对数函数及其性质 A一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：1.理解对数函数的概念，体会对数函数是一类很重要的函数模型；2.探索对数函数的单调性与特殊点，掌握对数函数的性质，会进行同底对数和不同底对数大小的比较；3．了解反函数的概念，知道指数函数xy a=与对数函数logay x=互为反函数()0,1a a>≠．学习策略：在理解对数函数定义的基础上，掌握对数函数的图象和性质，在学习过程中，要处处与指数函数相对照．二、学习与应用指数函数图象及性质：y=a x0<a<1时图象a>1时图象图象性质（1）定义域，值域(，)“凡事预则立，不预则废”．科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对知识回顾——复习学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？（2）a0= ，即x=0时，y= ，图象都经过(，)点（3）a x=a，即x=1时，y等于底数（4）在定义域上是单调函数（4）在定义域上是单调函数（5）x<0时，a x>x>0时， <a x<（5）x<0时， <a x<x>0时，a x>（6）既不是奇函数，也不是偶函数要点一：对数函数的概念1．函数叫做对数函数.其中x是自变量，函数的定义域是()0,+∞．2．判断一个函数是对数函数是形如log(0,1)ay x a a=>≠且的形式，即必须满足以下条件：（1）系数为；（2）底数为的常数；（3）对数的真数仅有．要点诠释：（1）只有形如y=log a x(a>0，a≠1)的函数才叫做对数函数，像log(1),2log,log3a a ay x y x y x=+==+等函数，它们是由对数函数变化得到的，都不是对数函数．（2）求对数函数的定义域时应注意：①对数函数的真数要求，底数大于零且不等于1；②对含有字母的式子要注意．a＞1 0＜a＜1图象性质定义域：值域：过定点，即x=1时，y=0在（0，+∞）上增函数在（0，+∞）上是减函数当0＜x＜1时，＜0，当x≥1时，≥0当0＜x＜1时，＞0，当x≥1时，≤0要点诠释：关于对数式log a N的符号问题，既受a的制约又受N的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错.下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考.以1为分界点，当a，N同侧时，log a N>0；当a，N异侧时，log a N<0.要点梳理——预习和课堂学习认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习．课堂笔记或者其它补充填在右栏．预习和课堂学习更多知识点解析请学习网校资源ID：#12255#392183要点三：底数对对数函数图象的影响1．底数制约着图象的升降．如图要点诠释：由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略．2．底数变化与图象变化的规律在同一坐标系内，当a>1时，随a 的增大，对数函数的图像愈 轴；当0<a<1时，对数函数的图象随a 的增大而 轴.(见下图)要点四：反函数1．反函数的定义设,A B 分别为函数()y f x =的定义域和值域，如果由函数()y f x =所解得的()x y ϕ=也是一个函数（即对任意的一个y B ∈，都有唯一的x A ∈与之对应），那么就称函数()x y ϕ=是函数()y f x =的 ，记作 ，在1()x f y -=中，y 是自变量，x 是y 的函数，习惯上改写成 （,x B y A ∈∈）的形式．函数1()x f y -=（,y B x A ∈∈）与函数1()y f x -=（,x B y A ∈∈）为 ，因为自变量的取值范围即定义域都是B ，对应法则都为 ．由定义可以看出，函数()y f x =的定义域A 正好是它的反函数1()y f x -=的 ；函数()y f x =的值域B 正好是它的反函数1()y f x -=的 ．要点诠释：并不是每个函数都有反函数，有些函数没有反函数，如2y x =．一般说来，单调函数有反函数．2．反函数的性质（1）互为反函数的两个函数的图象关于 对称．（2）若函数()y f x =图象上有一点(),a b ，则 必在其反函数图象上，反之，若(),b a 在反函数图象上，则 必在原函数图象上．类型一：对数函数的概念例1.下列函数中，哪些是对数函数？（1）log (0,1)a y x a a =>≠；（2）2log 2;y x =+（3）28log (1)y x =+；（4）log 6(0,1)x y x x =>≠；（5）6log y x =．【答案】【解析】（1）（2）（3）（4）（5）【总结升华】类型二：对数函数的定义域求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似，但要注意对数函数本身的性质（如定义域、值域及单调性）在解题中的重要作用.例2. 求下列函数的定义域：(1)2log a y x =； (2)log (4-)(01)a y x a a =>≠且.【答案】（1） ；（2） ．【解析】由对数函数的定义知：20x >，40x ->，解出不等式就可求出定义域.(1)(2)【总结升华】典型例题——自主学习认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三．课堂笔记或者其它补充填在右栏．更多精彩内容请学习网校资源ID ：#12260#392183举一反三：【变式1】求下列函数的定义域.(1) y=33121log (1)1x x --- (2)()24lg 23x y x x -=+-.【答案】（1） ；（2）【解析】(1)（2）类型三：对数函数的单调性及其应用利用函数的单调性可以：①比较大小；②解不等式；③判断单调性；④求单调区间；⑤求值域和最值.要求同学们：一是牢固掌握对数函数的单调性；二是理解和掌握复合函数的单调性规律；三是树立定义域优先的观念.例3. 比较下列各组数中的两个值大小：(1)33log 3.6,log 8.9；(2)0.20.2log 1.9,log 3.5；(3)2log 5与7log 5；(4) 3log 5与6log 4．(5)log 4.2,log 4.8a a （01a a >≠且）．【思路点拨】利用函数的单调性比较函数值大小。

