不定积分小结一、不定积分基本公式(1)∫x a dx=x a+1a+1+C(a≠−1) (2)∫1xdx=ln|x|+C(3)∫a x dx=a xln a+C(4)∫sin x dx=−cos x+C(5)∫cos x dx=sin x+C(6)∫tan x dx=−ln|cos x|+C (7)∫cot x dx=ln|sin x|+C(8)∫sec x dx=ln|sec x+tan x|+C (9)∫csc x dx=ln|csc x−cot x|+C(10)∫sec2x dx=tan x+C (11)∫csc2x dx=−cot x+C(12)∫dx1+x2=arctan x+C(13)∫dxx2+a2=1aarctan xa+C(14)∫dxx2−a2=12aln|a−xa+x|+C(15)∫dxa2−x2=12aln|a+xa−x|+C(16)∫√1−x2=arcsin x+C(17)√a2−x2=arcsin xa+C(18)√x2±a2=ln|x+√x2±a2|+C(19)∫√a2−x2dx=x2√a2−x2+a22arcsinxa+C(20)∫√x2±a2dx=x2√x2±a2±a22ln|x+√x2±a2|+C二、两个重要的递推公式（由分部积分法可得）(1)D n=∫sin n x dx(详情请查阅教材166页)则D n=−cos x sin n−1xn+n−1nD n−2(求三角函数积分)易得D n：n为奇数时，可递推至D1=∫sin x dx=−cos x+C；n为偶数时，可递推至D2=∫sin2x dx=x2−sin2x4+C；(2)I n=∫dx(x2+a2)n(详情请查阅教材173页)则I n+1=12na2x(x2+a2)n+2n−12na2I n易得I n可递推至I1=∫dxx2+a2=1aarctan xa+C迅捷P DF编辑器（这是有理函数分解后一种形式的积分的求法，大家可以回顾课本恢复记忆）三、普遍方法(一)换元积分法：第一类换元积分法(凑微分法)这类方法需要敏锐的观察力，即观察出某个函数的导数，这就要求我们熟悉常见函数的导数。

首先我们来看一下最常见的一类有理函数的例子例1：x√5+x−x2注意到分母根号下为二次，其导数为一次，而分子正好就是一次，通过凑微分和配方可以得到解决。

x√5+x−x2=−12(−2x+1)+12√5+x−x2=−12d(5+x−x2)√5+x−x2+121√5+x−x2=−√5+x−x2+12dx(√212)2−(x−12)2=−√5+x−x2+12arcsin(2x−1√21)+C例2：∫x3x4+x2+1dx与例1类似，我们有：∫x3x4+x2+1dx=∫14(4x3+2x)−12xx4+x2+1dx=14∫d(x4+x2+1)x4+x2+1−14∫d(x2+12)(x2+12)2+(√32)2后面套公式就好啦例3：∫dx1+sin2x∫dxcos2x+2sin2x=∫1cos2xdx1+2tan2x=∫d(tan x)1+2tan2x迅捷P D编辑器=12d(tan x)(√22)2+tan 2x=√22arctan (tan x)+C 接下来举几个我们可能不太熟悉的例子，不容易凑成微分。

例4：√x √a 3−x 3=√x32√x √(a 32)2−(x 32)2d(x 32)=23√(a 32)2−(x 32)2(x 32)至此可以套用公式了 例5：∫12x +3dx =∫12x1+32xdx ，注意到32x 的导数为−3ln 212x ， 至此可以用凑微分法了例6：∫x 1−x cot x dx =∫x sinxsin x −x cos x dx注意到sin x −x cos x 的导数为x sinx第二类换元积分法（1）利用三角函数进行代换：sin 2x +cos 2x =1tan 2x +1=sec 2x cot 2 x +1=csc 2x换元时必须要注意变量的范围，保证范围的等价性（通过例题体会） 例如以下两个基本积分公式∫√a 2−x 2dx =x 2√a 2−x 2+a 22arcsin xa +C∫√x 2±a 2dx =x 2√x 2±a 2±a 22ln |x +√x 2±a 2|+C例：∫dx(x 2+9)3利用tan 2x +1=sec 2x ，令x =3tan t ，这里x 可以取到全体实数，那么 t 取(−π2,π2)就可以保证x 取到全体实数，因为t 的范围直接影响到三角函数的正负，所以这一点在涉及到开根号的三角函数表达式时尤为重要。

则：∫dx (x 2+9)3=393∫cos 4t dt至此，∫cos 4t dt 有多种求法，比如说直接用递推公式，见第五页：∫cos nx dx 利用cos x =sin(π2−x)和∫sin n x dx 求得迅捷PD F 编辑器令一种解法：∫cos 4t dt =∫cos 2t(1−sin 2t)dt =∫cos 2t dt −∫cos 2t sin 2tdt 利用倍角公式可以解出。

（2）倒代换，经常用在分母多项式次数较高的情况下 例：∫√a 2−x 2x 4dx ，令x =1t ，容易求出原函数(二)分部积分法∫μdν=μν−∫νdμ应用分部积分法时，需要把被积函数看作两个因式μ及dν之积，如何 选取这两者是很关键的，选取不当，将使积分愈化愈繁.积分时应注意 dν比较好积，同时μ的选取应使其倒数比μ简单，两者应兼顾。

例：∫xe arctan x (1+x 2)32dx=earctan x√1+x 2−∫e arctan x(1+x 2)32dx =earctan xx √1+x 2−[earctan x1√1+x 2−∫−xe arctan x (1+x 2)32dx]=e arctan x√1+x 2−∫xe arctan x(1+x 2)32dx则：∫xe arctan x (1+x 2)32dx =x −12√1+x 2arctan x +C这个函数就有多种拆分方法，需要我们多尝试几次才能解出，并且用到了 轮换，应注意。

