课 题等差数列学习内容与过程引入1．某树农决定种树，第一天种了5棵，他决定从今天起每天种10棵树，那么从今天开始，地里的树逐日增加，依次为：5，15，25，35，… （问：多少天后地里的树达到3000？）2．小芳觉得自己英语成绩很棒，她目前的单词量多达3000她打算从今天起不再背单词了，结果不知不觉地每天忘掉5个单词，那么从今天开始，她的单词量逐日递减，依次为：3000，2995，2990，2985，…（问：多少天后她那3000个单词全部忘光？）从上面两例中，我们分别得到两个数列① 5，15，25，35，… 和 ② 3000，2995，2990，2980，…仔细观察一下，看看以上两个数列有什么共同特征？？——共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数，即——等差数列 知识点1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示） （1）R d ∈（2）公差d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；（3）对于数列{n a },若n a －1-n a =d (常数，n ≥2，n ∈N +），或者1+n a －n a =d (常数，n ≥1，n ∈N +）则此数列是等差数列，d 为公差——此方法可以求d 或者证明该数列是等差数列。

（4）若d=0，数列为常数数列；0〉d 时，数列为递增数列；0〈d 时，数列为递减数列； 例1 判断下列数列是否是等差数列：（1）2,4,6,8，...，2（n-1）,2n ； (2)1,1,2,3，...，n2．等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=【或=n a d m n a m )(-+】（1）等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则据其定义可得：d a a =-12即：d a a +=12d a a =-23即：d a d a a 2123+=+= d a a =-34即：d a d a a 3134+=+=……由此归纳等差数列的通项公式可得：d n a a n )1(1-+=（2）等差数列的通项公式n a 是关于三个基本量1a ，d 和n 的表达式，所以由首项1a 和公差d 便可求出数列中的任意一项如数列①1，2，3，4，5，6； n n a n =⨯-+=1)1(1（1≤n ≤6）数列②10，8，6，4，2，…； n n a n 212)2()1(10-=-⨯-+=（n ≥1） 数列③;,1,54;53,52;51 551)1(51nn a n =⨯-+=（n ≥1） 由上述关系还可得：d m a a m )1(1-+= 即：d m a a m )1(1--=则：=n a d n a )1(1-+=d m n a d n d m a m m )()1()1(-+=-+-- 即第二通项公式 =n a d m n a m )(-+ ∴ d=nm a a nm --如：d a d a d a d a a 43212345+=+=+=+=（3）（先举例说明）等差数列的通项公式可以推广为d m n a a m n )(-+=,由此可知等差数列中的任意两项，就可以求出其他的任意一项（4）有几种方法可以计算公差d ：① d=n a －1-n a ② d =11--n a a n ③ d =mn a a mn -- 例2 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项；⑵ -401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？解：⑴由35285,81-=-=-==d a ，n=20，得49)3()120(820-=-⨯-+=a ⑵由4)5(9,51-=---=-=d a ，得数列通项公式为：)1(45---=n a n由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n ，使得)1(45401---=-n 成立解之得n=100，即-401是这个数列的第100项变式1：已知等差数列{}n a ：3,7,11,15，...，求：（1）135,4m+19（*∈N m ）是{}n a 中的项吗？并说明理由；（2）若m a ，t a （*∈N t m 、）是数列{}n a 中的项，则2m a +3t a 是数列{}n a 中的项吗？为什么变式2：在等差数列{}n a 中，已知105=a ，3112=a ，求1a ,d ,n a a ,20解法一：∵105=a ，3112=a ，则 ⎩⎨⎧=+=+311110411d a d a ⇒⎩⎨⎧=-=321d a ∴53)1(1-=-+=n d n a a n 5519120=+=d a a解法二：∵3710317512=⇒+=⇒+=d d d a a∴5581220=+=d a a 53)12(12-=-+=n d n a a n小结：第二通项公式 d m n a a m n )(-+= 3．等差数列的性质（1）0〉d 时，数列为递增数列；0〈d 时，数列为递减数列；若d=0，数列为常数数列； （2）如果在a 与b 中间插入一个数A ，使a ，A ，b 成等差数列数列，那么A 应满足什么条件？由定义得A-a =b -A ，即：2b a A +=；反之，若2ba A +=，则A-a =b -A 。

