对数函数的公理化定义及性质
李凤娟
定义:设():(0,),x R ϕ+∞→满足
（1） ()x ϕ是定义在(0,)+∞上的连续函数
（2） ,(0,)x y ∀∈∞有()xy ϕ=()x ϕ()y ϕ+
（3） 对于0a >且1a ≠,有()1a ϕ=
则称()x ϕ是以a 为底的x 的对数,记作()log a x x ϕ=
对数函数性质的公理化证明
性质1. 设()f x 是定义在R +上的连续函数,若()()()f x y f x f y ⋅=+求证:(1)0f = 证明: 只需令1(1)2(1)(1)0x y f f f ===∴=即得
即 :0,1,log 10a a a ∀>≠=
性质2. 设()f x 是定义在R +上的连续函数,若()()()f x y f x f y ⋅=+求证
()()()
x
f f x f y y =- 证明: ()()()()()()()x x x f f x f y f f y f x f x y y y
=-⇔+=⋅=显然成立 即 : 0,1,,,log log log a a a x
a a x y R x y y +∀>≠∈=-
性质3. 设()f x 是定义在R +上的连续函数,*n N ∈,若()()()f x y f x f y ⋅=+,求
证:()()n f x nf x =
证明: 令n y x =则可得()()()n n f x x f x f x ⋅=+
1()()()n n
f x f x f x +∴=+
2321()()[()()][()()]...[()()]()n n n f x f x f x f x f x f x f x f x
nf x -∴=+-+-++-=
*n N ∈以1n x 代替上式中的1
,()(),n x f x nf x = 即1
1
()(),n f x f x n =
进一步的,*m N ∀∈ 有()(),m
n m f x f x n =
又1()()(1)0f x f x f -+==
1()()f x f x -∴=-
*,m n N ∴∀∈,有()()(),m
m n n m f x f x f x n -=-=-
,()()r
r f x rf x ∴=对于任意有理数有 更进一步对于任意无理数z ,存在有理数列n r ,使得lim ,lim n r z n n n r z x x →∞→∞==且 ()lim ()()lim ()n r
z n n n f x f x f x r zf x →∞→∞∴=== (0,), ()()y x y R
f x yf x ∴∀∈+∞∀∈=
即:log log (0,1)y a a x y x a a =>≠
性质4. 设()f x 是定义在R +上的连续函数,若()()()f x y f x f y ⋅=+,且对1x ∀>有
()0f x >,求证()f x 在R +上单调递增
证明:1212,,x x R x x +∀∈< 1221211()()()()(
)x f x f x f x f x f x --=+= 又2
11,x x >
2211()()()0x f x f x f x ∴-=>
所以()f x 在R +上严格单调增
即()log (1)a x x a ϕ=>在R +为单调增函数
同理可证()log (01)a x x a ϕ=<<在R +为单调减函数.
关于指数函数也可以用类似的方法定义
设():,x R R ϕ+→满足
（1） ()x ϕ是定义在R 上的非零连续函数
（2） ,x y R ∀∈有()x y ϕ+=()x ϕ()y ϕ⋅
则称()x ϕ是指数函数
性质1. 设()f x 是定义在R 上的非零连续函数,若()()()f x y f x f y +=则(0)1f = 性质2. 设()f x 是定义在R 上的非零的连续函数,若()()()f x y f x f y +=,则
()
()()f x f x y f y -=
性质3. 设()f x 是定义在R 上的非零连续函数,若()()()f x y f x f y +=则
r R ∀∈,()()r
f rx f x = 性质4. 设()f x 是定义在R 上的非零连续函数,若()()()f x y f x f y +=且对0x ∀>有
()1f x >,求证()f x 在R 上单调递增
参考文献:
<<高观点下的中学数学分析学>>-----------高夯 高等教育出版社。