精品文档 精品文档 第十二讲 基本初等函数 一：教学目标 1、掌握基本初等函数（指数函数、对数函数、幂函数）的基本性质； 2、理解基本初等函数的性质； 3、掌握基本初等函数的应用，特别是指数函数与对数函数 二：教学重难点 教学重点：基本初等函数基本性质的理解及应用； 教学难点：基本初等函数基本性质的应用

三：知识呈现 1.指数与指数函数

1).指数运算法则：（1）rsrsaaa； （2）srrsaa； （3）rrrabab；

（4）mnmnaa； （5）1mnnmaa （6）,||,nnanaan奇偶 2). 指数函数：形如(01)xyaaa且

2.对数函数 1）对数的运算：

1、互化：NbNaablog

2、恒等：NaNalog 3、换底： abbccalogloglog

指数函数 01 图 象 表达式 xya

定义域 R

值 域 (0,)

过定点 (0,1)

单调性 单调递减 单调递增 精品文档

精品文档 推论1 abbalog1log 推论2 logloglogababcc• 推论3 loglogmnaanbbm)0(m 4、NMMNaaalogloglog

logloglogaaaMMNN 5、MnManaloglog 2）对数函数：

3.幂函数 一般地，形如 ayx（aR）的函数叫做幂函数，其中a 是常数 1)性质： (1) 所有的幂函数在(0,+∞)都有定义，并且图象都通过点(1, 1);

对数函数 01

图 象 表达式 logayx

定义域 (0,)

值 域 R

过定点 (1，0) 单调性 单调递减 单调递增 精品文档

精品文档 (2) 如果α＞０，则幂函数图象通过（0，0），并且在区间[0,+∞)上是增函数； (3) 如果α＜０，则幂函数在区间(0,+∞)上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限逼近x轴。

四：典型例题 考点一：指数函数

例1 已知2321(25)(25)xxaaaa，则x的取值范围是___________． 分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围． 解：∵2225(1)441aaa≥，

∴函数2(25)xyaa在()，∞∞上是增函数， ∴31xx，解得14x．∴x的取值范围是14，∞． 评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论．

例2 函数221(01)xxyaaaa且在区间[11]，上有最大值14，则a的值是_______． 分析：令xta可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后t的取值范围． 解：令xta，则0t，函数221xxyaa可化为2(1)2yt，其对称轴为1t．

∴当1a时，∵11x，， ∴1xaaa≤≤，即1taa≤≤． ∴当ta时，2max(1)214ya． 解得3a或5a（舍去）； 当01a时，∵11x，，

∴1xaaa≤≤，即1ata≤≤，

∴ 1ta时，2max11214ya， 解得13a或15a（舍去），∴a的值是3或13． 评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，整体代入等．

例3 求函数216xy的定义域和值域． 解：由题意可得2160x≥，即261x≤， ∴20x≤，故2x≤． ∴函数()fx的定义域是2，∞． 精品文档 精品文档 令26xt，则1yt， 又∵2x≤，∴20x≤． ∴2061x≤，即01t≤． ∴011t≤，即01y≤．

∴函数的值域是01，． 评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响．

例4 求函数y＝23231xx的单调区间. 分析 这是复合函数求单调区间的问题 可设y＝u31,u＝x2-3x+2，其中y＝u31为减函数 ∴u＝x2-3x+2的减区间就是原函数的增区间(即减减→增) u＝x2-3x+2的增区间就是原函数的减区间(即减、增→减)

解：设y＝u31,u＝x2-3x+2,y关于u递减， 当x∈(-∞，23)时，u为减函数， ∴y关于x为增函数；当x∈［23，+∞)时，u为增函数，y关于x为减函数.