【答案】(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ．【解析】由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成.(1)解法1：解法2：(2)(3)(4)(5)解法1：解法2：【总结升华】例4．利用对数函数的性质比较0.23、3log 2、5log 4的大小．【答案】【解析】【总结升华】举一反三：【变式1】已知324log 0.3log 3.4log 3.615,5,,5a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c a b >>【答案】【解析】例5．求函数212log (21)y x x =-++的值域和单调区间.【思路点拨】先解不等式2210x x -++>，保证原式有意义，然后再在定义域范围内求内函数221t x x =-++的单调区间，然后根据复合函数的单调性就是内函数与外函数的单调性“同增异减”来求解．【答案】【解析】【总结升华】举一反三：【变式1】求函数()22log 4y x =+的值域和单调区间．【答案】【解析】类型四：函数的奇偶性例6. 判断下列函数的奇偶性.(1)2-()ln ;2xf x x =+ (2)2()lg(1-)f x x x =+.【思路点拨】判断函数奇偶性的步骤是：（1）先求函数的定义域，如果定义域关于原点对称，则进行（2），如果定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数。

（2）求()f x -，如果()()f x f x -=，则函数是偶函数，如果()()f x f x -=-，则函数是奇函数。

【答案】（1） ；（2） ．【解析】首先要注意定义域的考查，然后严格按照证明奇偶性基本步骤进行.(1)【总结升华】(2)【解析】【总结升华】类型五：利用函数图象解不等式例7．若不等式2log 0x a x -<，当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时恒成立，求实数a 的取值范围．【思路点拨】画出函数2x y =的图象与函数log a y x =的图象，然后借助图象去求借。

【答案】【解析】【总结升华】举一反三：【变式1】 当x ∈（1，2）时，不等式2(1)log a x x -<恒成立，求a 的取值范围．【答案】【解析】类型六：对数函数性质的综合应用例8．（1）已知函数2lg(2)y x x a =++的定义域为R ，求实数a 的取值范围；（2）已知函数2lg(2)y x x a =++的值域为R ，求实数a 的取值范围；（3）22()log (log )a a f x x x =-+的定义域为1(0,)2，求实数a 的取值范围．【思路点拨】与求函数定义域、值域的常规问题相比，本题属非常规问题，关键在于转化成常规问题.()f x 的定义域为R ，即关于x 的不等式220x x a ++>的解集为R ，这是不等式中的常规问题.()f x 的值域为R 与22x x a ++恒为正值是不等价的，因为这里要求()f x 取遍一切实数，即要求22u x x a =++取遍一切正数，考察此函数的图象的各种情况，如图，我们会发现，使u 能取遍一切正数的条件是0∆≥.【答案】（1） ；（2） ；（3） ．【解析】（1）（2）（3）【总结升华】举一反三：【变式1】 已知函数2()lg(21)f x ax x =++.（1）若函数()f x的定义域为R，求实数a的取值范围；(2)若函数()f x的值域为R，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）．【解析】(1)(2)三、测评与总结要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力．知识点：对数函数及其性质测评系统分数：模拟考试系统分数：如果你的分数在85分以下，请进入网校资源ID：#12283#392183 进行巩固练习，如果你的分数在85分以上，请进入网校资源ID：#12332#392189 进行能力提升．成果测评现在来检测一下学习的成果吧！请到网校测评系统和模拟考试系统进行相关知识点的测试．自我反馈学完本节知识，你有哪些新收获？总结本节的有关习题，将其中的好题及错题分类整我的收获习题整理题目或题目出处所属类型或知识点分析及注意问题好题错题注：本表格为建议样式，请同学们单独建立错题本，或者使用四中网校错题本进行记录．○网○校○重○要○资○源知识导学：对数函数及其性质（基础）（#392183）若想知道北京四中的同学们在学什么，请去“四中同步”看看吧！和四中的学生同步学习，同步提高！更多资源，请使用网校的学习引领或搜索功能来查看使用．对本知识的学案导学的使用率：□ 好（基本按照学案导学的资源、例题进行复习、预习和进行课堂笔记等，使用率达到80%以上）□ 中（使用本学案导学提供的资源、例题和笔记，使用率在50%-80%左右）□ 弱（仅作一般参考，使用率在50%以下）学生：_______________ 家长：______________ 指导教师：_________________请联系北京四中网校当地分校以获得更多知识点学案导学．。