巧解最值问题利用函数性质求最值1. 利用图象求最值：如：若该地10号、15号的人均用水量分别为18千克和15千克，并一直按此趋势直线下降。

当人日均用水量低于10千克时，政府将向当地居民送水。

那么政府应开始送水的最合适号数为几号？答案：24号。

2. 利用几何图形变化求最值：如：在矩形ABCD 中，动点E 从点B 出发，沿BADC 方向运动至点C 处停止，设点E 运动的路程为x ，△BCE 的面积为y ，AB ＝4，AD ＝5时，则当x 的值在什么范围时，△BCE 面积最大？答案：49x ≤≤。

3. 根据实际问题中条件求最值： 如：某市出租车价格是这样规定的：不超过2公里，付车费5元，超过的部分按每千米1.6元收费，已知李老师乘出租车行驶了x （x ＞2）千米，付车费y 元，则所付车费y 元与出租车行驶的路程x 千米之间的函数关系为 。

如果李老师有22元，那么他所乘车的最远距离是多少？答案： 1.6 1.8y x =+，12.625千米。

4. 利用函数解析式中自变量的求值范围求最值：如：某商场欲购进A 、B 两种品牌的饮料500箱，此两种饮料每箱的进价和售价如下表所示。

设购进A 种饮料x 箱，且所购进的两种饮料能全部卖出，获得的总利润为y 元。

⑴求y 关于x 的函数关系式？ ⑵如果购进两种饮料的总费用不超过20000元，那么该商场如何才能获利最多？（注：利润＝售价－成本答案：（1）y（2）购进A 种饮料125箱，购进B 种饮料375箱。

总结：从一次函数的基本性质来看，当自变量 ｘ取全体实数时，它没有最值，但如果自变量ｘ的取值不是全体实数，那么它可能有最值，因此，解决有关一次函数的最值问题时。

关键是求出自变量ｘ的取值范围，然后用一次函数的性质去处理。

解析：弹簧在一定的称重范围内弹簧的长度与物体重量满足一次函数关系，设出一次函数关系式，根据图中提供的数据求得函数关系式，令x ＝10代入求得y 的值即可。

答案：由表中关系可以得到，弹簧长度y （厘米）与称重x （千克）的关系是一次函数关系，∴设弹簧长度y （厘米）与称重x （千克）的关系式为y ＝kx ＋b ，根据表格中提供的数据得当x ＝1时，y ＝4.5；当x ＝2时，y ＝5.5；∴ 4.52 5.5⎧⎨⎩k b k b ＋＝＋＝，解得：13.5⎧⎨⎩k b ＝＝，∴解析式为y ＝3.5＋x ，当弹簧最长时就是所挂重物最重时，此时x ＝10，∴y＝3.5＋10＝13.5，故弹簧最长为13.5厘米。

故选B 。

点拨：本题考查了用待定系数法确定函数的解析式及如何求函数值的问题，把实际问题抽象成数学知识解决，是解决此类问题的关键。

利用自变量取值范围求最值利用自变量取值范围求解最值问题，关键是正确寻找题目中的不等关系，列不等式组求得最佳方案。

例题 为打造“书香校园”，某学校计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共30个，已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本。

若组建一个中型图书角的费用是860元，组建一个小型图书角的费用是570元，请你设计一种组建方案，使总费用最低，最低费用是（ ）A. 22300元B. 22610元C. 22320元D. 22650元解析：设组建中型图书角x 个、小型图书角（30－x ）个，由于组建中、小型两类图书角共30个，已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本。

若组建一个中型图书角的费用是860元，组建一个小型图书角的费用是570元，因此可以列出不等式组80x ＋30（30−x ）≤1900 50x ＋60（30−x ）≤1620，解不等式组然后去整数即可求解。

答案：设组建中型图书角x 个、小型图书角（30－x ）个，由题意得80303019005060301620-≤⎧⎨-≤⎩x xx x＋（）　＋（），解之得：18≤x≤20，而x为整数，∴x＝18、19、20，∴有三种方案，费用y＝860x＋570（30－x）＝290x＋17100，∴当x＝18时，费用最少，为290×18＋17100＝22320元。

故选C。

生活实践中求最值一次函数在实际生活中的应用，关键是找等量关系列方程，并运用待定系数法求解一次函数解析式。

例题水果店王阿姨到水果批发市场打算购进一种水果销售，经过还价，实际价格每千克比原来少2元，发现原来买这种水果80千克的钱，现在可买88千克。

（1）现在实际购进这种水果每千克多少元？（2）王阿姨准备购进这种水果销售，若这种水果的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足如图所示的一次函数关系。

①求y与x之间的函数关系式；②请你帮王阿姨拿个主意，将这种水果的销售单价定为多少时，能获得最大利润？最大利润是多少？（利润＝销售收入－进货金额）解析：（1）设现在实际购进这种水果每千克x元，根据原来买这种水果80千克的钱，现在可买88千克列出关于x的一元一次方程，解方程即可；（2）①设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b，将（25，165），（35，55）代入，运用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式；②设这种水果的销售单价为x元时，所获利润为w元，根据利润＝销售收入－进货金额得到w关于x的函数关系式为w＝－11（x－30）2＋1100，再根据二次函数的性质即可求解。