考点二：对数函数 例5 求下列函数的定义域 （1）y=log2（x2-4x-5）; （2）y=logx+1（16-4x）

（3）y= ． 解：（1）令x2-4x-5＞0，得（x-5）（x+1）＞0， 故定义域为 ｛x｜x＜-1，或x＞5｝．

（2）令 得 故所求定义域为｛x｜-1＜x＜0，或0＜x＜2｝． 精品文档 精品文档 （3）令 ，得 故所求定义域为

｛x｜x＜-1- ，或-1- ＜x＜-3,或x≥2｝． 说明 求与对数函数有关的定义域问题，首先要考虑，真数大于零．底数大于零不等于1，若处在分母的位置，还要考虑不能使分母为零． 例6 比较大小： （1）log0．71．3和log0．71．8． （2）（lgn）1．7和（lgn）2（n＞1）． （3）log23和log53． （4）log35和log64． 解：（1）对数函数y=log0．7x在（0，+∞）内是减函数．因为1．3＜1．8，所以 log0．71．3＞log0．71．8． （2）把lgn看作指数函数的底，本题归为比较两个指数函数的函数值的大小，故需对底数lgn讨论． 若1＞lgn＞0，即1＜n＜10时，y=（lgn） x在R上是减函数，所以（lgn）1．2＞（lgn）2； 若lgn＞1，即n＞10时，y=（lgn）2在R上是增函数，所以（lgn）1．7＞（lgn）2． （3）函数y=log2x和y=log5x当x＞1时，y=log2x的图像在y=log5x图像上方．这里x=3，所以log23＞log53． （4）log35和log64的底数和真数都不相同，须找出中间量“搭桥”，再利用对数函数的单调性即可求解． 因为log35＞log33=1=log66＞log64，所以log35＞log64． 评析 要注意正确利用对数函数的性质，尤其是第（3）小题，可直接利用例2中的说明得到结论． 例7 已知f（x）=2+log3x，x∈［1，9］，求y=［f（x）］2+f（x2）的最大值，及y取最大值时，x的值． 分析 要求函数y=［f（x）］2+f（x2）的最大值，要做两件事，一是要求其表达式；二是要求出它的定义域，然后求值域． 解：∵f（x）=2+log3x， ∴y=［f（x）］2+f（x2）=（2+log3x）2+2+log3x2 精品文档 精品文档 =（2+log3x）2+2+2log3x =log23x+6log3x+6 =（log3x+3）2-3． ∵函数f（x）的定义域为［1，9］，

∴要使函数y=［f（x）］2+f（x2）有定义，就须91912xx ， ∴1≤x≤3． ∴0≤log3x≤1 ∴6≤y=（log3x+3）2-3≤13 ∴当x=3时，函数y=［f（x）］2+f（x2）取最大值13． 说明 本例正确求解的关键是：函数y=［f（x）］2+f（x2）定义域的正确确定．如果我们误认为［1，9］是它的定义域．则将求得错误的最大值22． 其实我们还能求出函数y=［f（x）］2+f（x2）的值域为［6，13］．

例8 求函数y=log0．5（-x2+2x+8）的单调区间． 分析 由于对函数的底是一个小于1的正数，故原函数与函数u=-x2+2x+8（-2＜x＜4）的单调性相反．

解．∵-x2+2x+8＞0， ∴ -2＜x＜4，

∴ 原函数的定义域为（-2，4）． 又∵ 函数u=-x2+2x+8=-（x-1）2+9在（-2，1］上为增函数，在［1，4）上为减函数， ∴函数y=log0．5（-x2+2x+8）在（-2，1］上为减函数，在［1，4）上为增函数．

评析 判断函数的单调性必须先求出函数的定义域，单调区间应是定义域的子集．

考点三：幂函数 精品文档

精品文档 例9．比较大小：

（1）11221.5,1.7 （2）33(1.2),(1.25)（3）1125.25,5.26,5.26（4）30.530.5,3,log0.5 解：（1）∵12yx在[0,)上是增函数，1.51.7，∴11221.51.7 （2）∵3yx在R上是增函数，1.21.25，∴33(1.2)(1.25) （3）∵1yx在(0,)上是减函数，5.255.26，∴115.255.26； ∵5.26xy是增函数，12，∴125.265.26； 综上，1125.255.265.26 （4）∵300.51，0.531，3log0.50， ∴30.53log0.50.53 例10．已知幂函数223mmyx（mZ）的图象与x轴、y轴都无交点，且关于原点对称，求m的值． 解：∵幂函数223mmyx（mZ）的图象与x轴、y轴都无交点，

∴2230mm，∴13m； ∵mZ，∴2(23)mmZ，又函数图象关于原点对称， ∴223mm是奇数，∴0m或2m． 例11、求函数y＝52x＋2x51＋4（x≥－32）值域． 解析：设t＝x51，∵x≥－32，∴t≥－2，则y＝t2＋2t＋4＝（t＋1）2＋3． 当t＝－1时，ymin＝3．

∴函数y＝52x＋2x51＋4（x≥－32）的值域为［3，＋）． 点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法． 五：课后练习

1、若a＞1在同一坐标系中，函数y=ax和y=logxa的图像可能是（ ）