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高等数学一总复习资料


B 中的函数是相同的。因为
对一切实数 x 都成立,故应选 B。
C 中的两个函数是不同的。因为
的定义域为 x ≠-1 ,而 y=x 的定义域为( - ∞,
+∞)。
D 中的两个函数也是不同的,因为它们的定义域依次为( - ∞, 0)∪( 0,+∞)和( 0,+ ∞)。
例 4:设
解:在
令 t=cosx-1 ,得
由于
,故( B)中数列发散。
由于正弦函数是一个周期为
的周期函数,当
时,
于一个确定的值,因而( C)中数列也发散。
由于
,故( D)中数列收敛。
并不能无限趋近
例 2:设 A.0 B.1 C.3 D.1/3
,则 a=( )
解:假设 =0,则所给极限为 趋于有限值 3,所以极限为∞,不是 1/5 ,因而 ≠ 0。
又因为 -1 ≤cosx ≤1,所以有 -2 ≤cosx-1 ≤ 0,即 -2 ≤ t ≤ 0,从而有

例 5:
f(2) 没有定义。 注意,求分段函数的函数值,要把自变量代到相应区间的表达式中。
例 6:函数
是( )。
A.偶函数 B .有界函数 C.单调函数 D.周期函数
解:由于
,可知函数为一个奇函数而不是偶函数,即( A)
例 2:函数
的定义域为( ).
解:由于对数函数 lnx 的定义域为 x>0,同时由分母不能为零知 lnx ≠0,即 x≠1。由根式内
要非负可知
即要有 x>0、x≠1 与
同时成立,从而其定义域为

即应选 C。
例 3:下列各组函数中,表示相同函数的是( )
解: A 中的两个函数是不同的,因为两函数的对应关系不同,当 |x|>1 时,两函数取得不同的 值。
所以有
f(-x) = - f(x)
,即 f(x) 为奇函数,故应选 A 。
例 8 :函数
的反函数是( )。
A.
B.
C.
D.
解:
于是,
是所给函数的反函数,即应选 C。
例 9 :下列函数能复合成一个函数的是(
)。
A.
B.
C.
D.
解:在 (A)、(B)中,均有 u=g(x) ≤ 0,不在 f (u) 的定义域内,不能复合。在 (D)中, u=g(x)=3
A.
B.
C.
D.
解:由于
所以应选 A. 例 10. 要使函数 A.1/2 B.2 C.1 D.0
解:
在 x=0 处连续, f (0)应该补充定义的数值是 ( )
要使函数 f (x)在 x=0 处连续,必须有 因此要令 f(0)=1. 故应选 C。
例 11. 设
求 k,使 f (x) 连续。
解:由于函数 f (x)在( - ∞,0)和( 0,+∞)两区间内均由初等函数表示,而且在这两个
第一章 函数及其图形
例 1: A. {x | x>3} B. {x | x<-2} C. {x |-2< x
( ). ≤ 1} D. {x | x ≤1}
注意,单选题的解答,有其技巧和方法,可参考本课件“应试指南”中的文章《高等数学(一)单项选择题 的解题策略与技巧》 ,这里为说明解题相关的知识点,都采用直接法。
A.奇函数 B .偶函数 C .非奇非偶函数 D.奇偶性不确定
解:因为 f(x+y)=f(x)+f(y) ,故 f(0)= f(0+0)=f(0)+f(0)=2f(0)
,可知 f(0)=0 。在
f(x+y)=f(x)+f(y) 中令 y = -x ,得 0 = f(0) = f(x-x) = f[ x+(-x) ] = f(x)+f(-x)
也不满足 f(u) 的定义域
,也不能复合。 只有 (C)中
的定义
域内,可以复合成一个函数,故应选 C。
例 10 :函数
可以看成哪些简单函数复合而成:
解:
,三个简单函数复合而成
第二章 极限与连续
例 1:下列数列中,收敛的数列是( )
A.
B.
C.
D.
解:( A)中数列为 0,1,0,1,……其下标为奇数的项均为 0,而下标为偶数的项均为 1,即奇偶数项分别趋于不同的常数值,从而可知该数列没有极限,是发散的。
,其分子趋于∞,而分母
当 ≠0 时,所给极限为
,故应选 C。
一般地,如果有理函数
那么,当
时,
当 k=l 时, f (n) 的极限为
,其中

分别为 次项的系数之比;
当 k<l 时, f (n) 的极限为零; 当 k>l 时, f (n) 的极限为∞。
对于当 x→∞(或 +∞,-∞)时 x 的有理分式函数 果。
例 4. 求 解法 1 解法 2
解法 3 例 5.
A. 0 B. 1 C. 1/2 D. 1/4 解:由于 例 6.
, 故应选 D。

:
注意 本题属于“∞ - ∞”型,是个未定式,不能简单地认为它等于 0 或认为是∞,对于此类 问题一般需要将函数进行通分,然后设法进行化简,进而求出其极限值。
例 7. 当 x→0 时,
区间内均有定义,因此在这两个区间内是连续的。函数是否连续取决于它在
x=0 处是否连续。
要让 f (x)在 x=0 处连续,必须
由于
= 又由 可知
例 12. 证明方程
在区间( 1,2)内必有一根。
证:令
,由于 f (x)是初等函数,它在区间( - ∞, +∞)
上连续,另外 f (1)=-1<1 ,f (2)=13>0, f (x)在 [1 ,2] 上连续,故由零点
不正确。由函数在 x=0,1,2 点处的值分别为 0, 1,4/5 ,可知函数也不是单调函数;该函数 显然也不是一个周期函数,因此,只能考虑该函数为有界函数。
事实上,对任意的 x,由 任意的 x,有

,可得
,从而有
。可见,对于
因此,所给函数是有界的,即应选择 B。
例 7:若函数 f(x) 满足 f(x+y)=f(x)+f(y), 则 f(x) 是( )。
例 3.
A. 0 B. 1 C. 解 利用重要极限
π D. n
的极限,也有类似的结
,故应选 C。
注:第一重要极限
的本质是
子,里面可以填入任意以零为极限的表达式(三个
, 这里的 可以想象为一个空的筐 填入的内容要相同)。
类似地,第二重要极限 相同的任意趋于无穷大的表达式。
可以看作是
,其中 可以同时填入
的( )。
A. 同阶无穷小量 B. 高阶无穷小量 C. 低价无穷小量 D. 较低阶的无穷小量
解:由于
可知 例 8. 当
是 x 的同阶无穷小量,所以应选 A。 等价的无穷小量是 ( )
A.
B.
C.
D.
解:由于
可知 所以选 D。
的高阶无穷小量,同时
等价的无穷小量,
例 9. 下列变量在给定的变化过程中是无穷大量的是 ( )
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