一．单项选择题1. A2. B 3．A4． A5. D6. C 7．C 8．B 9..D 10．A 11．C 12．D 13．D 14．C 15．D 16．D 17．C 18．B 19．B20．B21．A22．B23．A 24．D 25．B 26． C 27．D 28．A29．D 30．Ｂ 31．B 32．D 33．A 34．D35．C 36． D 37．C38．C 39．A40．C41．A 42． D 43．A 44．A 45． B46．D 47．B 48．Ｂ49．A 50．C51．B52．D53．C 54．B55．D 56．C 57．A 58．D59．D 60．D61．B 62．B 63．D 64．C65．B 66．A 67．C68．A69．C70．A二．填空题1．653010422-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭2．0 3．0 4．1255．4 6．9 7．()()()y x z x z y ---8．17 9．0 10．1 11． 1002011032⎛⎫⎪ ⎪- ⎪- ⎪⎝⎭12．()0,1,2T13．3 14．2 15．016．3λ=- 17．-2 18．120220003⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭19． 40三、简答题1．按行列式的定义，展开式的每项都是不同行不同列元素的乘积，所以具有3x 的项只有两项：3443322115x a a a a -=；和32143342211331x x x a a a a =--=)()(； 所以3x 系数是：—2。

2．显然21212αααα-+,都是方程组的解。

所以只要讨论它们线性无关。

任取两数21c c ,，使得02212211=-++)()(ααααc c即02221121=-++αα)()(c c c c ，因21αα,线性无关，所以⎩⎨⎧=-=+.,0022121c c c c ，而 ,031121≠-=-，所以021==c c 即21212αααα-+,线性无关，所以它们仍是这个方程组的基础解系。

3．按行列式的定义，展开式的每项都是不同行不同列元素的乘积，所以具有3x 的项只有两项：3443322115x a a a a -=；和32143342211331x x x a a a a =--=)()(； 所以3x 系数是：—2。

4．显然21212αααα-+,都是方程组的解。

所以只要讨论它们线性无关。

任取两数21c c ,，使得02212211=-++)()(ααααc c即02221121=-++αα)()(c c c c ，因21αα,线性无关，所以⎩⎨⎧=-=+.,0022121c c c c ，而 ,031121≠-=-，所以021==c c 即21212αααα-+,线性无关，所以它们仍是这个方程组的基础解系。

四．计算题1． 解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=31211543214131212101),,,,(54321βββββ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------−−−−−→−+--231104622023110121011413122r r r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---−−−−→−+-00000000002311012101124232r r r r 所以向量组54321,,,,βββββ的秩为2；21,ββ为其一个极大无关组；213βββ+=，21432βββ-=，2152βββ--=2．解 对称矩阵的不同特征值的特征向量必互相正交，所以，属于231λλ==的特征向量()123Tx x x x = 必定与1p 正交，即它们一定满足2310,x x x +=可以取任何值对此可取线性无关解23100,1.01p p ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭令010101.101P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭求出1*01111200.2011P P P -⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭于是1101001110011101200001.21101011010A P P --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪==-=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭3．解：32214222222322332=⨯⨯=⋅='⋅'=')(|||||||||)(|B A B A B A B A4．解：01461351341||≠-=-----=A 所以A 可逆 )(121100011010322001100461010351001341)(1-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=A I I A 所以⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1210113221A ， 验证I =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1210113224613513415．解：可验21αα,是线性无关的，因为矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛321101的二阶子式02101≠用施密特方法正交化：令),,(10111==αβ，则),,(),,(),,(||||121101243211211222-=-=⋅-=βββααβ， 可验证，此时),,(,),,(12110121-==ββ是正交的。

6．解：))((||272543+-=----=-λλλλλA I，特征值为,,2721-==λλ向量方程组为：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----00254321x x λλ 当71=λ时，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-00115544)(A I λ即21x x =，取12=x ，可得特征向量),('=111v当22-=λ时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-00454545)(A Iλ即2145x x -=，取12=x ，可得特征向量),/('-=1542v所以原矩阵的特征值为,1,721-==λλ，分别对应的特征向量是：,/,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=15411222111C v C C v C 其中i C 是任意常数。

7．解：可验21αα,是线性无关的，因为矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛321101的二阶子式02101≠ 用施密特方法正交化：令),,(10111==αβ，则),,(),,(),,(||||121101243211211222-=-=⋅-=βββααβ， 可验证，此时),,(,),,(12110121-==ββ是正交的。

8．解：))((||272543+-=----=-λλλλλA I，特征值为,,2721-==λλ向量方程组为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛----00254321x x λλ 当71=λ时，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-00115544)(A I λ 即21x x =，取12=x ，可得特征向量),('=111v当22-=λ时，⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-00454545)(A I λ即2145x x -=，取12=x ，可得特征向量),/('-=1542v所以原矩阵的特征值为,1,721-==λλ，分别对应的特征向量是：,/,⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=15411222111C v C C v C 其中i C 是任意常数。

9． ()54321,,,,ααααα=A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=140113*********12211−→−r⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--00000111001512012211 −→−r⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--00000111001301001001所以()3,,,,54321=αααααr。

又1100010001= 从而321,,ααα是一个最大无关组，另外， 32143αααα-+=，325ααα+-=10．解 对称矩阵的不同特征值的特征向量必互相正交，所以，属于的特征向量()123Tx x x x =必定与正交，即它们一定满足可以取任何值对此可取线性无关解令求出于是231λλ==1p 2310,x x x +=23100,1.01p p ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭010101.101P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭1*01111200.2011P P P -⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭1101001110011101200001.21101011010A P P --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪==-=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11．解：32214222222322332=⨯⨯=⋅='⋅'=')(|||||||||)(|B A B A B A B A12．解：01461351341||≠-=-----=A 所以A 可逆 )(121100011010322001100461010351001341)(1-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=A I I A 所以⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1210113221A ， 验证I =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----121011322461351341五、综合应用题1．解：)3)(5(61011211-+=---=λλλλD，（1）当0≠D ，即5-≠λ且3≠λ时，方程组有惟一解. …（2）当5-=λ时，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----==1610155122151),(βA A −→−r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---100013902151此时3)(,2)(==A r A r ，方程组无解，（3）当3=λ时，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---==1610153122131),(βA A −→−r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--00001001717571778 此时2)()(==A r A r ，方程组有无限多个解.，并且通解为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10757871717321c x x x )(R c ∈2、解：2)1()2(111111-+==a a aa a A ，所以 （1）当12≠-≠a a且时，方程组有唯一解；（2）当2-=a 时，方程组的增广矩阵为−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=+21421121211112),(r r b A −−−→−⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------++1312421*********r r r r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----300033303211 则秩3),(=b A 不等于秩2)(=A 所以当2-=a 时，方程组无解； （3）当1=a 时，方程组的增广矩阵为−−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--1312111111111111),(r r r r b A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000000001111则秩==1),(b A 秩)(A ，此时方程组有无穷多解，其等价方程组为⎪⎩⎪⎨⎧==+--=33223211x x x x x x x 所以方程组的通解为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00110101121k k ，其中21,k k 为任意实数3．解：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=0000000001002362010165100112133452362210231123711111)(b A 。