炎德∙英才大联考长沙市一中2016届高三月考试卷（六）数学（理科） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集R U =，集合{}21≤-=x x M ，则=M C U （）A.{}31<<-x xB.{}31≤≤-x x C.{}31>-<x x x 或 D.{}31≥-≤x x x 或2.已知随机变量),2(:2σN X ，若32.0)(=<a x P ，则=->)4(a x P （） A.32.0 B.36.0 C.64.0 D.68.03.在等比数列{}n a 中，531=+a a ，前4项和为15，则数列{}n a 的公比是（） A.21 B.31C.2D.3 4.在空间中，下列命题正确的是（） A.垂直于同一平面的两个平面平行 B.平行于同一直线的两个平面平行 C.垂直于同一平面的两条直线平行 D.平行直线的在同一平面上的投影相互平行5.执行下图所示的程序框图，如果输入正整数m ，n ，满足m n ≥，那么输出的p 等于（）A.1-m n CB.1-m n AC.m n CD.m n A6.5)12)((xx x a x -+的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（） A.40- B.20- C.20 D.40 7.已知函数]67,0[),62sin(2ππ∈+=x x y 的图象与直线m y =有三个交点的横坐标分别为)(,,321321x x x x x x <<，那么3212x x x ++的值是（）A.43π B.34π C.35π D.23π9.六名大四学生（其中4名男生、2名女生）被安排到A ，B ，C 三所学校实习，每所学校2人，且2名女生不能到同一学校，也不能到C 学校，男生甲不能到A 学校，则不同的安排方法为（）A.24B.36C.16D.1810.已知球的直径4=SC ，A ，B 是该球球面上的两点，3=AB ， 30=∠=∠BSC ASC ，则棱锥ABC S -的体积为（）A.33B.32C.3D.1 11.设向量a ，b ，c 满足1==b a ，21-=⋅b a ，若向量c a -与c b -的夹角等于 60，则c 的最大值为（）A.3B.2C.2D.112.已知函数ax x x x f +-=ln )(在),0(e 上是增函数，函数2)(2a a e x g x+-=，当]3ln ,0[∈x 时，函数)(x g 的最大值M 与最小值m 的差为23，则=a （）A.25B.2C.23D.1 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若C B A cos sin sin -==，则角=C ______14.已知盒中装有3个红球，2个白球，5个黑球，它们除颜色外完全相同，小明需要一个红球，若他每次从中任取一个球且取出的球不再放回，则他在第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为_____-.15.设1>m ，在约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≥1y x m x y xy 下，目标函数my x z +=的最大值小于2，则m 的取值范围是_____.16.若定义在]2010,2010[-上的函数)(x f 满足：对任意]2010,2010[,21-∈x x ，有2009)()()(2121-+=+x f x f x x f ，且0>x 时，有2009)(>x f ，)(x f 的最大值、最小值分别为N M ,，则=+N M ______.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，)1,()12(2≥∈+-=*n N n a nS n n .（1）求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a n 是等比数列； （2）设数列{}n n a 2的前n 项和为n T ，求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n T 1前n 项和n A . 18.（本小题满分12分）如图，已知四棱锥ABCD P -的底面ABCD 为等腰梯形，CD AB ∥，BD AC ⊥于H ，PH是四棱锥ABCD P -的高，E 为AD 的中点. （1）证明：BC PE ⊥；（2）若60=∠=∠ADB APB ，求直线PA 与平面PEH 所成角的正弦值.19.（本小题满分12分）某校高一（1）班的课外生物研究小组通过互联网上获知，某种珍稀植物的种子在一定条件下发芽成功率为31，小组依据网上介绍的方法分小组进行验证性实验（每次实验相互独立）. （1）第一小组共做了5次种子发芽实验（每次均种下一粒种子），求5次实验至少有3次成功的概率；（2）第二小组在老师的带领下做了若干次实验（每次均种下一粒种子），如果在一次实验中，种子发芽成功则停止实验；否则将继续进行下去，直到种子发芽成功为止，而该小组能供实验的种子只有n 颗),5(*∈≥N n n .求第二小组所做的实验次数ξ的概率分布列和数学期望. 