第5-6章 统计量及其抽样分布正态分布5.1.1定义:当一个变量受到大量微小的、独立的随机因素影响时，这个变量一般服从正态分布或近似服从正态分布。

概率密度曲线图例如：某个地区同年龄组儿童的发育特征：身高、体重、肺活量等 某一条件下产品的质量如果随机变量X 的概率密度为22()21(),2x f x ex μσπσ--=-∞<<∞则称X 服从正态分布。

记做2(,)XN μσ，读作：随机变量X 服从均值为μ，方差为2σ的正态分布 其中，μ-∞<<∞，是随机变量X 的均值，0σ>是是随机变量X 的标准差5.1.2正态密度函数f(x)的一些特点：()0f x≥,即整个概率密度曲线都在x轴的上方。

曲线()f x相对于xμ=对称，并在xμ=处达到最大值，1()2fμπσ=。

1μ＜2μ＜3μ曲线的陡缓程度由σ决定：σ越大，曲线越平缓；σ越小，曲线越陡峭当x趋于无穷时，曲线以x轴为其渐近线。

标准正态分布当0,1μσ==时，2 21 ()2xf x eπ-=，x-∞<<∞称(0,1)N为标准正态分布。

标准正态分布的概率密度函数：()x ϕ标准正态分布的分布函数：()x Φ任何一个正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布设2(,)X Nμσ,则(0,1)XZ Nμσ-=变量211(,)X Nμσ与变量222(,)Y Nμσ相互独立,则有221212+(+,+) X Y Nμμσσ5.1.3 正态分布表：可以查的正态分布的概率值()1()x xΦ-=-Φ例：设(0,1)X N，求以下概率（1）( 1.5)P X <(2) (2)P X >(3)(13)P X -<≤(4) (2)P X ≤解：（1） 1.5( 1.5)()(1.5)0.9332P X t dt ϕ-∞<==Φ=⎰(2)(2)1(2)1210.97730.0227P X P X >=-≤=-Φ=-=（） (3)(13)(3)(1)(3)(1)(3)(1(1))0.9987(10.8413)0.84P X P X P X -<≤=≤-≤-=Φ-Φ-=Φ--Φ=--= (4)(2)(22)(2)(2)(2)(1(2))2(2)10.9545P X P X ≤=-≤≤=Φ-Φ-=Φ--Φ=Φ-=一般，若(0,1)XN ，则有()()()P a X b b a <≤=Φ-Φ()2()1P X a a ≤=Φ-例 设2(5,3)XN ，求以下概率（1）(10)P X ≤(2)(210)P X <<（3）(28)P X ≤≤（4）(56)P X -≤ （5）(59)P X -≤解：由2(5,3)XN ，5(0,1)3X N -（1）1.675105(10)()335( 1.67)3()(1.67)0.9522X P X P X P t dt ϕ-∞--≤=≤-=≤==Φ=⎰(2) 255105(210)()3335(1 1.67)3(1.67)(1)0.7938X P X P X P ---<<=<<-=-<<=Φ-Φ-=（3）25585(28)()3335(11)32(1)120.841310.6826X P X P X P ---≤≤=≤≤-=-≤≤=Φ-=⨯-=（4）56(56)()335(2)32(2)120.977210.9544X P X P X P --≤=≤-=≤=Φ-=⨯-=（5）5(59)(3)32(3)120.998710.9974X P X P --≤=≤=Φ-=⨯-=一般，若2(,)XN μσ，则有()()()b a P a X b μμσσ--<≤=Φ-Φ3σ准则若(0,1)X N ，则有(1)2(1)10.6826P X ≤=Φ-=(2)2(2)10.9545P X ≤=Φ-=(3)2(3)10.9973P X ≤=Φ-=即，X 的取值几乎全部集中在[]3,3-区间内，超出这个范围的可能不到%至一般正态总体，即2(,)XN μσ，有()0.6826P X μσ-≤=(2)0.9545P X μσ-≤=(3)0.9973P X μσ-≤=显然(3)P X μσ->的概率很小，因此可以认为X 的值几乎一定落在区间(3,3)μσμσ-+内——统计学的“3σ准则”5.1.5 正态分布函数的一个重要性质 设变量211(,)XN μσ，222(,)Y N μσ~,X 与Y 相互独立,则有221212+(+,+)X Y N μμσσ221212-(-,+)X YN μμσσ5.1.6 求分位数Z α设()0,1XN()()Z P X Z x dx ααϕα∞≥==⎰1-=-Z Z αα常用的几个Z 分位数:0.050.0251.64, 1.96Z Z ==0.950.975-1.64,-1.96Z Z ==由正态分布导出的几个重要分布三大分布：2,,t F χ分布5.2.12χ分布1 定义：设随机变量12,,,nX X X 相互独立，且(0,1)iX N (1,2,,)i n =，则它们的平方和服从自由度为n 的2x分布。

记做，22()i Xn χ∑2 2x 分布的密度函数图形图形特点：（1）2x分布的变量值始终为正。

（2）2x分布的形状取决于其自由度n 的大小，通常为不对称的右偏分布，随着自由度的增大逐渐趋于对称。

（3）2x分布的期望为2()E n χ=，方差为2()2D n χ=（n 为自由度）。

（4）2x分布具有可加性。

若X Y与是相互独立的随机变量，21~(),X x n 22~()Y x n ，则它们的和服从于自由度为12n n +的2x分布，即212~()X Y x n n ++。

