I z I zi
i
，I y I yi，
i
2 I y dA , 元面积对z轴的惯性矩就等于将各元 因 z
面积对z轴的惯性矩求和，因质量连续分布，求和则为积 分。
应用于圆环的情形,可看成两个圆形截面，
I I 1 I 2 I z I y 2I z 2I y，
定义：I A 2 dA
I zy A zydA ——平面图形对z,y轴的惯性积;
极惯性矩.
• 二、性质
1、 I z、I y 恒为正， I zy 可正、可负、也可以为零，其正 负值与坐标轴的位置有关。 2、单位：（长度）4；
例4-4 ： 计算直径为d的圆截面对形心轴z,y的惯性矩 和惯性积。 解：用平面极坐标 (r , ).
y
dy
R
o
y

sz A ydA y z dy
z
z
0 2 R sin cos d
3 2

dz
R3 3
y R

o
z
z
sz 4R 3 yc 2 A R 3 4
R3
z R cos y R sin dy R cosd
sz A zdA z y dz
270 50
S y zci Ai 0，（ z1 z2 0）；
i
y
s z yci Ai y1 A1 y2 A2 15 300 30
i
270 30 270 50 23.625 105 (mm) 2 , 2
• 4-2 惯性矩和惯性积
1 d 4 64
因坐标轴是对称轴，如对左右的 dA （如上图），
zydA z ydA 0
• 结论：截面如有一根对称轴，则截面对这根轴与另 一根与之垂直的轴的 I zy 0 .
对矩形截面，过形心轴的惯性矩：
y
h
o
b
z
1 3 I z bh 12
1 3 I y hb 12
• 若为组合图形，对z轴，y轴的惯性矩：
决如何用最少的材料，制造出能承担较大荷载的杆件的 问题的.
•
4—1 截面的静矩和形心
y
一、静矩的定义 设平面图形，取zoy坐标系， 取面积元dA，坐标为（z,y）， 整个截面对z、y轴的静矩为：
yc
y
dA
o
z
zc z
——整个截面对z轴的静矩； sz ydA
A
s y zdA ——整个截面对y轴的静矩；
dA
( z、y）
y

d
dA d d
y sin ; z cos .

（z、y） d
I z A y dA
2
z
1 4 4
d 2

2 o
d
o 2 2 sin 2 d d
4
d
2 o 2 3d o sin 2 d
一、惯性矩的定义
y y
dA

o

------面积对坐标轴的二次矩. 设一平面图形，取一元面积 dA，坐 标为(z,y)，距原点的距离为 ，方位 角为 ，定义：
z
z
I y A z 2 dA ;
I z A y 2 dA ;
而 I z I y A z 2 y 2 dA A 2 dA
0
4 2 1 d 1 cos 2 d d 0 2 42 64
由于对称：
Iz Iy
1 4 I I I 2 I 2 I d 极惯性矩： z y z y 32 对过形心的一对轴的惯性积
2 I zy zydA o 2 o cos sin dd 0 d
A
•
若将 dA 理解为垂直于纸面的力， ydA便是对z轴的力 矩， s z 则为对z轴的合力矩，故称为面积矩。 • 若形心坐标为 zc , yc ，静矩也可写成：
sz ydA A yc
A
s y zdA A zc
A
• 性质： • 1、同一截面对不同轴的静矩亦不同；静矩可以是正、 可以是负或零； • 2、单位：mm3 , cm3 ； • 3、当坐标轴原点过形心，zc yc 0, s z s y 0 ；
1 D 4 d 4 D 4 4 Iz Iy （ 1 ）， 2 2 32 32 64 d 式中的 . D I
其他如表4.1.
*惯性半径（回转半径）的概念： • 如以r表示某一截面对某轴的惯性半径，定义
• 对组合图形：
zci Ai z i c Ai i yci Ai yc i Ai i
S y zci Ai；
i
s z yci Ai
i
Ai 第i个分图形的面积； zci、yci 第i个分图形的形心坐标；
• 例1，求四分之一圆截面对z,y轴的形心位置 • 解：取如图示的坐标系, y • 先求 s x , s y
R cos R sin R sin d
R cos sin d
2 o 3 2

1 2 3 R sin 3 o
3

4R zc A 3
sy
• 三、组合截面的静矩
• 例1：如图由两个矩形截面组合成的T形截面，y轴为对 称轴， A1 300 30mm2 , A2 270 50mm2 ,对z，y轴的 静矩。 300 z 解：因为是组合图形,又关于轴对称， o 30 故有：
zc
Sy
A
, yc
Sz
A
反之，若 s x s y 0 ，坐标轴原点必过截面形心。
• 二、形心位置的计算
• 形心位置：
zc
Sy
A
, yc
Sz
A
对面积连续分布的（非组合图形）图形：
sy A zdA zc A A y s z