20.（本题满分12分）已知动点M 到点)1,0(F 的距离与到直线4=y 的距离之和为5. （1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）若动直线m x y l +=:与轨迹E 有两个不同的公共点B A 、； （3）在（2）的条件下，求弦长AB 的最大值. 21.（本小题满分12分）给出定义在),0(+∞上的三个函数，x x f ln )(=，)()(2x af x x g -=，x a x x h -=)(，已知)(x g 在1=x 处取得极值. （1）确定函数)(x h 的单调性；（2）求证：当21e x <<时，恒有)(2)(2x f x f x -+<成立；（3）把函数)(x h 的图象向上平移6个单位长度得到)(1x h 的图象，试确定函数)()(1x h x g y -=的零点个数，并说明理由.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是O ⊙的直径，弦BD 、CA 的延长线相交于点E ，EF 垂直于BA 的延长线于点F .（1）求证：DFA DEA ∠=∠；（2）若30=∠EBA ，3=EF ，AC EA 2=，求AF 的长. 23.（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程选讲在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为)4cos(22πθρ+=，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+-==t y t x 221（t 为参数），直线l 与曲线C 交于B A ,两点，P 是曲线C 上不同B A ,的任意一点. （1）求曲线C 的圆心的极坐标； （2）求PAB ∆面积的最大值.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知：正数y x ,.（1）求证：x y y x y x 2233+≥+； （2）若)11(222yx m x y y x +≥+恒成立，求实数m 的取值范围.参考答案1-5CACCD 6-10DCDDC 11-12BA7.【解析】由函数)62sin(2π+=x y 的图象在区间]67,0[π上的对称轴分别为32,6ππ==x x ，得322,623221ππ⨯=+⨯=+x x x x ，所以352321π=++x x x ，故选C.11.【解析】如图，设a OA =，b OB =，c OC =，则c a CA -=，因为1==b a 。

故1==OB OA ，又21-=⋅b a ，∴21cos -=∠AOB ，即120=∠AOB ，又 60,>=--<c b c a ，故B C A O ,,,四点共圆，∴当OC 为圆的直径时，c 最大，此时90=∠=∠OBC OAC ，即BOC RT AOC RT △△≅，故 30=∠=∠BCO ACO ，即OC OA 21=，∴2=c .12.因为函数ax x x x f +-=ln )(在),0(e 上是增函数，所以0ln 1)(≥--='x a x f 在),0(e 上恒成立，即02≥-a ，即2≥a ；因为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+-≤≤+-=+-=a x a e a x a e a a e x g xxx ln ,21ln 0,221)(222，若3ln ln ≥a ，即3≥a 时，)(x g 在]3ln ,0[单调递减，则2)3(ln )0(=-=-g g m M （舍），当3ln ln <a ，即32<≤a 时，函数)(x g 在]ln ,0[a 上递减，在]3ln ,[ln a 上递增，且042)3(ln )0(≥-=-a g g ，所以23)(ln )0(=-=-a g g m M ，即2312)21(22=-=-+-a a a a ，解得25=a .13.32π【解析】由C B A cos sin sin -==，又),0(,,π∈C B A ， ∴A C B A C B A 2,),,2(),2,0(,-==∈∈ππππ， 又01sin sin 22cos sin cos sin 2=-+⇒=⇒-=A A A A C A ， 得：32,6,21sin ππ===∴=C B A A . 14.31 【解析】法一：:A 拿到白球，则15193102)(,51102)(=⋅===AB P A P ，故31)()()(==A P AB P A B P .法二：632)(,1892)(=⨯==⨯=ΩA n n ，则31186)(==A B P . 15.211+<<m 【解析】m zm x y m m m A y x mx y +-=++⇒⎩⎨⎧=+=),1,11(1点在点A 处取得最大值， 故1111122max++=+++=m m m m m z .