﹡课时10．一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
【课前热身】
1．一元二次方程2210x x --=的根的情况为（ ）
Ａ．有两个相等的实数根 Ｂ．有两个不相等的实数根 Ｃ．只有一个实数根
Ｄ．没有实数根
2. 若方程kx 2－6x ＋1＝0有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是 .
3．设x 1、x 2是方程3x 2＋4x －5＝0的两根,则
=+2
11
1x x ，.x 12＋x 22＝ . 4．关于x 的方程2x 2＋(m 2－9)x ＋m ＋1＝0，当m ＝ 时，两根互为倒数； 当m ＝ 时，两根互为相反数.
5．若x 1 =23-是二次方程x 2＋ax ＋1＝0的一个根,则a ＝ ，该方程的另一个根x 2 = .
【考点链接】
1. 一元二次方程根的判别式：
关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根的判别式为 . （1）ac b 42->0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个 实数根，
即=2,1x .
（2）ac b 42-=0⇔一元二次方程有 相等的实数根，即
==21x x .
（3）ac b 42-<0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 实数根. 2． 一元二次方程根与系数的关系
若关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两根分别为1x ，2x ，那么
=+21x x ，=⋅21x x .
3．易错知识辨析：
（1）在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二
次项系数不为零这个限制条件.
（2）应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：
① 根的判别式042≥-ac b ；
② 二次项系数0a ≠，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系.
【典例精析】
例1 当k 为何值时，方程2610x x k -+-=，
（1）两根相等；（2）有一根为0；（3）两根为倒数.
例2 下列命题：
① 若0a b c ++=，则240b ac -≥；
② 若b a c >+，则一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根； ③ 若23b a c =+，则一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根； ④ 若240b ac ->，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3. 其中正确的是（ ） Ａ.只有①②③ Ｂ．只有①③④ Ｃ．只有①④ Ｄ．只有②③④． 例3 菱形ABCD 的一条对角线长为6，边AB 的长是方程01272=+-x x 的一个
根，则菱形ABCD 的周长为 .
【中考演练】
1．设x 1，x 2是方程2x 2＋4x －3＝0的两个根，则(x 1＋1)(x 2＋1)= __________，x 12＋x 22＝_________，
12
11
x x +＝__________，(x 1－x 2)2＝_______. 2．当c =__________时，关于x 的方程2280x x c ++=有实数根．（填一个符合要
求的数即可）
3. 已知关于x 的方程2(2)20x a x a b -++-=的判别式等于0，且1
2
x =
是方程的根，则a b +的值为 ．
4. 已知a b ，是关于x 的方程2(21)(1)0x k x k k -+++=的两个实数根，则22
a b +的最小值是
．
5．已知α，β是关于x 的一元二次方程22(23)0x m x m +++=的两个不相等的实数根，且满足11
1αβ
+=-，则m 的值是（ ）
Ａ．3或1-
Ｂ．3 Ｃ．1 Ｄ．3-或1
6．一元二次方程2310x x -+=的两个根分别是12x x ，，则221212x x x x +的值是（ ） Ａ．3
Ｂ．3-
Ｃ．1
3
Ｄ．13
-
7．若关于x 的一元二次方程02.2=+-m x x 没有实数根，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．m<l
B ．m>－1
C ．m>l
D ．m<－1 8．设关于x 的方程kx 2－(2k ＋1)x ＋k ＝0的两实数根为x 1、x 2，，若,4
171221=+x x x x 求k 的值.
9．已知关于x 的一元二次方程()2120x m x m --++=．
（1）若方程有两个相等的实数根，求m 的值；
（2）若方程的两实数根之积等于292m m -+。