2．1.2演绎推理学习目标 1.理解演绎推理的意义.2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系．知识点一演绎推理思考分析下面几个推理，找出它们的共同点．(1)所有的金属都能导电，铀是金属，所以铀能够导电；(2)一切奇数都不能被2整除，(2100＋1)是奇数，所以(2100＋1)不能被2整除．梳理演绎推理的定义、特点知识点二三段论思考所有的金属都能导电，铜是金属，所以铜能导电，这个推理可以分为几段？每一段分别是什么？梳理三段论的一般模式类型一演绎推理与三段论例1将下列演绎推理写成三段论的形式．(1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；(2)等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的两底角，则∠A＝∠B；(3)通项公式为a n＝2n＋3的数列{a n}为等差数列．反思与感悟用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系．有时可省略小前提，有时甚至也可把大前提与小前提都省略，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．跟踪训练1(1)推理：“①矩形是平行四边形；②正方形是矩形；③所以正方形是平行四边形”中的小前提是________．(2)函数y＝2x＋5的图象是一条直线，用三段论表示为大前提：______________________________________________________________.小前提：___________________________________________________________.结论：______________________________________________________________.类型二三段论的应用命题角度1用三段论证明几何问题例2如图，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：ED＝AF，写出三段论形式的演绎推理．反思与感悟(1)用“三段论”证明命题的格式××××××(大前提)××××××(小前提)××××××(结论(2)用“三段论”证明命题的步骤①理清证明命题的一般思路；②找出每一个结论得出的原因；③把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来．跟踪训练2已知：在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点，如图所示，求证：EF∥平面BCD.命题角度2 用三段论证明代数问题例3 设函数f (x )＝e xx 2＋ax ＋a，其中a 为实数，若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围．引申探究若例3的条件不变，求f (x )的单调递增区间．跟踪训练3 已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)，证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．1．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°B ．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人C ．由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝⎛⎭⎫a n －1＋1a n －1(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式 2．“因为对数函数y ＝log a x 是增函数(大前提)，又y ＝log 13x 是对数函数(小前提)，所以y＝log 13x 是增函数(结论)．”下列说法正确的是( )A ．大前提错误导致结论错误B ．小前提错误导致结论错误C ．推理形式错误导致结论错误D ．大前提和小前提都错误导致结论错误3．三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③这艘船是准时起航的”，其中的“小前提”是( )A ．①B ．②C ．①②D ．③4．把“函数y ＝x 2＋x ＋1的图象是一条抛物线”改成三段论，则大前提：____________________；小前提：________________________；结论：__________________________.5．设m 为实数，利用三段论证明方程x 2－2mx ＋m －1＝0有两个相异实根．1．应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可以省略．2．合情推理是由部分到整体，由个别到一般的推理或是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理．3．合情推理与演绎推理是相辅相成的，数学结论、证明思路等的发现主要靠合情推理；数学结论、猜想的正确性必须通过演绎推理来证明．答案精析问题导学知识点一思考问题中的推理都是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理叫演绎推理．梳理某个特殊情况下一般到特殊知识点二思考分为三段．大前提：所有的金属都能导电．小前提：铜是金属．结论：铜导电．梳理已知的一般原理所研究的特殊情况题型探究例1解(1)平行四边形的对角线互相平分，大前提菱形是平行四边形，小前提菱形的对角线互相平分．结论(2)等腰三角形的两底角相等，大前提∠A，∠B是等腰三角形的两底角，小前提∠A＝∠B.结论(3)在数列{a n}中，如果当n≥2时，a n－a n－1为常数，则{a n}为等差数列，大前提当通项公式为a n＝2n＋3时，若n≥2，则a n－a n－1＝2n＋3－＝2(常数)，小前提通项公式为a n＝2n＋3的数列{a n}为等差数列．结论跟踪训练1(1)②(2)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线函数y＝2x＋5是一次函数函数y＝2x＋5的图象是一条直线例2证明因为同位角相等，两直线平行，大前提∠BFD 与∠A 是同位角，且∠BFD ＝∠A ，小前提所以FD ∥AE .结论因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，大前提DE ∥BA ，且FD ∥AE ，小前提所以四边形AFDE 为平行四边形．结论因为平行四边形的对边相等，大前提ED 和AF 为平行四边形AFDE 的对边，小前提所以ED ＝AF .结论跟踪训练2 证明 因为三角形的中位线平行于底边，大前提点E 、F 分别是AB 、AD 的中点，小前提所以EF ∥BD .结论若平面外一条直线平行于平面内一条直线，则直线与此平面平行，大前提EF ⊄平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，EF ∥BD ，小前提所以EF ∥平面BCD .结论例3 解 若函数对任意实数恒有意义，则函数定义域为R ，大前提 因为f (x )的定义域为R ，小前提所以x 2＋ax ＋a ≠0恒成立．结论所以Δ＝a 2－4a <0，所以0<a <4.即当0<a <4时，f (x )的定义域为R .引申探究解 ∵f ′(x )＝x (x ＋a －2)e x(x 2＋ax ＋a )2， 由f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2－a .∵0<a <4，∴当0<a <2时，2－a >0.∴在(－∞，0)和(2－a ，＋∞)上，f ′(x )>0.∴f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(2－a ，＋∞)．当a ＝2时，f ′(x )≥0恒成立，∴f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)．当2<a <4时，2－a <0，∴在(－∞，2－a )和(0，＋∞)上，f ′(x )>0，∴f (x )的单调递增区间为(－∞，2－a )，(0，＋∞)．综上所述，当0<a <2时，f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(2－a ，＋∞)； 当a ＝2时，f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)；当2<a <4时，f (x )的单调递增区间为(－∞，2－a )，(0，＋∞)．跟踪训练3 证明 方法一 (定义法)任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，且x 1<x 2，f (x 2)－f (x 1)＝ax 2＋x 2－2x 2＋1－ax 1－x 1－2x 1＋1＝ax 2－ax 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝ax 1(ax 2－x 1－1)＋(x 1＋1)(x 2－2)－(x 1－2)(x 2＋1)(x 2＋1)(x 1＋1)＝ax 1(ax 2－x 1－1)＋3(x 2－x 1)(x 2＋1)(x 1＋1). 因为x 2－x 1>0，且a >1，所以ax 2－x 1>1，而－1<x 1<x 2，所以x 1＋1>0，x 2＋1>0，所以f (x 2)－f (x 1)>0，所以f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．方法二 (导数法)f (x )＝a x ＋x ＋1－3x ＋1＝a x ＋1－3x ＋1.所以f ′(x )＝a x ln a ＋3(x ＋1)2. 因为x >－1，所以(x ＋1)2>0，所以3(x ＋1)2>0. 又因为a >1，所以ln a >0，a x >0，所以a x ln a >0，所以f ′(x )>0.故f (x )＝a x＋x －2x ＋1在(－1，＋∞)上是增函数． 当堂训练1．A 2.A 3.D4．二次函数的图象是一条抛物线 函数y ＝x 2＋x ＋1是二次函数 函数y ＝x 2＋x ＋1的图象是一条抛物线5．证明 因为如果一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的判别式Δ＝b 2－4ac >0， 那么方程有两个相异实根．大前提方程x 2－2mx ＋m －1＝0的判别式Δ＝(－2m )2－4(m －1)＝4m 2－4m ＋4＝(2m －1)2＋3>0，小前提所以方程x 2－2mx ＋m －1＝0有两个相异实根．结论。