@_@ 等差数列重点导读一、高考考点1.等差数列或等比数列定义的应用：主要用于证明或判断有关数列为等差（或等比）数列.2.等差数列的通项公式，前几项和公式及其应用：求；求；解决关于或的问题.3.等比数列的通项公式，前n项和及其应用：求；求；解决有关或的问题.4.等差数列与等比数列的（小）综合问题.5.等差数列及等比数列的主要性质的辅助作用：解决有关问题时，提高洞察能力，简化解题过程.二、知识要点1.定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差.认知：｛｝为等差数列－ =d(n∈N※且d为常数)－ =d (n 2, n∈N※且d为常数)此为判断或证明数列｛｝为等差数列的主要依据.2.公式（1）通项公式： = +（n－1）d：引申： = +（n－m）d （注意：n=m+(n－m) ）认知：｛｝为等差数列为n的一次函数或为常数=kn+b (n)（2）前n项和公式： =或 =n+认知：｛｝为等差数列为n的二次函数且常数项为0或 =n= +bn(n)3.重要性质(1)｛｝为递增数列 d＞0; ｛｝为递减数列 d＜0; ｛｝为常数列 d=0(2)设m,n,p,q ,则m+n=p+q+= + ;(3)2m=p+q 2 = +.即等差数列中,如果某三项(或更多的项)的项数成等差数列,则相应的各项依次成等差数列.(4)设 , ,分别表示等差数列｛｝的前n项和,次n项和,再次n项和,…则 , ,…依次成等差数列.典例精析【例1】等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为( )A.130B.170C.210D.260【解法一】将S m ＝30，S 2m ＝100代入等差数列前n 项和公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，得 ⎩⎪⎨⎪⎧ma 1＋m (m －1)2d ＝30，2ma 1＋2m (2m －1)2d ＝100. 解得d ＝40m 2，a 1＝10m ＋20m 2.所以S 3m ＝3ma 1＋3m (3m －1)2d ＝3m ·10(m ＋2)m 2＋3m (3m －1)2·40m 2＝210. 联想1：等差数列的前n 项和公式S n 是关于n 的二次函数，能否运用函数的思想求解？【解法二】由等差数列的前n 项和公式知，S n 是关于n 的二次函数，即S n ＝An 2＋Bn (A 、B 是常数).将S m ＝30，S 2m ＝100代入得⎩⎨⎧Am 2＋Bm ＝30，A (2m )2＋B ·2m ＝100. 解得A ＝20m 2，B ＝10m.所以S 3m ＝A ·(3m )2＋B ·3m ＝210. 联想2：由等差数列的性质知，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 构成等差数列，利用此性质，此题还可以怎样解呢？【解法三】根据等差数列性质知，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列，从而有2(S 2m －S m )＝S m ＋(S 3m －S 2m )，所以S 3m ＝3(S 2m－S m )＝210.联想3：本题是一道选择题，联想解决选择题常用的一种方法——特殊值法，你将会怎样解？【解法四】令m ＝1得S 1＝30，S 2＝100，从而a 1＝30，a 1＋a 2＝100，得到a 1＝30，a 2＝70，所以a 3＝70＋(70－30)＝110，所以S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝210. 评析此题虽是一道小题，但我们从不同的角度去审视，得到四种不同的方法，开阔了视野，锻炼了思维.此四种方法体现了解决数列问题常用的四种思想方法：①方程思想；②函数与方程思想；③整体思想；④特殊值思想.【例2】(1)数列{1n (n ＋1)}的前n 项和 S n ＝11×2＋12×3＋13×4＋14×5＋…＋1n ×(n ＋1)，研究一下，能否找到求S n 的一个公式.你能对这个问题作一些推广吗？并解决下面的问题 (2)已知正数数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的正整数n满足2S n ＝a n ＋1.①求数列{a n }的通项公式；②设b n ＝1a n ·a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和B n . 【解】(1)a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1∴S n ＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝1－ 1n ＋1＝n n ＋1评析这是数列求和的裂项相消法，它的基本思想是设法将数列的每一项拆成两项(裂项)，并使它们相加时除了首尾各有一项或少数几项外，其余各项都能前后相消，进而可求出数列的前n 项和.常见的裂项公式： ①1n (n ＋k )＝1k (1n －1n ＋k ) ②1n ＋k ＋n ＝1k (n ＋k －n ) (2)①∵对任意的正整数n,2S n ＝a n ＋1①恒成立， 当n ＝1时，2a 1＝a 1＋1，即(a 1－1)2＝0， ∴a 1＝1. 当n ≥2时，有2S n －1＝a n －1＋1.