随机误差的特点： 有界性：多次测量中误差绝对值的波动有一定的界限； 对称性：测量次数足够多时，正负误差出现的机会几乎相同。 抵偿性：随机误差的算术平均值趋于零。 绝对值小的随机误差出现的概率大，绝对值大的出现的概率小。 19
例：对一不变的电压在相同情况下，多次测量 得到 1.235V，1.237V，1.234V，1.236V， 1.235V，1.237V。 单次测量的随差没有规律，但多次测量的总体 却服从统计规律。 可通过数理统计的方法来处理,即求算术平均值
一、系统误差

定义：在同一测量条件下，多次重复测量同一量时，测
量误差的绝对值和符号都保持不变，或在测量条件改变时 按一定规律变化的误差，称为系统误差。例如仪器的刻度 误差和零位误差，或值随温度变化的误差。 产生的主要原因是仪器的制造、安装或使用方法不正确， 环境因素（温度、湿度、电源等）影响，测量原理中使用 近似计算公式，测量人员不良的读数习惯等。 系统误差表明了一个测量结果偏离真值或实际值的程度。 系差越小，测量就越准确。 系统误差的定量定义是：在重复性条件下，对同一被测量 进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差。 即 xA 18
16
（4）影响误差：由于各种环境因素（温度、
湿度、振动、电源电压、电磁场等）与测量要 求的条件不一致而引起的误差。
（5）理论误差或方法误差：由于测量原理
不严谨、公式简化不当、测量方法不合理而造 成的误差。
P28 例1
17
§2.3 误差的分类
根据测量误差的性质，测量误差可分为随机误差、系统误差、 粗大误差三类。
26
随机误差的概率密度函数为：
p( )
2 e xp( ) 2 2 2
1 1 2 e xp[ ( x )2 2
2
测量数据X的概率密度函数为： p( x )
]
随机误差的数学期望和方差为：
E ( )



p( )d
2 e xp( )d 0 2 2 2
系差和随差之间在一定条件下可以相互转化
22


§2.4 随机误差分析
一、测量值的数学期望和标准差
1、数学期望 设对被测量进行n次等精密度测量，得到n个测量值： x1 , x2 , x3 , , xn , 也称为随机变量。 N个测量值的算术平均值为
1 n x xi n i 1
数学期望为当测量次数无穷大时样本平均值的极限
1 n E x lim xi n n i 1
23
2、剩余误差（残差） 当进行有限次测量时，各次测量值与算术 平均值之差称为剩余误差或残差。
i xi x
当n足够大时，残差的代数和等于零；
n 时，x Ex
此时，残差等于随机误差。
24
3、方差和标准偏差 方差是用来描述随机变量与其数学期望的分散程度。 方差定义为当测量次数n无穷大时，测量值与期 望值之差的平方的统计平均值：

相对误差：绝对误差与被测量的真值之比

x 100% A0 相对误差是两个有相同量纲的量的比值，只有大小 和符号，没有单位。
9
x A 100% A 实际相对误差： 用实际值A代替真值A0
x x 100% x 示值相对误差： 用测量值X
代替实际值A
10
（2）满度相对误差（引用相对误差）
二、测量误差的正态分布 1、正态分布
为什么测量数据和随机 误差大多接近正态分布？
测量中的随机误差通常是多种相互独立的 因素造成的许多微小误差的总和。 中心极限定理：假设被研究的随机变量可 以表示为大量独立的随机变量的和，其中 每一个随机变量对于总和只起微小作用， 则可认为这个随机变量服从正态分布。
C x A x
测量仪器的修正值可以通过上一级标准的检定给 出，修正值可以是数值表格、曲线或函数表达式 等形式。 被测量的实际值
A x C
8
2.相对误差
一个量的准确程度，不仅与它的绝对误差的大小， 而且与这个量本身的大小有关。
例：测量足球场的长度和北京市到上海市的距离， 若绝对误差都为1米，测量的准确程度是否相同？ （1）相对误差、实际相对误差、示值相对误差
0



二、随机误差
定义: 在同一测量条件下（指在测量环境、测量人员、 测量技术和测量仪器都相同的条件下），多次重复测 量同一量值时（等精度测量），每次测量误差的绝对 值和符号都以不可预知的方式变化的误差，称为随机 误差或偶然误差，简称随差。 随机误差主要由对测量值影响微小但却互不相关 的大量因素共同造成。这些因素主要是噪声干扰、电 磁场微变、零件的摩擦和配合间隙、热起伏、空气扰 动、大地微震、测量人员感官的无规律变化等。
第二章 测量误差和测量结果处理
误差理论是专门从事研究有关测量误差的科 学理论，数据处理则是应用数学方法和计算工 具对测量数据进行科学的分析、研究和处理的 准则和手段。 随着科学技术的飞速发展，误差理论与数 据处理在理论上和实际应用上都得到极大的提 高和发展，已成为一门独立的学科。
1
主要内容：
§ 误差 § 测量误差的来源 § 误差的分类 § 随机误差分析 § 系统误差分析 § 系统误差的合成 § 测量数据的处理
含有粗差的测量值称为坏值或异常值，在数据 处理时，应剔除掉。
21
四、系差和随差的表达式 在剔除粗大误差后，只剩下系统误差和随机误 差
i x A xi x xi A xi

