课时跟踪检测（一） 命 题层级一 学业水平达标1．下列语句不是命题的有( )①若a>b ，b>c ，则a>c ；②x>2；③3<4；④函数y ＝a x (a>0，且a≠1)在R 上是增函数．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 解析：选C ①③是可以判断真假的陈述句，是命题；②④不能判断真假，不是命题．2．下列命题是真命题的是( )A ．所有质数都是奇数B ．若a>b ，则a>bC ．对任意的x ∈N ，都有x 3>x 2成立D ．方程x 2＋x ＋2＝0有实根解析：选B 选项A 错，因为2是偶数也是质数；选项B 正确；选项C 错；因为当x ＝0时x 3>x 2不成立；选项D 错，因为Δ＝12－8＝－7<0，所以方程x 2＋x ＋2＝0无实根.3．已知a ，b 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且a ⊥α，b ⊥β，则下列命题中，假命题是( )A ．若a ∥b ，则α∥βB ．若α⊥β，则a ⊥bC ．若a ，b 相交，则α，β相交D ．若α，β相交，则a ，b 相交解析：选D 由已知a ⊥α，b ⊥β，若α，β相交，a ，b 有可能异面．4．给出命题“方程x 2＋ax ＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a 的一个值可以是( )A ．4B ．2C ．0D ．－3解析：选C 方程无实根时，应满足Δ＝a 2－4<0.故a ＝0时适合条件．5．已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的12， 则其体积缩小到原来的18； ②若两组数据的平均数相等， 则它们的标准差也相等；③直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12相切． 其中真命题的序号为( )A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③解析：选C 对于命题①，设球的半径为R ，则43π⎝⎛⎭⎫R 23＝18·43πR 3，故体积缩小到原来的18，命题正确；对于命题②，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据：1,3,5和3,3,3的平均数相同，但标准差不同，命题不正确；对于命题③，圆x 2＋y 2＝12的圆心(0,0)到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝12＝22，等于圆的半径，所以直线与圆相切，命题正确．6．下列语句中是命题的有________(写出序号)，其中是真命题的有________(写出序号)． ①垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？②一个数不是正数就是负数；③大角所对的边大于小角所对的边；④△ABC 中，若∠A ＝∠B ，则sin A ＝sin B ；⑤求证方程x 2＋x ＋1＝0无实根．解析：①疑问句．没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题； ②是假命题，0既不是正数也不是负数；③是假命题，没有考虑在同一个三角形内；④是真命题；⑤祈使句，不是命题．答案：②③④ ④7．给出下面三个命题：①函数y ＝tan x 在第一象限是增函数；②奇函数的图象一定过原点；③若a>b>1，则0<log a b<1.其中是真命题的是________．(填序号)解析：①是假命题，反例：x ＝2π＋π6和x ＝π4，tan ⎝⎛⎭⎫2π＋π6＝33，tan π4＝1,2π＋π6>π4，但tan2π＋π6<tan π4. ②是假命题，反例：y ＝1x是奇函数，但其图象不过原点． ③是真命题，由对数函数的图象及单调性可知是真命题．答案：③8．若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：∵ax 2－2ax －3>0不成立，∴ax 2－2ax －3≤0恒成立．当a ＝0时，－3≤0恒成立；当a≠0时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a<0，Δ＝4a 2＋12a≤0， 解得－3≤a<0.综上，－3≤a≤0.答案：[－3,0]9．把下列命题改写成“若p ，则q”的形式，并判断真假，且指出p 和q 分别指什么．(1)乘积为1的两个实数互为倒数；(2)奇函数的图象关于原点对称；(3)与同一直线平行的两个平面平行．解：(1)“若两个实数乘积为1，则这两个实数互为倒数”．它是真命题．p ：两个实数乘积为1；q ：两个实数互为倒数．(2)“若一个函数为奇函数，则它的图象关于原点对称”．它是真命题．p ：一个函数为奇函数；q ：函数的图象关于原点对称．(3)“若两个平面与同一条直线平行，则这两个平面平行”．它是假命题，这两个平面也可能相交．p ：两个平面与同一条直线平行；q ：两个平面平行．10．已知A ：5x －1>a ，B ：x>1，请选择适当的实数a ，使得利用A ，B 构造的命题“若p ，则q”为真命题．解：若视A 为p ，则命题“若p ，则q”为“若x>1＋a 5，则x>1”．由命题为真命题可知1＋a 5≥1，解得a≥4；若视B 为p ，则命题“若p ，则q”为“若x>1，则x>1＋a 5”．