其实∫sin (ln x )dx 也用到了轮换，详情请查阅教材165页。

一般情况下，被积函数形如e ax sin bx ，e ax cos bx ，P m (x )e ax ，P m (x )sin bx ， P m (x )cos bx ，P m (x )(ln x)n ，P m (x )arctan x ，⋯就可以尝试分部积分法轻松 求得原函数，其中P m (x )表示m 次多项式。

迅捷PD F 编辑器例xx xe xd )1(2⎰+C xe de x x e dx x e x d e dx x e dx x e dx x e dx x e x e dx x e e x dxx xe x xx x xx x x x x x x x++=+-+++=+++=+-+=+-+=+-+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰11111111)1(1)1(1)1()1()1(2222 (三)特殊函数积分法1、有理函数的不定积分参考教材171页有关有理函数分解定理的说明，比较繁琐，但要掌握。

关键在于将有理函数分解为要求的形式，并会解决分解后的各种函数的积分，其实我们可以将其归结为两种形式：(1)∫b(x −a )mdx (其中a,b 为常数，m 为正整数)当m =1时，∫b(x −a )mdx =b ln |x −a |+C当m ≠1时，∫b (x −a )m dx =b(x −a)−m+1−m +1+C(2)∫cx +d(x 2+ax +b )ndx(其中a,b,c,d 为常数，n 为正整数)对于分子，我们可以将其凑为x 2+ax +b 的导数和某一常数之和，第一部分容 易求得，第二部分利用第一页的递推公式： I n =∫dx(x 2+a 2)n(详情请查阅教材173页)则I n+1=12na 2x (x 2+a 2)n +2n −12na 2I n易得I n 可递推至I 1=∫dxx 2+a 2=1a arctan xa +C 以下几例用于练习有理式的分解和计算：迅捷PD F 编辑器例1：∫dx x3+1例2：∫dxx4+1=dx(x2+1)2−(√2x)2=dx(x2+1+√2x)(x2+1−√2x)例3：∫dxx6+1(教材175页的方法较为简便)2、三角函数有理式的积分常用技巧：（1）凑微分例1：∫sin m x cos n x dx若m和n都是偶数，利用sin2x+cos2x=1将其化为同名函数。

若m或n为奇数，则拆开一个凑成微分，然后再化为同名函数，之后再利用（二、）中的递推公式。

例2：∫cos xsin3x+cos3xdx=∫11+tan3xd(tan x)利用已经解得的∫dxx3+1的结果补充一点：∫cos n x dx利用cos x=sin(π2−x)和∫sin n x dx求得∫tan n x dx=∫tan n−2x(1cos2−1)dx=tan n−1xn−1−∫tan n−2x dx这就得到了∫tan n x dx的递推公式，事实上还可以将其看作∫sin m x cos n x dx的特殊形式，只不过m=-n罢了，当然可以用∫sin m x cos n x dx的求解方法。

(2)倍角公式、积化和差例：∫sin5x sin7x dx(3)分项技巧例1：∫1sin4x cos2xdx=∫sin2x+cos2xsin4x cos2xdx=∫1sin2x cos2xdx+∫1sin4xdx至此第一项可以继续分项或者利用倍角公式，第二项可以直接套用（二、）中的递推公式或者利用分部积分求解，实际上递推公式也是由分部积分法得到的。

例2：∫dxsin (x+α)sin (x+β)=∫1sin (α−β)sin[(x+α)−(x+β)]sin (x+α)sin (x+β)dx=1sin (α−β)∫[cos (x+β)sin (x+β)−cos (x+α)sin (x+α)]dx，这里利用了三角和公式，至此可以直接套用基本积分表了。

(α≠β)例3：∫dxsin3x+cos3x=∫13[2sin x+cos x+sin x+cos xsin2x−sin x cos x+cos2x]dx=23∫dx√2cos(x−π4)+23∫−d(cos x−sin x)(cos x+sin x)2+1迅捷P DF编辑器=23√2|sec(x −π4)+tan(x −π4)|−23arctan(cos x −sin x)+C（此题较为复杂，大家需要认真看） （4）配凑法例 ⎰+=x xb x a xI d s i n c o s c o s 假设⎰+=x x b x a x I d sin cos cos 1， ⎰+=x x b x a xI d s i n c o s s i n 2 则 21bI aI +得到121d C x x bI aI +==+⎰---------（1） 21-aI bI 得到221|sin cos |ln )sin cos d(sin cos 1d sin cos sin cos -C x b x a x b x a x b x a xxb x a xa xb aI bI ++=++=+-=⎰⎰------（2） 由（1）与（2）解得：.|sin cos |ln 22221C x b a a x b x a b a b I +++++= .|sin cos |ln 22222C x b a bx b x a b a a I +++++=（5）万能公式：(1)令μ=tan x2，则sinx =2μ1+μ2 cosx =1−μ21+μ2tanx =2μ1−μ2 dx =21+μ2(三角函数次数较低时效果较好)(2)令μ=tanx ，则sinx =±√μ21+μ2cosx =±√11+μ2(注意正负号的判断) dx =11+μ2(三角函数次数较高时效果较好）例：∫dx2+sin x (用第一种变换)=∫dμμ2+μ+1(转化为容易的有理积分)3、简单无理函数的积分（1）当被积函数是x 与√(ax +b)(cx +d)⁄n的有理式时，采用变换μ迅捷PD F 编辑器=√(ax +b)(cx +d)⁄n，就可化为有理函数的积分 例：√1+x √x 3=∫1x √1+x xdx ，设t =√1+xx 代换即可（2）当被积函数是x 与√ax 2+bx +c 的有理式时，通常先将ax 2+bx +c 配方，再用三角变换化为三角有理式的积分或直接利用积分公式计算。