例1. 求
解: 令 u ax b ,则 d u adx , 故
原式 = um 1 d u 1 1 um1 C a a m1
注: 当
时
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例2. （P222）求
解:

1 a2
dx
1

(
x a
)
2
令 u x , 则 du 1 d x
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例19. 求
a2 x4
x2
dx
.
解:
令
x

1 t
,则
原式
a2

1 t2
1
t4
t 21d t

(a2t
2
1
1) 2
t
dt
原式

1 2a2
(a2t2
1
1) 2
d(a2t 2
1)

(a
2
t2 3a

例16. （P230）求 a2 x2 dx (a 0) .
解:
令
x

asin t ,
t

(

2
,

2
)
,
则
a2 x2 a2 a2 sin2 t a cos t
dx a cost d t
ax
∴ 原式 a cost a cost d t a2 cos 2 t d t
(8)

f (ln x)1dx x
de x dln x
dtan x
例6. 求
解: 原式 =

dln x 1 2ln
x

1 2

d(1 2ln x) 1 2ln x
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例7. 求
e3
x
dx.
x
解: 原式 = 2 e3 x d x 2 e3 x d(3 x) 3
cos 4x d(4x)
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例14. 求
解: 原式=
ex
ex

(
1 x ex
1
1 x
ex
) d(x ex
)
ln x ex ln 1 x ex C
x ln x ln 1 x ex C
分析:
1 xex (1
xex )

1 xex xex xex (1 xex )
ln
a2
x x2 a2
C1
(C C1 2ln a)
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说明:
被积函数含有
或 x2 a2 时, 除采用
三角代换外, 还可利用公式
ch2 t sh2 t 1
采用双曲代换
x a sh t 或 x a ch t
消去根式 , 所得结果一致 .
ln
x a

x2 a2 a
C1
x2 a2
t
(C C1 ln a)
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当x a 时, 令 x u , 则u a ,于是

d u ln u u2 a2
u2 a2 C1
ln x x2 a2 C1
(sin
4
x

sin
2
x)]2

1 4
sin
2
4
x

1 4

2
sin
4
x
sin
2
x

1 4
sin
2
2x

1 8
(1

cos 8x)

sin 2
2x cos
2x

1 8
(1

cos
4x)
∴原式 =
1 4
dx

1 64
cos 8x d(8x)

1 2
sin2 2x d(sin 2x)

1 32
2 e3 x C
3
例8. 求 sec6xdx.
解: 原式 = (tan2 x 1)2dsetacn2 xdx (tan4 x 2 tan2 x 1) dtan x
1 tan5 x 2 tan3 x tan x C
5
3
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例9. 求
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一、第一类换元法 （P221） 定理1. 设 f (u) 有原函数 , u (x)可导, 则有换元
公式
f (u)du u (x) 即 f [(x)](x)dx f ((x))d(x)
(也称配元法 , 凑微分法)
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(
3 2

2 cos
2x

1 2
cos
4x)

cos 4 x dx

1 4
(
3 2

2
cos
2
x

1 2
cos
4
x)
dx
3 2
dx

cos
2x
d(2x)

1 8
cos 4x d(4x)

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例13. 求
解:
sin2 x cos2 3x
[
1 2
f [(x)](x)dx f ((x))d(x)
(直接配元)
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例4. （P225）求
解:

sin cos
x dx x


dcos x cos x
类似

cos x dx sin x


d sin x sin x
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第二节 换元积分法
一、第一类换元法 二、第二类换元法
第四章
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基本思路
设 F(u) f (u),
可导, 则有
dF[(x)] f [(x)](x)dx
F[(x)] C F (u) C u(x)
f (u)du u(x)
第一类换元法 第二类换元法
2 1 sin x
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解法 2
(sec x tan x) sec x tan x
sec2 x sec x tan x dx sec x tan x


d (sec x tan x) sec x tan x
同样可证
csc xdx ln csc x cot x C
则
F(x) d d t f [ (t)] (t) 1 f (x)
d t dx
(t)
f (x) dx F(x) C [ 1(x)] C
[ft[](Ct)]t (t) d1t(tx) 1(x)
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例5. （P223）求
解:

1 x2 a2

1
(x a) (x a)
1
(
1

1
)
2a (x a)(x a) 2a x a x a
∴ 原式 =
1 2a

dx xa


dx xa


1 2a


d(x a) xa


d(x a) xa
(2)

4
dx x
2
(3)
x 4 x2
dx

1 2
d(4 x2 ) 4 x2
(4)
4
x2 x
2
dx
(5)

4
dx x
2
11 2x 2x
(6)
dx 4x x2
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2. 求 提示: 法1
法2
法3
(x10 ) x10
1
d x10
f (xn )xn1 dx 1n f (xn ) d xn
f
(x
n
)1 x
dx

1 n
f
(xn)
1 xn
d
xn
(3) 统一函数: 利用三角公式 ; 配元方法
(4) 巧妙换元或配元
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思考与练习 1. 下列各题求积方法有何不同?
(1)

dx 4 x

1 ln x a ln x a C 1 ln x a C
2a
2a xa
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常用的几种配元形式:
1
(1) f (ax b)dx a
(2) f (xn )xn1 dx 1 n
(3)

f
(x n
)1 x
dx
或
ln tan x C (P226-P227 )
2
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例11. 求
(x2
x3 a2
3
)2
dx
.
解:
原式 =
1 2
x2 dx2
(
x
2

a
2
)