② ①2－②2得4a n ＝a 2n －a 2n －1＋2a n －2a n －1， 即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0. ∵a n ＞0， ∴a n ＋a n －1＞0， ∴a n －a n －1＝2， ∴数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列， ∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1， ②∵a n ＋1＝2n ＋1， ∴b n ＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)， ∴B n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝12(1－13)＋12(13－15)＋12(15－17)＋…＋12(12n －1－12n ＋1) ＝12(1－12n ＋1) ＝12－14n ＋2. 评析 有的数列本身不是等差数列，求其前n 项和时，可对其通项进行恰当变形，转化为已知数列或等差数列的和的问题. 上述求和法是“裂项相消法”，它是“变换通项法”的一种.对于变换通项法，再如：a n ＝n (n ＋1)，求S n 由a n ＝n (n ＋1)＝n 2＋n ∴S n ＝(12＋22＋…＋n 2)＋(1＋2＋…＋n ) 转化为两个常见数列的前n 项和 【例3】(1)一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32∶27，求公差d . (2)若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和A n 和B n 满足关系式A n B n ＝7n ＋14n ＋27(n ∈N *)，求a n b n . (3){a n }是等差数列，a 15＋a 12＋a 9＋a 6＝20，求S 20 【解】(1)(方法一)(方程思想) 设此数列首项为a 1，公差为d ， 则⎩⎪⎨⎪⎧12a 1＋12×12×11d ＝354，6(a 1＋d )＋12×6×5×2d 6a 1＋12×6×5×2d ＝3227， 解得d ＝5. (方法二)(整体思想) ⎩⎨⎧S 奇＋S 偶＝354，S 偶S 奇＝3227⇒⎩⎨⎧S 偶＝192，S 奇＝162. ∵S 偶－S 奇＝6d ，∴d ＝5. (2)由等差数列性质a n ＝a 1＋a 2n －12，b n＝b1＋b2n－12，∴a nb n＝a1＋a2n－12b1＋b2n－12＝(2n－1)(a1＋a2n－1)2(2n－1)(b1＋b2n－1)2＝A2n－1B2n－1＝7(2n－1)＋14(2n－1)＋27＝14n－68n＋23.(3)a15＋a6＝a12＋a9＝a1＋a20∴a1＋a20＝12×20＝10∴S20＝20(a1＋a20)2＝100评析设计这三个题的目的，是为了进一步训练解决数列问题的两种主要思想方法：方程思想与整体思想.通过第(2)(3)题的解答，体会一下S n的两个公式的运用特点，哪一个更易利用整体思想.【例4】一个水池有若干水量相同的水龙头，如果所有水龙头同时放水，那么24 min可注满水池.如果开始时全部放开，以后每隔相等的时间关闭一个水龙头，到最后一个水龙头关闭时，恰好注满水池，而且最后一个水龙头放水的时间恰好是第一个水龙头放水时间的5倍，问最后关闭的这个水龙头放水多少时间？【分析】每隔相等的时间关闭一个水龙头，则每个水龙头放水的时间组成等差数列，用等差数列前n项和知识解决.【解析】设共有n个水龙头，每个水龙头放水时间从小到大依次为x1，x2，…，x n.由已知可知x2－x1＝x3－x2＝…＝x n－x n－1，∴数列{x n}成等差数列，∴(x1＋x2＋…＋x n)＝24n，即S n＝24n，∴n(x1＋x2)2＝24n，∴x1＋x n＝48.又∵x n＝5x1，∴6x1＝48，∴x n＝40(min)，故最后关闭的水龙头放水40 min.评析解答应用题，关键是审清题意，分析清楚各量及其关系，转化为相应的数学问题(即建立数学模型).【例5】已知数列{a n}的首项a1＝3，通项a n与前n项和S n 之间满足2a n＝S n·S n－1(n≥2).(1)求证：数列{1S n}是等差数列，并求公差；(2)求数列{a n}的通项公式.(1)【证明】因为n≥2时，2a n＝S n·S n－1，又a n＝S n－S n－1，所以2(S n－S n－1)＝S n·S n－1.所以1S n－1S n－1＝－12且1S1＝1a1＝13.所以数列{1S n}是以13为首项，以－12为公差的等差数列.(2) 【解】由(1)得1S n＝13－12(n－1)＝5－3n6，所以S n＝65－3n.当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝18(3n－5)(3n－8)；当n＝1时，a1＝3不适合上式.所以a n＝⎩⎨⎧3(n＝1)，18(3n－5)(3n－8)(n≥2).评析由a n与S n形成的综合题是常见的，因为它是数列中两个主要元素，为此对a n与S n的关系一定要搞清楚.前面对此已做过训练，对所给式子是通过变换转化为关于a n的式子，还是转化为关于S n 的式子，要根据题目要求而定，此题第(1)问是证明{1S n}是等差数列，所以应找到关于S n的式子，进行推证.感悟总结本课是关于等差数列的综合运用题，各题目有一定的综合性.