4. 逆命题、逆定理
我们已经知道，可以判断正确或错误的句子叫做命题．例如“两直线平行，内错角相等”和“内错角相等，两直线平行”都是命题．
在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一命题就叫做它的逆命题．
命题“两直线平行，内错角相等”的题设为______________________________ ____________________________________________________________________；结论为______________________________________________________________．它的逆命题为_________________________________________________．
每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设改成结论，并将结论改成题设，便可得到原命题的逆命题．但是原命题正确，它的逆命题未必正确．例如真命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”，此命题就是一个假命题．如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理．
我们已经知道命题“两直线平行，内错角相等”和它的逆命题“内错角相等，两直线平行”都是定理，因此它们就是互逆定理．
在第19章中，我们已经学过勾股定理，即
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
我们可以证明，勾股定理的逆命题也是正确的．
勾股定理的逆定理如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形．
已知：如图27.2.9，在△ABC中，AB＝c, BC＝a,CA＝b,且a2＋b2＝c2．
图27.2.9
求证：△ABC是直角三角形．
分析首先构造一个直角三角形A' B' C'，使得∠C'＝90°，B' C'＝a，C' A'＝b，然后可以证明△ABC≌△A' B' C'，从而可知△ABC是直角三角形．
做一做
设三角形三边长分别是下列各组数，试判断各三角形是不是直角三角形．如果是直角三角形，请指出哪条边所对的角是直角．
（1）7，24，25；（2）12，35，37；
（3）35，91，84．
练习
1. 指出下列命题的题设和结论，并说出它们的逆命题：
（1）如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余．
（2）等边三角形的每个角都等于60°．
（3）全等三角形的对应角相等．
（4）到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．
（5）线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等．
2. 举例说明下列命题的逆命题是假命题：
（1）如果一个整数的个位数字是5，那么这个整数能被5整除．
（2）如果两个角都是直角，那么这两个角相等．
3. 在你所学过的知识中，有没有原命题与逆命题都正确的例子（即互逆定理）？试举出2对．
4. 三角形ABC三边长a、b、c分别是下列各组数，试判断各三角形是不是直角三角形．如果是，那么哪一条边所对的角是直角？
（1）a＝8, b＝15, c＝17;（2）a＝241, b＝10, c＝8;
（3）a＝6, b＝8, c＝10;（4）a＝1, b＝2, c＝3．
5. 给定一个三角形的两边长分别为5、12，当第三条边为多长时，这个三角形是直角三角形？
习题27.21.
1.如图，在△ABC中，AB＝AC，DB＝DC．求证：（1）∠1＝∠2；（2）AD⊥
BC．
（第1题）（第2题）
2.如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，EF经过点D，且
EF∥BC．求证：EF＝BE＋CF．
3.如图，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥AO，ED⊥BO，垂足分别是C、D．求
证：∠EDC＝∠ECD．
(第3题) （第4题）
4. 如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，∠C ＝90°，BD 是∠ABC 的平分线，交AC
于D ．求证：点D 在AB 的垂直平分线上．
5. 如图，△ABD 、△ACE 都是等边三角形．求证：CD ＝BE ．（提示：找出分别
以CD 、BE 为边的两个全等三角形）
(第5题)
6. 写出下列命题的逆命题，并判断它是真命题还是假命题．
（1） 如果x ＝y ，那么x 2＝y 2；
（2） 如果一个三角形有一个角是钝角，那么它的另外两个角是锐角．
（3）。