3 2x 分布临界值表的使用，求得2x 分布的分位数2x 分布临界值表中给出的是概率为α时，2x α的取值，k 是自由度。

222()()x P x x f x dx ααα+∞≥==⎰x α例如，若随机变量2(10)Xχ，则查表可得20.05(10)3.94χ=，20.95(10)18.307χ=，5.2.2 t 分布（student 分布）设随机变量,X Y互相独立，2~(0,1),~()X N Y x n ，则随机变量~()X t t n =——自由度为n 的t 分布t 分布概率密度函数图特点：① 关于y 轴对称，与标准正态分布的密度函数的图像非常相似。

② 厚尾：当x →∞时，t 分布的密度函数趋于0的速度要比标准正态分布密度函数慢，所以t 分布的密度函数的尾部要比(0,1)N 密度的尾部厚些。

③ 当自由度n 无限增大时，t 分布将趋近于标准正态分布。

所以，当n 很大时，t 分布可以用标准正态分布近似。

记()t n α为分布()t n 的α分位数。

在实际使用中，当30n ≥,就近似有 ()t n Z αα≈α由于t 分布密度曲线的对称性，可得1()()t n t n αα-=-例如，若随机变量(15)T t ，查表可得，0.05(15) 1.7531t =，而0.950.05(15)(15) 1.76531tt =-=-0.05(40) 1.6839t =,0.05(45) 1.6794t = 0.95 1.645Z =可见随着自由度n 的增大，t 分位数与z 分位数越来越接近。

5.2.3 F 分布设随机变量X 与Y 相互独立且分别服从自由度为m 和n 的2χ分布。

则随机变量//X mF Y n=服从第一自由度为m第二自由度为n的F 分布。

记为()FF m n ，xF 分布的概率密度函数的图设随机变量(,)FF m n ，(,)F m n α表示分布(,)F m n 的α分位数，α可以证明11(,)(,)F m n F n m αα-=例如查表得0.95F (8,9)=3.23，则0.050.950.31F F 11(9,8)==(8,9) 3.23小概率原理指发生概率很小的随机事件在一次实验中几乎不可能出现。

统计量定义：设12,,,n X X X 是从总体X中抽取的容量为n的一个样本，如果由此样本构造一个不依赖于任何未知参数的函数12(,,,)n T X X X ，则称函数12(,,,)n T X X X 是一个统计量。

特点：由样本构造而得，是样本的函数 不含任何未知的参数当获得样本的一组具体观测值12(,,,)n x x x ，带入T,计算出12(,,,)n T x x x 的数值，称为统计量的值常用的统计量2,X S抽样分布抽样分布：统计量的分布随机变量X精确分布：可以得到分布的数学表达式渐近分布：难以得到精确分布时，借助于极限工具，求得抽样分布的近似分布，称为渐近分布。

定理1：设()12,,,nX X X是取自总体X的一个样本，记()iE Xμ=，2()iD Xσ=，那么①()E Xμ=，2()D Xnσ=②22()E sσ=，221()nnE snσ-=③当n→∞时，PXμ−−→lim ()1n P X με→∞-<=④ 当n →∞时，22P s σ−−→，22P ns σ−−→定理2：设()12,,,n X X X 是取自正态总体2(,)N μσ的一个样本①2(,)XN n σμ，或等价地(0,1)X N μ-②2222222()(1)(1)in X X nsn sn χσσσ--==-∑③ X 与2s 相互独立推论1：设()12,,,n X X X 是取自正态总体2(,)N μσ的一个样本，那么(1)/X t n s μ--简要证明：2(,)X N μσ(0,1)X N μ-⇒222(1)(1)n s n χσ--(1)X t n μ-⇒- 独立（t 分布的定义）即(1)X t n μ--推论2设()12,,,m X X X 是取自正态总体211(,)N μσ的一个样本，()12,,,n Y Y Y 是取自正态总体222(,)N μσ的一个样本，X与Y 相互独立，那么()()(0,1)X Y N μμ---简要证明：211(,)XN μσ211(,)XN mσμ⇒222(,)YN μσ222(,)YN nσμ⇒独立，221212(,)X YN mnσσμμ--+12()()(0,1)X Y N μμ---推论3：设()12,,,m X X X 是取自正态总体21(,)N μσ的一个样本，()12,,,n Y Y Y 是取自正态总体22(,)N μσ的一个样本，X 与Y 相互独立，那么()()(2)X Y t m n μμ---+-其中，22212(1)(1)(2)pm s n s s m n -+-=+-简要证明：21(,)XN μσ21(,)XN mσμ⇒22(,)YN μσ22(,)YN nσμ⇒独立，2212(,)X YN mnσσμμ--+2212(1)(1)m sm χσ--2222(1)(1)n sn χσ--可加性2221222(1)(1)(2)m sn sm n χσσ--++-()()(2)X Y t m n μμ---⇒+-整理得()()(2)X Y t m n μμ---⇒+-设22212(1)(1)(2)pm s n s s m n -+-=+-即()()(2)X Y t m n μμ---+-推论4： 设()12,,,m X X X 是取自正态总体211(,)N μσ的一个样本，()12,,,n Y Y Y 是取自正态总体222(,)N μσ的一个样本， X与Y 相互独立，那么22112222/(1,1)/s F m n s σσ-- 简要证明： 正态211(,)XN μσ22121(1)(1)m s m χσ-⇒-222(,)YN μσ22222(1)(1)n s n χσ-⇒-21212222(1)/(1)(1,1)(1)/(1)m s m F m n n sn σσ--⇒----即22112222/(1,1)/s F m n s σσ--非正态总体的情形定理：设()12,,,n X X X 是取自总体X 的一个样本，当n 较大时，近似地有①(0,1)X N μ-②(0,1)X N μ-。