答案：解：（1）设现在实际购进这种水果每千克x元，则原来购进这种水果每千克（x ＋2）元，由题意，得80（x＋2）＝88x，解得x＝20。

答：现在实际购进这种水果每千克20元；（2）①设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b，将（25，165），（35，55）代入，得，解得，故y与x之间的函数关系式为y＝－11x＋440；②设这种水果的销售单价为x（元/千克）时，所获利润为w元，则w＝（x－20）y＝（x－20）（－11x＋440）＝－11x2＋660x－8800＝－11（x－30）2＋1100，所以当x＝30时，w有最大值1100。

答：将这种水果的销售单价定为30元时，能获得最大利润，最大利润是1100元。

（答题时间：45分钟）一、选择题1. 如图所示，是某航空公司托运行李的费用y（元）与行李重量x（千克）的关系图象，由图中可知，乘客可以免费托运行李的最大重量为（）A. 20千克B. 30千克C. 40千克D. 50千克2. 小静准备到甲或乙商场购买一些商品，两商场同种商品的标价相同，而各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购买满一定数额a元后，再购买的商品按原价的90%收费；在乙商场累计购买50元商品后，再购买的商品按原价的95%收费。

若累计购物x元，当x＞a时，在甲商场需付钱数y A＝0.9x＋10，当x＞50时，在乙商场需付钱数为y B。

下列说法：①y B ＝0.95x＋2.5；②a＝100；③当累计购物大于50元时，选择乙商场一定优惠些；④当累计购物超过150元时，选择甲商场一定优惠些。

其中正确的说法是（）A. ①②③④B. ①③④C. ①②④D. ①②③*3. 如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，E、F分别是AB、AD的中点。

动点R从点B 出发，沿B→C→D→F方向运动至点F处停止。

设点R运动的路程为x，△EFR的面积为y，当y取到最大值时，点R应运动到（）A. BC的中点处B. C点处C. CD的中点处D. D点处*4. 某生物小组观察一植物生长，得到植物高度y（单位：厘米）与观察时间x（单位：天）的关系，并画出如图所示的图象（AC是线段，直线CD平行x轴）。

该植物最高长（）厘米。

A. 11B. 13C. 15D. 16**5. 已知一列慢车与一列快车相继从武汉开往南京，慢车先出发，一小时后快车出发，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系，如果二车都配有对讲机，并且二车相距不超过15km时，能相互通话，则二车均在行驶过程中能通话的时间为（）小时。

A. 2B. 4C. 3D. 1二、填空题：*6. 国际蔬菜科技博览会开幕，学校将组织360名师生乘车参观。

某客车出租公司有两种客车可供选择：甲种客车每辆40个座位，租金400元；乙种客车每辆50个座位，租金480元，则租用该公司客车最小需付租金元。

*7. 某工程队要招聘甲乙两种工种的工人150名，甲乙两种工种工人的月工资分别是600元和1000元，现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的两倍，问甲乙两种工种的人数各聘时可使得每月所付工资最少，最小值是。

**8. 一辆警车在高速公路的A处加满油，以每小时60千米的速度匀速行驶。

已知警车一次加满油后，油箱内的余油量y（升）与行驶时间x（小时）的函数关系的图象如图所示的直线l上的一部分。

如果警车要回到A处，且要求警车中的余油量不能少于10升，那么警车可以行驶到离A处的最远距离是km。

**9. 某厂工人小王某月工作的部分信息如下：信息一：工作时间：每天上午8∶00~12∶00，下午14∶00~18∶00，每月25天；信息二：生产甲、乙两种产品，并且按规定每月生产甲产品的件数不少于60件。

生产生产甲产品件数（件）生产乙产品件数（件）所用总时间（分）10 10 35030 20 850信息三：按件计酬，每生产一件甲产品可得1.50元，每生产一件乙产品可得2.80元。

根据以上信息，回答下列问题：（1）小王每生产一件甲种产品、每生产一件乙种产品分别需要分。

（2）小王该月最多能得_______元？此时生产甲、乙两种产品分别________件。

三、解答题：*10. 为了美化校园环境，建设绿色校园，某学校准备对校园中30亩空地进行绿化。

绿化采用种植草皮与种植树木两种方式，要求种植草皮与种植树木的面积都不少于10亩。

并且种植草皮面积不少于种植树木面积的32。

已知种植草皮与种植树木每亩的费用分别为8000元与12000元。

（1）种植草皮的最小面积是多少？（2）种植草皮的面积为多少时绿化总费用最低？最低费用为多少？**11. 某社区活动中心为鼓励居民加强体育锻炼，准备购买10副某种品牌的羽毛球拍，每副球拍配x（x≥2）个羽毛球，供社区居民免费借用。

该社区附近A、B两家超市都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为30元，每个羽毛球的标价为3元，目前两家超市同时在做促销活动：A超市：所有商品均打九折（按标价的90%）销售；B超市：买一副羽毛球拍送2个羽毛球。

设在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为y A（元），在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为y B（元）。

请解答下列问题：（1）分别写出y A、y B与x之间的关系式；（2）若该活动中心只在一家超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？（3）若每副球拍配15个羽毛球，请你帮助该活动中心设计出最省钱的购买方案。