我们解决一个题目，不仅仅是为了得到结果，更重要的是通过对题目的分析、解决来巩固双基，锻炼各方面能力、心理素质，不断汲取数学思想.有的题目自己可能解不出来，但要通过老师的分析、讲解及自己的探索、总结、反思，从中总结出基本知识、方法的运用思想.即抓住其中的双基，不要只看问题的表面，有的题目所体现的思想、方法、技巧，不是让你在一节课内就全部理解、掌握，要有一个持之以恒、循序渐近的学习过程.不要一看不会，就想全部放弃，只要你充满信心，抓住基础，坚持不懈地学下去，一定会掌握其方法、其规律、其思想，最终取得成功，实现自己的理想.本课各题目所体现的基本方法、基本思想，在各题的分析及评析中已总结的非常清晰，在这里就不多谈了.课后练习3一、选择题1.等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列前20项的和等于( )A.160B.180C.200D.2202.如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，则( )A.a 1a 8＞a 4a 5B.a 1a 8＜a 4a 5C.a 1＋a 8＞a 4＋a 5D.a 1a 8＝a 4a 53.设数列{a n }是等差数列，且a 2＝－6，a 8＝6，S n是数列{a n }的前n 项和，则( )A.S 4＜S 5B.S 4＝S 5C.S 6＜S 5D.S 6＝S 54.在等差数列中，a m ＝n ，a n ＝m (m ≠n )，则a m ＋n 为( )A.m －nB.0C.m 2D.n 25.一套共7册的书计划每2年出一册，若各册书的出版年份数之和为13979，则出齐这套书的年份是( )A.1997B.1999C.2001D.20036.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于( )A.1B.－1C.2D.12二、填空题7.等差数列{a n }中，已知a 2＋a 3＋a 10＋a 11＝36，则a 5＋a 8＝ .8.在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *)，则S 100＝ .9.设f (x )＝12x ＋2，利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为 .10.若关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0和x 2－x ＋b ＝0(a ，b ∈R ，且a ≠b )的四个根组成首项为14的等差数列，则a ＋b ＝ . 三、解答题 11.一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和. 12.设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列{S n n }的前n 项和，求T n . 13.已知在正整数数列{a n }中，前n 项和S n 满足： S n ＝18(a n ＋2)2. (1)求证：{a n }是等差数列； (2)若b n ＝12a n －30，求数列{b n }的前n 项和的最小值. 14.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，且S 12＞0，S 13＜0. (1)求公差d 的范围； (2)问前几项的和最大，并说明理由.课后练习2以一.选择题：本大题共4小题，每小题 4分，共16分，把正确答案写在题中横线上. 1.等差数列{}n a 中，10120S =，那么110a a +=（ ）A. 12B. 24C. 36D. 482.从前180个正偶数的和中减去前180个正奇数的和，其差为 （ ）A. 0B. 90C. 180D. 3603.已知等差数列{}n a ，219n a n =-，那么这个数列的前n 项和n s （ ）A.有最小值且是整数B. 有最小值且是分数C. 有最大值且是整数D. 有最大值且是分数4.等差数列{}n a 的前m 项的和为30，前2m 项的和为100，则它的前3m 项的和为( ) A. 130 B. 170 C. 210 D. 2605.在等差数列{}n a 和{}n b 中，125a =，175b =，100100100a b +=，则数列{}n n a b +的前100项和为（ ） A. 0 B. 100 C. 1000 D. 100006.若关于x 的方程20x x a -+=和20x x b -+=()a b ≠的四个根组成首项为14的等差数列，则a b += （ ） A. 38 B. 1124 C. 1324 D. 3172 二.填空题：本大题共4小题，每小题 4分，共16分，把正确答案写在题中横线上.7.等差数列{}n a 中，若638a a a =+，则9s = .8.等差数列{}n a 中，若232n S n n =+，则公差d = .9. 有一个 凸n 边形，各内角的度数成等差数列，公差是100，最小角为1000，则边数n= .10.若两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为nS 和n T ，且满足733n n S n T n +=+，则88a b = . 三.解答题 11.在等差数列{}n a 中，40.8a =，11 2.2a =，求515280a a a +++ .12. 已知等差数列｛a n ｝的项数为奇数，且奇数项的和为44，偶数项的和为33，求此数列的中间项及项数。