19.4.2 等腰三角形的判定主备人：王启彤教学目标 1.理解等腰三角形的判定方法和证明过程，掌握运用“等角对等边”证明等腰三角形的方法，提高逻辑推理能力；2.通过定理的证明和应用，初步了解转化思想，掌握分析问题和解决问题的方法；3.极度热情、全力以赴，体会数学源于实践，又服务于实践的辩证唯物主义观点。
教学重点难点重点：等腰三角形的判定方法及其应用。
难点：等腰三角形判定方法的证明中添加辅助线的思想方法以及等腰三角形性质与判定的区别。
教学方法教学过程一、预习案1.等腰三角形性质定理的逆命题是什么？勾股定理的逆命题是什么？2.等腰三角形性质定理的逆命题可以用来证明它是一个等腰三角形吗？3.等腰三角形有几种证明方法？分别是什么？怎样证明一个三角形是直角三角形？二、基础知识探究探究点一等腰三角形的判定定理（重点）问题1：如图1，在△ABC中，AB=AC，图中必有哪些相等？为什么？答案：∠B=∠C，根据的是等腰三角形的性质定理。
问题2：反过来，若∠B=∠C，一定有AB=AC吗？并证明你的结论.答案：一定。
已知△ABC中，∠B=∠C.求证：AB=AC.思路分析：联想证明有关线段相等的知识知道，需先构造以AB、AC为对应边的全等三角形。
因为已知∠B=∠C，没有对应边相等，所以需添加辅助线为两个三角形的公共边，因此辅助线应从A 点引出.再让学生回想等腰三角形中常添加的辅助线，学生可以作∠BAC 的平分线AD 交BC 于D 或作BC 边上的高AD 等，证明三角形全等，从而推出AB=AC.证明：如图2，作∠BAC 的平分线AD 交BC 于D.在△BAD 和△CAD 中，因为∠B=∠C, ∠1=∠2,AD=AD,所以△BAD ≌△CAD(A.A.S.).所以AB=AC （全等三角形的对应边相等）.问题3：等腰三角形的判定定理是什么？答案：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.（简写成“等角对等边”）问题4：还可以用其他方法判定等腰三角形吗？答案：直接利用等腰三角形的定义也可以判定等腰三角形.归纳总结：等腰三角形的判定方法有两种：（1）根据定义，即在一个三角形中，如果有两条边相等，那么这个三角形为等腰三角形；（2）等腰三角形的判定定理。
探究点二 勾股定理的定理问题1：什么是勾股定理？答案：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方和一定等于斜边长的平方.问题2：勾股定理的逆命题是什么？答案：如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形.问题3：如何证明该命题的正确性？答案：已知：如图3，在△ABC 中，AB=c ，BC=a ，CA=b,且222a b c +=.求证：△ABC 是直角三角形. 图1 图2思路分析：首先构造直角三角形A 1 B 1 C 1 ，使∠C 1 =90°，B 1C 1 =a ，C 1 A 1 =b ，然后可以证明△ABC ≌△A 1 B 1 C 1 ，从而可知△ABC是直角三角形.证明：如图2所示，构造直角三角形A1 B1 C1，使∠C1 =90°，B1 C1 =a，C1 A1 =b；在直角三角形A1 B1 C1中，由勾股定理可得B1 B1 =c; 则在△ABC和△A1 B1 C1中，AB= A1 B1，BC= B1 C1，所以△ABC≌△A1 B1 C1，故有∠C=∠C1=90°，所以△ABC是直角三角形.归纳总结：（1）勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形的依据；（2）股定理通过计算判断一个三角形是否为直角三角形.三、知识综合应用例1.如图，AD∥BC，BD平分∠ABC，△ABD是等腰三角形吗？为什么？思考1：想判定△ABD为等腰三角形，只需要得出哪两个角相等即可？思考2：如何利用已知条件得出这两个角相等？思考3：判定三角形为等腰三角形的一般方法是什么？例2.如图，在四边形ABCD中，AB=BC=2，CD=3，AD=1，且∠B=90°，求∠DAB的度数.思考1：分割法求角是我们常用的求角的方法，如何利用分割法求∠DAB呢？思考2：连结AC，如何说明△ACD是直角三角形？思考3：勾股定理的逆定理在证明直角三角形时应该怎么用？四、课堂练习1.如图，已知P、Q是△ABC的边BC上两点，并且BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的大小.2.三角形三边长a、b、c分别是下列各组数，试判断各三角形是不是直角三角形？如果是，那么哪一个角是直角？（1）a=8，b=15，c=17；（2）a=6，b=10，c=8；（3）a=1，b=3，c=2.3.给定一个三角形的两边长分别为5、12，当第三条边为多长时，这个三角形是直角三角形？五、课后作业1.以下列各组数据为边长，能构成直角三角形的有（）①6，7，8；②8，15，17；③7，24，25；④12，35，37.A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，D是AC上一点，若∠BDC=72°，则图中等腰三角形的个数为（）A.1B.2C.3D.43.在△ABC中，∠A=110°，∠C=35°，则△ABC=三角形.4.如图所示，∠ABC=∠ACB，BD、CD分别是∠ABC、∠ACB 的平分线，求证：△DBC是等腰三角形.5.如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，一定能确定△ABC为直角三角形的条件的个数是（）①∠A=∠1；②∠B=∠2=90°；③BC：AC：AB=3：4：5；④∠1=∠2A.1B.2C.3D.419.4.3 角平分线主备人：王启彤教学目标 1.掌握角平分线的性质定理及其逆定理，并能运用这两个定理证明线段相等和角相等，提高逻辑推理能力；2.通过独立思考、小组合作、展示质疑，体会数学的严密性；3.极度热情，做最佳的自己，激发学习数学的兴趣.教学重点难点重点：角平分线的性质定理及其逆定理的应用。
