知识点总结：一元二次方程 知识框架

知识点、概念总结 1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 2.一元二次方程有四个特点： (1)含有一个未知数； (2)且未知数次数最高次数是2； (3)是整式方程。要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。如果能整理为 ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。 （4）将方程化为一般形式：ax2+bx+c=0时，应满足（a≠0） 3. 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，•都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）。 一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

4.一元二次方程的解法 （1）直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如bax2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，ax是b的平方根，当0b时，bax，bax，当b<0时，方程没有实数根。 （2）配方法 配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式222)(2bababa，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有

222)(2bxbbxx。

配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根． （3）公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程)0(02acbxax的求根公式：

)04(2422acbaacbbx （4）因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。 5.一元二次方程根的判别式 根的判别式：一元二次方程)0(02acbxax中，acb42叫做一元二次方程)0(02acbxax的根的判别式，通常用“”来表示，即acb42 6.一元二次方程根与系数的关系 如果方程)0(02acbxax的两个实数根是21xx，，那么

abxx21，acxx21。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方

程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。 7.分式方程 分母里含有未知数的方程叫做分式方程。 8.分式方程的一般解法 解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是： （1）去分母，方程两边都乘以最简公分母 （2）解所得的整式方程 （3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。 （参考教材：初中数学九年级人教版）

知识点1.只含有一个未知数，并且含有未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程。 例题： 1、判别下列方程是不是一元二次方程，是的打“√”，不是的打“×”，并说明理由.

(1)2x2-x-3=0. (2)4y-y2=0. (3) t2=0.

(4) x3-x2=1. (5) x2-2y-1=0. (6) 21x-3=0. (7)xx32 =2. (8)(x+2)(x-2)=(x+1)2. (9)3x2-x4+6=0. (10)3x2=4x-3. 1、若关于x的方程a(x－1)2=2x2－2是一元二次方程，则a的值是 （ ） （A）2 （B）－2 （C）0 （D）不等于2

2、已知关于x的方程03122pxnxm，当 时，方程为一次方程；当 时，两根中有一个为零a。 3、已知关于x的方程2220mmxxm： （1） m为何值时方程为一元一次方程； （2） m为何值时方程为一元二次方程。

知识点二.一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式是：200axbxca，其中2ax是二次项，a叫二次项系数；bx是一次项，b叫一次项系数，c是常数项。 特别警示：（1）“0a”是一元二次方程的一般形式的一个重要组成部分；（2）二次项系数、一次项系数及常数项都是方程在一般形式下定义的，所以求一元二次方程的各项系数时，必须先将方程化为一般形式。 例题： 1、指出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.

2(2)5102.20xx 2(3)2150x

2(4)30xx

(5)3)2(2x

2、关于x的方程06232xx中a是 ；b是 ；c是 。 知识点三.一元二次方程的解 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解。 例题：

1、已知方程2390xxm的一个根是1，则m的值是 。 2、设a是一元二次方程052xx的较大根，b是0232xx较小根， 那么ba的值是 （ ） （A）-4 （B）-3 （C）1 （D）2

3、已知关于x的一元二次方程220xkx 的一个解与方程131xx的解相同。 （1） 求k的值；

（2） 求方程220xkx的另一个解。 知识点四.一元二次方程的解法 一元二次方程的四种解法：

（1） 直接开平方法：如果20xkk，则xk （2） 配方法：要先把二次项系数化为1，然后方程两变同时加上一次项系数一半的平方，配成左边是完全平方式，右边是非负常数的形式，然后用直接开平方法求解； （3） 公式法：一元二次方程200axbxca的求根公式是242bbacxa240bac； （4） 因式分解法：如果0xaxb则12,xaxb。 温馨提示：一元二次方程四种解法都很重要，尤其是因式分解法，它使用的频率最高，在具体应用时，要注意选择最恰当的方法解。 例题：解方程： 1、方程220xx的解是： （ ） A.121xx B.121,3xx C.122,0xx D.122,0xx 2、方程25115xx的较简便的解法应选用 。解为 3、解下列方程： （1）2331xx （2）2230xx （3）2230xx （4）yy32322 （5）1211312xx （6）2252)3(xx (7)2222263yyy

知识点五.一元二次方程根的判别式 对于一元二次方程200axbxca的根的判别式是24bac： （1） 当240bac时，方程有两个不相等的实数根； （2） 当240bac时，方程有两个相等的实数根； （3） 当240bac时，方程无实数根。 温馨提示：若方程有实数根，则有240bac。 例题：

1、已知方程230xxk有两个不相等的实数根，则k= 。

2、当m满足何条件时，方程019122mxmmx有两个不相等实根？有两个相等实根？有实根？

3、关于x的方程05222mxmmx无实根，试解关于x的方程02252mxmxm。 4、已知关于x的一元二次方程241210xmxm，求证：不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根。

知识点六.一元二次方程根与系数的关系 若一元二次方程200axbxca的两个实数根为12,xx，则1212,bcxxxxaa。 温馨提示：利用根与系数的关系解题时，一元二次方程必须有实数根。 例题： 1、关于x的一元二次方程22430xkxk的两个实数根分别是12,xx，且满足1212xxxx，则k的值为： （ ） （A）314或 （B）1 （C）34 （D）不存在 2、已知,是关于x的一元二次方程22230xmxm的两个不相等的实数根，且满足111，则m的值是 （ ） （A）3或-1 （B）3 （C）1 （D）-3或1 3、方程2360xx与方程2630xx的所有根的乘积是 4、两个不相等的实数m,n满足2264,64mmnn，则mn的值为 。 5、设12,xx是关于x的一元二次方程20xpxq的两个根，121,1xx是关于x的一元二次方程20xqxp的两个根，则,pq的值分别等于多少？ 知识点七.一元二次方程的实际应用 列一元二方程解应用题的一般步骤：（1）审题（2）设未知数（3）列方程（4）解方程（5）检验（6）写出答案。 在检验时，应从方程本身和实际问题两个方面进行检验。 1、有一个两位数，十位数字比个位数字大3，而此两位数比这两个数字之积的二倍多5，求这个两位数。

2、市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率是多少？

3、将一条长20m的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形。 (1)要使这两个正方形的面积之和等于17平方米，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？ (2)两个正方形的面积之和可能等于12平方米吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由。