由命题为真命题可知1＋a 5≤1，解得a≤4.故a 取任一实数均可利用A ，B 构造出一个真命题，比如这里取a ＝1，则有真命题“若x>1，则x>25”． 层级二 应试能力达标1．在空间中，下列命题正确的是( )A ．平行直线的平行投影重合B ．平行于同一平面的两条直线平行C ．垂直于同一平面的两个平面平行D ．垂直于同一平面的两条直线平行解析：选D A 中当两平行直线确定的平面不垂直于投影面时，两平行直线的平行投影不重合．B 中两直线也可以相交或异面．C 中两平面可以相交．D 正确．故选D.2．下面的命题中是真命题的是( )A ．y ＝sin 2x 的最小正周期为2πB ．若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的两根同号，则c a>0 C ．如果M ⊆N ，那么M ∪N ＝MD ．在△ABC 中，若AB ·BC >0，则B 为锐角解析：选B y ＝sin 2x ＝1－cos 2x 2，T ＝2π2＝π，故A 为假命题；当M ⊆N 时，M ∪N ＝N ，故C 为假命题；在三角形ABC 中，当AB ·BC >0时，向量AB 与BC 的夹角为锐角，B 应为钝角，故D 为假命题．故选B.3．下列命题为真命题的是( )A ．若1x ＝1y，则x ＝y B ．若x 2＝1，则x ＝1C ．若x ＝y ，则x ＝yD ．若x<y ，则x 2<y 2解析：选A 很明显A 正确；B 中，由x 2＝1，得x ＝±1，所以B 是假命题；C 中，当x ＝y<0时，结论不成立，所以C 是假命题；D 中，当x ＝－1，y ＝1时，结论不成立，所以D 是假命题．故选A.4．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是( )A ．这个四边形的对角线互相平分B ．这个四边形的对角线互相垂直C ．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直D ．这个四边形是平行四边形解析：选C 命题可改为“若一个四边形是平行四边形，则这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直．”故选C.5．命题“若a>0，则二元一次不等式x ＋ay －1≥0表示直线x ＋ay －1＝0的右上方区域(包括边界)”条件p ：________，结论q ：________________________________.它是____________命题(填“真”或“假”)．解析：a>0时，设a ＝1，把(0,0)代入x ＋y －1≥0得－1≥0不成立，∴x ＋y －1≥0表示直线的右上方区域(包括边界)，∴命题为真命题．答案：a>0 二元一次不等式x ＋ay －1≥0表示直线x ＋ay －1＝0的右上方区域(包含边界) 真6．定义“正对数”：ln ＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0<x<1，ln x ，x≥1.现有四个命题： ①若a>0，b>0，则ln ＋(a b )＝bln ＋a ； ②若a>0，b>0，则ln ＋(ab)＝ln ＋a ＋ln ＋b ；③若a>0，b>0，则ln ＋⎝⎛⎭⎫a b ≥ln ＋a －ln ＋b ； ④若a>0，b>0，则ln ＋(a ＋b)≤ln ＋a ＋ln ＋b ＋ln 2.其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号)解析：对于①，当a≥1时，a b ≥1，则ln ＋(a b )＝ln a b ＝bln a ＝bln ＋a ；当0<a<1时，0<a b <1，则ln ＋(a b )＝0，bln ＋a ＝0，即ln ＋(a b )＝bln ＋a ，故①为真命题． 同理讨论a ，b 在(0，＋∞)内的不同取值，可知③④为真命题．对于②，可取特殊值a ＝e ，b ＝1e，则ln ＋(ab)＝0，ln ＋a ＋ln ＋b ＝1＋0＝1，故②为假命题． 综上可知，真命题有①③④.答案：①③④7．已知p ：x 2－2x ＋2≥m 的解集为R ；q ：函数f(x)＝－(7－3m)x 是减函数．若这两个命题中有且只有一个是真命题，求实数m 的取值范围．解：若命题p 为真命题，由x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1≥m ，可知m≤1；若命题q 为真命题，则7－3m>1，即m<2.命题p 和q 中有且只有一个是真命题，则p 真q 假或p 假q 真，即⎩⎪⎨⎪⎧ m≤1，m≥2或⎩⎪⎨⎪⎧m>1，m<2，所以1<m<2. 故实数m 的取值范围是(1,2)．8．试探究命题“方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解”为真命题时，a ，b 满足的条件．解：方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解，要考虑方程为一元一次方程和一元二次方程两种情况：当a ＝0时，方程ax 2＋bx ＋1＝0为bx ＋1＝0，只有当b≠0时，方程有实数解x ＝－1b； 当a≠0时，方程ax 2＋bx ＋1＝0为一元二次方程，方程有实数解的条件为Δ＝b 2－4a≥0. 综上知，当a ＝0，b≠0或a≠0，b 2－4a≥0时，方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解．。