难点：角平分线的性质定理及其逆定理的推导过程。
教学方法教学过程一、预习案1.你如何理解角平分线的性质定理？2.你能通过逻辑推理的方法证明角平分线的性质定理吗？3.角平分线性质定理的逆命题正确吗？4.你能通过逻辑推理的方法证明角平分线的性质定理的逆命题吗？5.如何判定点在角的平分线上？二、基础知识探究探究点一角平分线的性质定理（重点）问题1：如何求直线外一点到直线的距离？答案：过点向直线作垂线段，垂线段的长度即为所求.问题2：如图所示，射线OP是∠AOB的平分线，点C为OP 上任意一点，且CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E.那么点C到OA的距离是，点C到OB的距离是.问题3：若将图中的∠AOB沿着OC所在的直线折叠，你会发现CD与CE在数量上有什么关系？答案：相等.问题4：你能用逻辑推理的方法证明问题3的结论吗？答案: 已知：如图，OP是∠AOB的平分线，C是OP上任意一点，且CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，求证：CD=CE. 证明：因为射线OP是∠AOB的平分线，所以∠AOP=∠BOP.在Rt△DCO和Rt△ECO中，∠DOC=∠EOC，∠CDO=∠CEO =90°，CO=CO，所以Rt△DCO≌Rt△ECO(A.A.S.)，所以CD=CE. 问题5：你能得到什么结论？答案：角平分线上的点到这个角的两边距离相等.归纳总结：（1）角平分线性质定理中的“距离”是指点到直线的距离.是垂线段的长度，要与点到点的距离区别开；（2）角平分线的性质定理可用于说明两条线段相等.探究点二角平分线的性质定理的逆定理（重点）问题1：角平分线性质定理的逆命题是什么？答案：到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.问题2：如图所示，CD⊥OA，CE⊥OB，且CD=CE，点C 在∠AOB的平分线上吗？为什么？答案：在. 在Rt△DCO和Rt△ECO中，CD=CE，CO=CO，所以Rt△DCO≌Rt△ECO（H.L.）,所以∠DOC=∠EOC.即点C在∠AOB的平分线上。
问题3：你能得到什么结论？答案：到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。
归纳总结：角平分线的性质定理的逆定理的实质是由“线段相等”证明“角相等”。
三、知识综合应用例1.如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D，如果AC=3cm，那么AE+DE等于（）A.2cmB.3cmC. 4cmD. 5cm思考1：使用角平分线的性质定理的条件是什么？思考2：BC与AC的位置关系是怎样的？思考3：CE与DE有什么关系？为什么？思考4：AE+DE=AE+EC=AC吗？例2.如图所示，BF⊥AC于F，CE⊥AB于E，BF与CE相交于点D，BD = CD.求证：点D在∠BAC的平分线上。
思考1：利用角平分线的性质定理的逆定理，我们可以把“点D在∠BAC的平分线上”转化成什么结论？思考2：想要证明DE=DF，只需要证明哪两个三角形全等即可？四、课堂练习1.如图，在直线l上找出一点P，使得点P到∠AOB的两边OA、OB的距离相等。
2.如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上。
五、课后作业1. ∠AOB的平分线上有一点M，M到OA的距离为1.5cm，则M到OB的距离为_______.2.如图所示，∠AOB=60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD=CE，则∠DOC=_____.2题3题3.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，已知BC=8cm，BD=5cm，则点D到AB的距离是______.4.如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，=36cm2，AB=18cm，BC=12cm，则DE=______cm.S△ABC4题 5题5.如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B.下列结论中不一定成立的是（）A.PA=PBB. PO平分∠APBC.OA=OBD.AB垂直平分OP6.如图所示，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，且BE，CF交于点D，若AB=AC，求证：点D在∠BAC的平分线上。
19.4.4 线段垂直平分线主备人：王启彤教学目标 1.掌握线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，并能熟练地应用线段垂直平分线的性质定理及其逆定理进行证明，提高逻辑推理能力。
2.通过独立思考、小组合作、展示质疑，体会数学的严密性；3.极度热情、自动自发、享受成功，提高数学应用意识。
教学重点难点重点：掌握线段垂直平分线的性质定理及其逆定理。
难点：理解线段垂直平分线的性质定理及其逆定理的关系。
教学方法教学过程一、预习案1.你如何理解线段垂直平分线的性质定理？2.你能通过逻辑推理的方法证明线段垂直平分线的性质定理吗？3.线段垂直平分线的性质定理的逆命题正确吗？4.你能通过逻辑推理的方法证明线段垂直平分线的性质定理的逆命题吗？5.如何判断一个点是否在线段的垂直平分线上？二、基础知识探究探究点一：线段垂直平分线的性质定理（重点）问题1：线段的垂直平分线是直线，还是线段？有几条？答案：直线；有1条。