各次测得值的绝对误差等于系统误差和随机误差的代 数和。 在任何一次测量中，系统误差和随机误差一般都是同 时存在的。
用测量仪器在一个量程范围内出现的最大绝对误差 与该量程值（上限值－下限值）之比来表示的相对误 差，称为满度相对误差（或称引用相对误差）
m
xm 100% xm
x
| xm |
xm
仪表各量程内绝对误差 的最大值
xm m xm
| xm | xA
0
Am 11
A

我国电工仪表的准确度等级s就是按引用误差 进行分级的。共分为七级：0.1，0.2，0.5， 1.0，1.5，2.5及5.0。
§2.1 误差
（1）测量误差是不可避免的。 （2）寻找误差的来源，尽可能防止误差和减 小误差。 （3）测量结果进行正确的处理，使测量结果 接近被测量对象的实际情况。
3
一、误差
1、真值Ao： 一个物理量在一定条件下所呈现的客观大 小或真实数值称作它的真值。 要得到真值必须利用理想的量具或测量仪器进行 无误差的测量。因此，物理量的真值在实际上是无法测 得的。 2、指定值As： 由于绝对真值是不可知的，所以一般由 国家设立各种尽可能维持不变的实物标准，以法令的形 式指定其所体现的量值作为计量单位的指定值。 国际间通过互相比对保持一定程度的一致。指定 值也叫约定真值，一般就用来代替真值。
7、单次测量和多次测量： 单次测量是用测量仪器对待
测量进行一次测量的过程；多次测量是用测量仪器对同一被测 量进行多次重复测试的过程。 在测量精度要求不高的情况下，可只进行单次测量。 依靠多次测量可以观察测量结果一致性的好坏即精密性。
8、等精度测量和非等精度测量： 在保持测量条件不
变的情况下对同一被测量进行的多次测量过程称作等精度测量； 如果在同一被测量的多次重复测量中，不是所有测量条件都维 持不变，或更换了测量器具或环境变化等，这样的测量称为非 等精度测量或不等精度测量。
15
§2.2 测量误差的来源
（1）仪器误差：由于测量仪器及其附件的设计、
制造、检定等不完善，以及仪器使用过程中老化、 磨损、疲劳等因素而使仪器带有的误差。
（2）使用误差：又称为操作误差，是由于对测
量设备操作使用不当而造成的误差。
（3）人身误差：由于测量人员感官的分辨
能力、反应速度、视觉疲劳、固有习惯、缺乏 责任心等原因，而在测量中使用操作不当、现 象判断出错或数据读取疏失等而引起的误差。
如果仪表为S级，则说明该仪表的最大引用误 差不超过S% 。测量点的最大相对误差

xm x S% x
在使用正向刻度的仪表测量时，应选择适当的量
程，使示值尽可能接近于满度值，指针最好能偏转 在不小于满度值2/3以上的区域。
对欧姆表这样非线性反向刻度的仪表时，示值与
中值接近时，测量的准确度最高。 12 分析P22例1,2,3
（3）分贝误差——相对误差的对数表示
分贝误差是用对数形式（分贝数）表示的一种误差， 单位为分贝（dB）。 V 电压增益的测得值为 Ax o 误差为 A Ax A
Vi
用对数表示为增益测得值的分贝值
Gx 20lg Ax (dB)
分贝误差
A dB 20lg(1 ) A 若测量的是功率增益，分贝误差定义为 10lg（…）
2、固有误差
固有误差是当仪器的各种影响量和影响特性处 在基准条件下时，仪器所具有的误差。
14
3、影响误差
影响误差是当一个影响量在其额定使用范 围内取任一值，而其它影响量和影响特性均处 于基准条件时所测得的误差。
4、稳定误差
稳定误差是仪器的标称值在其他影响量和 影响特性保持恒定的情况下，于规定时间内产 生的误差极限。 分析 P26例5
测量时用分贝作单位，则分贝误差为 x-A 即可。
分析P24例4
13
三、容许误差
容许误差是指测量仪器在规定使用条件下可 能产生的最大误差范围。 容许误差有时就称为仪器误差。它是衡量电子 测量仪器质量的最重要的指标。
1、工作误差
工作误差是在额定工作条件下仪器误差的极限 值，即来自仪器外部的各种影响量和仪器内部的 影响特性为任意可能的组合时，仪器误差的最大 极限值。
具的示值，也称为测量器具的测得值或测量值，它包 括数值和单位。 示值和测量仪表的读数有区别，读数为仪器刻度 盘上直接读到的数字。