由题意可知：21112112+<<><++m m m m 得且. 16.4018 【解析】令021==x x ，则2009)0(=f ，令x x x x -==21,，则2009)()()0(--+=x f x f f ，∴2009)()(2009--+=x f x f ，∴]2009)([2009)(--=--x f x f ，∴2009)()(-=x f x F 为奇函数，即)(x f 关于点)2009,0(对称；又2010201021≤<≤-x x ，不妨设2009)(),0(12>>+=h f h h x x ，则)(2009)()()(112x f h f x f x f >-+=，∴)(x f 在]2010,2010[-上是单调递增函数，401820092)2009()2009(=⨯=-+=+f f N M .17.【解析】（1）由21,321111=∴-==a a S a ； 由n n a n S )12(2+-=，当2≥n 时，11)112(2--+--=n n a n S ， ∴两式作差得：n n n a na n a )12()112(1+-+-=-. 整理得：)2(1211≥-⨯=-n n a n a n n ，所以数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a n 是首项和公比均为21的等比数列. ..................6分 （2）由（1）得：n n n a )21(=，∴2)1(,2+=∴=n n T n a n n n ， )111(2)1(21+-=+=∴n n n n T n ， 12)1113121211(2+=+-+⋅⋅⋅+-+-=n n n n A n . ...................12分18.【解析】以H 为原点，HP HB HA 、、分别为z y x 、、轴建立直角坐标系，设1=HA ，则)0,1,0(),0,0,1(B A . ............................1分 设)0,0)(,0,0(),0,0,(><n m n P m C ， 则)0,2,21(),0,,0(mE m D ， ∴)0,1,(),,2,21(-=-=m BC n mPE ， 00221=+-=⋅∴mm BC PE ，BC PE ⊥∴. ..........................5分（2）在ADH RT ∆中，)0,0,33(),0,33,0(,3360tan 1--∴==C D DH， )0,63,21(),1,0,0(,1,2,,60-∴=∴==∴==∠E P PH PB PA PB PA APB ，设平面PEH 的法向量为),,(z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧==-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0,0632100z y x HP n HE n ，令)1,0,1(),0,3,1(,1-==∴=PA n x ， 42,cos =⋅⋅=><∴nPA n PA n PA . ∴直线PA 与面PEH 所成角的正弦值为42. ..........................12分 19.【解析】（1）由题设可知这5次实验即为5次独立重复实验，则至少3次成功的概率8117)31()311()31()311()31(5554452335=+-+-=C C C P . ............4分（2）ξ的可能取值为n ,,3,2,1⋅⋅⋅，其分布列为122)32(31)32()1(31)32(331322311--⋅+⋅⋅-+⋅⋅⋅+⨯⨯+⨯⨯+⨯=n n n n E ξ122)32(])32()1()32(33221[31--⋅+⋅-+⋅⋅⋅+⨯+⨯+=n n n n 令22)32()1(31)32(33221-⋅-+⋅⋅⋅+⨯⨯+⨯+=n n n S则122)32()1()32()2()32(232132--⋅-+⋅-+⋅⋅⋅+⨯+⨯=n n n n n S ， 两式相减得122)32()1()32()32(32131--⋅--+⋅⋅⋅+++=n n n n S111)32()2(3)32()1(321)32(1---⋅+-=⋅----=n n n n n ，所以1)32()2(39-⋅+-=n n n S ，故1111)32(23)32()32()2(3)32(31-----=⋅+⋅+-=⋅+=n n n n n n n n S E ξ. ...........12分20.【解析】（1）设),(y x M ，由题设知：54)1(22=-+-+y y x ，①当4≥y 时，)5(162--=y x 即)44(5162≤≤-+-=x x y ，其轨迹为2E ， ②当4<y 时，y x 42=即)44(412≤≤-=x x y ，其轨迹为1E ，①和②均为E 的轨迹方程.（2）由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=451622x y x y 解得)4,4(),4,4(D C -， 当l 过点C 时，8=m ， 当l 与241x y =相切于),(00y x P 时，12,20=∴='x xy ，解得1,200==y x ，∴切点1),1,2(-=∴m P .综上：)8,1(-∈m . ...................8分（3）①当01≤<-m 时，l 与E 的两个交点均在1E 上.240=≤<∴OD AB .