1 2017年考研数学一真题 一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． １．若函数1cos,0(),0xxfxaxbx在0x处连续，则
（A）12ab（B）12ab（C）0ab（D）2ab 【详解】00011cos12lim()limlim2xxxxxfxaxaxa，0lim()(0)xfxbf，要使函数在0x处连续，必须满足1122baba．所以应该选（A） 2．设函数()fx是可导函数，且满足()()0fxfx，则 （A）(1)(1)ff （B）11()()ff （C）11()()ff （D）11()()ff 【详解】设2()(())gxfx，则()2()()0gxfxfx，也就是2()fx是单调增加函数．也就得到22(1)(1)(1)(1)ffff，所以应该选（C）
3．函数22(,,)fxyzxyz在点(1,2,0)处沿向量(1,2,2)n的方向导数为 （A）12 （B）6 (C）4 （D）2
【详解】22,,2fffxyxzxyz，所以函数在点(1,2,0)处的梯度为4,1,0gradf，所以
22(,,)fxyzxyz
在点(1,2,0)处沿向量(1,2,2)n的方向导数为
0
14,1,0(1,2,2)23fgradfnn
应该选（D）
４．甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：米）处，如图中，实线表示甲的速度曲线1
()vvt
（单位：米/秒），虚线表示乙的速度曲线2()vvt（单位：米/秒），三块阴影部分的面积分别为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻为0t，则（ ） （A）010t （B）01520t （C）025t （D）025t 【详解】由定积分的物理意义：当曲线表示变速直线 2
运动的速度函数时，21()()TTStvtdt表示时刻12,TT内所走的路程．本题中的阴影面积123,,SSS分别表示在时间段0,10,10,25,25,30内甲、乙两人所走路程之差，显然应该在25t时乙追上甲，应该选（C）． 5．设为n单位列向量，E为n阶单位矩阵，则
（A）TE不可逆 （B）TE不可逆
（C）2TE不可逆 （D）2TE不可逆 【详解】矩阵T的特征值为1和1n个0，从而,,2,2TTTTEEEE的特征值分别为0,1,1,1；2,1,1,,1；1,1,1,,1；3,1,1,,1．显然只有TE存在零特征值，所以不可逆，应该选（A）．
6．已知矩阵200021001A，210020001B，100020002C，则
（A）,AC相似，,BC相似 （B）,AC相似，,BC不相似 （C）,AC不相似，,BC相似 （D）,AC不相似，,BC不相似 【详解】矩阵,AB的特征值都是1232,1．是否可对解化，只需要关心2的情况．
对于矩阵A，0002001001EA，秩等于1 ，也就是矩阵A属于特征值2存在两个线性无关的特征向量，也就是可以对角化，也就是~AC． 对于矩阵B，0102000001EB，秩等于2 ，也就是矩阵A属于特征值2只有一个线性无关的特
征向量，也就是不可以对角化，当然,BC不相似故选择（B）． 7．设,AB是两个随机事件，若0()1PA，0()1PB，则(/)(/)PABPAB的充分必要条件是 （A）(/)(/)PBAPBA （B）(/)(/)PBAPBA （C）(/)(/)PBAPBA （D）(/)(/)PBAPBA 【详解】由乘法公式：()()(/),()()((/)PABPBPABPABPBPAB可得下面结论： 3
()()()()(/)(/)()()()()1()()PABPABPAPABPABPABPABPAPBPBPBPB
类似，由()()(/),()()(/)PABPAPBAPABPAPBA可得 ()()()()(/)(/)()()()()1()()PABPABPBPABPBAPBAPABPAPBPAPAPA
所以可知选择（A）．
8．设12,,,(2)nXXXn为来自正态总体(,1)N的简单随机样本，若11niiXXn，则下列结论中不正确的是（ ） （A）21()niiX服从2分布 （B）212nXX服从2分布
（C）21()niiXX服从2分布 （D）2()nX服从2分布 解：（1）显然22()~(0,1)()~(1),1,2,iiXNXin且相互独立，所以21()niiX服从2()n
分布，也就是（A）结论是正确的；
（2）222221(1)()(1)~(1)niinSXXnSn，所以（C）结论也是正确的； （3）注意221~(,)()~(0,1)()~(1)XNnXNnXn，所以（D）结论也是正确的； （4）对于选项（B）：221111()~(0,2)~(0,1)()~(1)22nnnXXXXNNXX，所以（B）结论是错误的，应该选择（B） 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
9．已知函数21()1fxx，则(3)(0)f ．
解：由函数的马克劳林级数公式：()0(0)()!nnnffxxn，知()(0)!nnfna，其中na为展开式中nx的系数． 由于24221()1(1),1,11nnfxxxxxx，所以(3)(0)0f．
10．微分方程230yyy的通解为 ． 【详解】这是一个二阶常系数线性齐次微分方程，特征方程2230rr有一对共共轭的根 4
12ri，所以通解为
12(cos2sin2)xyeCxCx
11．若曲线积分221Lxdxaydyxy在区域22(,)|1Dxyxy内与路径无关，则a .
【详解】设 2222(,),(,)11xayPxyQxyxyxy，显然 (,),(,)PxyQxy在区域内具有连续的偏导数，由于与路径无关，所以有1QPaxy 12．幂级数111(1)nnnnx在区间(1,1)内的和函数为 【详解】111121111(1)(1)()(1)1(1)nnnnnnnnnxnxxxxx 所以21(),(1,1)(1)sxxx
13．设矩阵101112011A，123,,为线性无关的三维列向量，则向量组123,,AAA的秩为 ． 【详解】对矩阵进行初等变换101101101112011011011011000A，知矩阵A的秩为2，由于
123,,为线性无关，所以向量组123,,AAA的秩为2．
14．设随机变量X的分布函数4()0.5()0.52xFxx，其中()x为标准正态分布函数，则EX ．
【详解】随机变量X的概率密度为4()()0.5()0.25()2xfxFxx，所以 4()()0.5()0.25()240.25()0.252(24)()22()2xEXxfxdxxxdxxdxxxdxttdttdt
三、解答题 15．（本题满分10分） 5
设函数(,)fuv具有二阶连续偏导数，(,cos)xyfex，求0|xdydx，202|xdydx． 【详解】12(,cos)(,cos)(sin)xxxdyfexefexxdx，01|(1,1)xdyfdx； 21111222
22122(,cos)((,cos)sin(,cos))cos(,cos)sin(,cos)sin(,cos)xxxxxxxxxx
dyefexefexexfexxfexdxxefexxfex
2011122|(1,1)(1,1)(1,1)xdyfffdx
．
16．（本题满分10分） 求21limln1nnkkknn 【详解】由定积分的定义 120
111201limln1limln1ln(1)11ln(1)24nnnnkkkkkkxxdxnnnnnxdx
17．（本题满分10分） 已知函数()yx是由方程333320xyxy． 【详解】在方程两边同时对x求导，得 2233330xyyy
（1）
在（1）两边同时对x求导，得 2222()0xyyyyy
也就是222(())1xyyyy
令0y，得1x．当11x时，11y；当21x时，20y 当11x时，0y，10y，函数()yyx取极大值11y； 当21x时，0y，10y函数()yyx取极小值20y． 18．（本题满分10分） 设函数()fx在区间0,1上具有二阶导数，且(1)0f，0()lim0xfxx，证明：