° 若 2 ~ 2(n) ，则 E2 =n, D2 =2n; 2 2 2 2 ( n ), ( n2 ), 2° (可加性）：若 1 ~ 1 2 ~ 2 2 且 1与 2 相互独立，则 2 2 2 ~ 1 2 ( n1 n2 ) 可推广到k个的情形。
X 1 , X 2 ,, X n为X的一个样本，则当 n 充分大时，
X ~ N ( 0,1) （近似） / n
证 由中心极限定理，当n充分大时
X / n
X
i 1
n
i
n
2
n
~ N (0,1) (近似)
2. 两个正态总体（P.128 ）
定理5.8 的结果
2 2 2 , 则有 定理5.9 若两总体方差相等： 1 2
P{4.07 26.11} P{ 22 4.07} P{ 22 26.11}
2 2
对n=14
查表三 (P.255,256)
0.995 0.025 0.97
4.07
26.11
对于非正态总体的大样本有以下结果：
2 EX , DX , 定理5.5（P.126）设X为任意总体，且
1
n
X 5. t S/ n
i
~ t ( n 1)
3.
2
( n 1) S 2

2

n i 1
2
(X
i 1
X)
2
~ ( n 1)
2
4. 2
1

2 ( X ) i 2
2 ~ ( n)
例（P.126 ，定理5.4的应用）
X 1 , X 2 ,, X 25为来自总体N ( 21,2 2 )的一个样本， 求 ( 2) P{| X 21 | 0.24}.
n 1( X )
例：设随机变量X1, X2, …,X6为总体X~N(,2)的 一个样本，则
Y
( X1 X 2 ) ( X 3 X 4 ) ( X 5 X 6 ) 2
2 2 2
1
服从( 4 )分布。
(1) N (0,1); (3) t (3);
2 1 2
Z 2 ~ t (2) W Y Y /2
三、F分布 定义5.7 随机变量 F 的概率密度
称 F服从第一自由度为n1，第二自由度为 n2的F分布， 记为 F ~ F(n1, n2). F 分布的上分位点由表五给出
P{F F (n1 , n2 )} (小)
当所给概率较大时利用后面的推论，查分位点。