②当80<<m 时，l 与E 的两个交点A 在1E 上，B 在2E 上， 由⎪⎩⎪⎨⎧=+=42x y m x y 解得：m x m x A +-=∴+±=122,122， 由⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=5162x y m x y 解得：m x m x B -+-=∴-±-=948,948， )5921(222)()(22--++=-=-+-=∴m m x x y y x x AB A B B A B A 令)80(921)(<<-++=m m m m f .mm m m m m m f -⋅++--=--+='∴91212991121)()129(912)1(5m m m m m ++--⋅+-= 令0)(='m f ，解得1=m ，∴当,0)(),8,1(,0)(),1,0(<'∈>'∈m f m m f m,2421020,25)1()(max max >-=∴==AB f m f 综上：21020max -=AB . ................................12分21.【解析】（1）由题设，x a x x g ln )(2-=，则xa x x g -=')(， 由0)1(='g ，即202=⇒=-a a .x x x h 2)(-=∴，则xx h 11)(-='. )(,0)(),1,0(x h x h x ∴<'∈在)1,0(是减函数，)(,0)(),,1(x h x h x ∴>'+∞∈在),1(+∞是增函数. ...........................3分（2）当21e x <<时，2)(0,2ln 0<<∴<<x f x . 欲证：)(2)(2x f x f x -+<，只需证：)(2)](2[x f x f x +<-，即证：1)1(2)(+->x x x f . ...............5分 设1)1(2ln 1)1(2)()(+--=+--=x x x x x x f x ϕ， 222)1()1()1()1(2)1(21)(+-=+--+-='∴x x x x x x x x ϕ， 当21e x <<时，)(,0)(x x ϕϕ∴>'∴在),1(2e 上为增函数， 当21e x <<时，)1()(ϕϕ>x ，即)(2)(2x f x f x -+<. （3）由已知得62)(1+-=x x x h ，令0)()(1=-=x h x g y ， 即0)62(ln 22=+---x x x x ， 令62ln 2)(2-+--=x x x x x Fx x x x x x x x x x xx x x F )222)(1(221122)(2+++-=+--=+--='与1-x 同号，当)1,0(∈x 时0)(<'x F ，)(x F 单调递减，当),1(+∞∈x 时0)(>'x F ，)(x F 单调递增，0→x 时，+∞→)(x F ，而)(x F 的最小值∴><-=,0)4(,04)1(F F 函数)()(1x h x g y -=有2个零点.22.【解析】（1）连接BC AD ,，AB 是O ⊙的直径， 90=∠=∠=∠∴EFA ACB ADB ， F E D A 、、、∴四点共圆，∴DFA DEA ∠=∠. .....................4分（2）在EFA RT ∆和BCA RT ∆中，CAB EAF ∠=∠ ，BCA EFA ∆∆∴~，ACAF AB EA =∴. 在EFA RT ∆中，222AE EF AF =+，设a AF =，又3=EF ， 30=∠EBA ，3=∴BF ，则a AB -=3，又221EA AC EA AB AF =⋅=⋅， )3(21)3(2a a a +=-∴，解得：1=a ，∴AF 的长为1. ..............10分 23.【解析】（1）曲线C 的普通方程为02222=+-+y x y x ，即2)1()1(22=++-y x . ∴圆心的直角坐标为)1,1(-，其极坐标为)47,2(π. ....................5分 （2）直线l 的普通方程为：0122=--y x ，圆心到直线l 的距离32231122=-+=d . 31029822=-=∴AB . P ∴到AB 距离的最大值为3253222=+=+d r ， 9510325310221max =⨯⨯=∴S . ...........................10分 24.【解析】（1）证明：2222233))(()()(y x y x y x y y x x x y y x y x -+=---=--+. 223322332,0)(,0)(,0xy y x y x xy y x y x y x y x +≥+∴≥+-+∴≥->+ . .............5分（2）xyy xy x y x xy y x m y x m x y y x 223322)(2)11(2+-=++≤⇔+≥+， y x xyxy xy xy y xy x ==-≥+-(1222 时取等号) 2≤≤m x ,]2,(-∞∈∴m . .............................10分。