河北科技大学
高等数学（下）考试试题3
一、 填空题(每题4分,共16分)
1.(4分) 级数1nnu收敛的必要条件是 .

2. (4分) 交换二次积分的次序100(,)ydyfxydx= .
3. (4分) 微分方程2442xyyyxe的一个特解形式可以设
为 .
4. (4分) 在极坐标系下的面积元素d .
二、 选择题(每题4分,共16分)

1. (4分) 已知曲面224zxy上点P处的切平面平行于平面
2210xyz
,则点P的坐标是 ( ).

A. (1,-1,2); B. (-1,1,2); C. (1,1,2); D. (-1,-1,2).
2. (4分) 级数13121(1)nnn为（ ）.

A.绝对收敛; B. 条件收敛; C.发散; D. 收敛性不确定.
3. (4分) 若是锥面222xyz被平面0z与1z所截下的部分,则曲面
积分22()xydS( ).

A. 1200drrdr; B. 21200drrdr;
C. 12002drrdr; D. 212002drrdr.

4. (4分) 幂级数113(1)nnnnxn的收敛半径为( ).

A. 2;R B.1;2R C.3;R D.1.3R
三、 解答题(每题7分,共63分)
1．(7分) 设sin(),xyzxye求dz.
2． (7分) 计算三重积分,Ixdxdydz其中为三个坐标面及平面

21xyz
所围成的闭区域.

3． (7分) 求(1)IyzdS,其中是平面5yz被圆柱面

22
25xy

截出的有限部分.

4． (7分) 求幂级数1(1)(1)nnnxn的收敛域.
5． (7分) 将21()2fxxx展开为麦克劳林级数.
6． (7分) 求曲线积分(sin)(cos1)xxLIeyydxeydy,其中L为
22
xyax

上从(,0)Aa到(0,0)O的上半圆周.

7． (7分) 求微分方程24yxyx在初始条件03xy下的特解.
8． (7分) 求曲面积分(1)(22)(33)Ixdydzydzdxzdxdy ,

其中为曲面2224xyz的内侧.
9．(7分) 计算曲线积分()LIxyds,其中L是以(0,0)O,
(1,0),(0,1)AB

为顶点的三角形折线.
四、(5分) 试确定参数t的值,使得在不含直线0y上点的区域上,曲线积分

222222()()tt
C
xxyxxyIdxdyyy



与路径无关，其中C是该区域上一条

光滑曲线，并求出当C从(1,1)A到(0,2)B时I的值.
评 分 标 准
一、 1.lim0;nnu 2.110(,);xdxfxydy
3.*222()xyxAxBxCe; 4..drdrd
二、 1. C; 2. A; 3.D. 4.D.
三、 1.解 cos()xyxzxyye3 分

cos()xyyzxyxe
3 分

[cos()][cos()xyxydzxyyedxxyxedy
7分

2.解 11122000xxyIdxdyxdz3 分
11200(12)xxdxxydy


5分

1
23

0

1
(2)4xxxdx

6分

1
48

7分

3.解 :5zy1分
22
:25Dxy

2分

22
(15)1xyDIyyzzdxdy

4分

62Ddxdy

6分

1502
7分

4. 解 1R2分
当2x时收敛4分
当0x时发散6分

收敛域为(0,2]. 7分
5.解 21111231212xxxx2分

11
316(1)2xx


3分

0011(1)362nnnnnxx







5分

10111(1)32nnnnx









6分

1x
7分

6.解sinxPeyy, cos1xQey1分
1QPxy

3分

由格林公式得DIdxdy6分
2
2
1228aa







7分

7.解3224xdxxyeCxedx分
222[2()]xxeCedx


4分

2
2xCe
5分

将03xy代入上式得 1C6分

所求特解为22xye7分
8.解 利用高斯公式得
6Idv

4分

4
643
6分

32
7分

9.解 ()()()OAOBBAIxydsxydsxyds

1
0

1

()2OAxydsxdx

2分

1
0

1

()2OBxydsydy

4分

1
0
()(1)22BAxydsxxdx

6分

12I
7分

四、 解 2212222()(2)tPxxytyxyyy1分
22122222()()tQxxyxytxxy





2分

令PQyx可得22(21)()0txy
因为0,y所以12t3分
因曲线积分与路径无关,故取从点(1,1)A经点(0,1)D到点(0,2)B的折线积分
0
1
2

01xIdxx



4分

12
5分