由此可得：,,2b a ba A ⇔+=A 成等差数列 定义：若a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项如数列：1，3，5，7，9，11，13…中5是3和7的等差中项，1和9的等差中项；9是7和11的等差中项，5和13的等差中项看来，73645142,a a a a a a a a +=++=+性质：在等差数列中，若m+n=p+q ，则q p n m a a a a +=+ 即 m+n=p+q ⇒q p n m a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N )但通常 ①由q p n m a a a a +=+ 推不出m+n=p+q ，②n m n m a a a +=+ 推广1：若数列{}n a 为等差数列，则有i n i n n a a a a a a -+=-++=+1...121 推广2：若数列{}n a 为等差数列，2nm +=k ，则有k n m a a a 2=+ （3）若数列{}n a 为等差数列，则数列{}n a λ（其中λ为常数）也为等差数列，其公差是λd 若数列{}n a 为等差数列，则数列{}b a n +（其中b 为常数）也为等差数列，其公差是d 若数列{}n a 为等差数列，则数列{}b a n +λ（其中λ、b 为常数）也为等差数列，其公差是λd（4）若数列{}n a 为等差数列，则下标成等差数列且公差为m 的项),(,,,...2*++∈N m k a a a m k m k k 组成了公差为md 的等差数列（5）若数列{}n a 为等差数列，{}n b 为公差是t 的等差数列，则{}n n b a ±和{}n n b ka +(k 为常数)也是等差数列，其公差分别为d ±t ，kd+t（6）项数间隔相等或连续等长的片段和仍构成等差数列。

例如：531,,a a a ，...构成等差数列；再如：321a a a ++，654a a a ++，987a a a ++，...也构成了等差数列 例3 在等差数列{}n a 中，若76543a a a a a ++++=450,求82a a +变式1 在等差数列{}n a 中，1679=+a a ，4a =1，则12a 的值为 变式2 已知{}n a 为等差数列，20,86015==a a ，求75a 的值4. 判断一个数列为等差数列的方法（1）定义法：n a －1-n a =d (常数，n ≥2，n ∈N +）⇔{}n a 为等差数列（2）等差中项法，也称递推法：n n n a a a 211=+-+（n ≥2，n ∈N +）⇔{}n a 为等差数列（3）通项法：n a 为n 的一次函数⇔{}n a 为等差数列 注意：证明一个数列为等差数列只能通过定义法与等差中项法例4 已知数列{}n a 的通项公式为n a =为常数）且q p R q p qn pn ,,,(2∈+，问：（1）当p 和q 满足什么条件时，数列{}n a 是等差数列？（2）求证：对任意实数p 和q ，数列{}n n a a -+1是等差数列变式：已知数列{}n a 满足21),2(44,411-=≥-==-n n n n a b n a a a 令;（1）求证：数列{}n b 是等差数列；（2）求数列{}n a 的通项公式5. 等差数列的设项方法（1）通项法：设数列的通项公式，即设n a =*∈-+N n d n a ()1(1) 例5 等差数列{}n a 的公差d ≠0，试比较94a a 与76a a 的大小关系（2）对称设：若所给等差数列为2n 项，则可设为：d n a )12(--，...，d a 3-，d a -，d a +，d a 3+，...，d n a )12(-+，此数列的公差为2d ；若所给等差数列为2n+1项，则可设为：d n a )1(--，...，d a -，a ，d a +，...，d n a )1(-+，此数列的公差为d ；例6 已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数变式：成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数 解：设四个数为d a d a d a d a 3,,,3++--则：⎩⎨⎧=+-=++++-+-40))((26)3()()()3(d a d a d a d a d a d a由①： 213=a 代入②得： 23±=d ，∴ 四个数为2,5,8,11或11,8,5,2． 6. 等差数列与一次函数的联系等差数列一次函数解析式 )(*∈+=N n b kn a n())0(≠+=k b kx x f不同点定义域为*N ，图像是一系列孤立的点（都在同一条直线上）定义域为R ，图像是一条直线相同点 其通项公式与函数解析式都是关于自变量的一次式，都是最简单的，也是最基本的（数列和函数）（1）把等差数列的通项公式n a =d n a )1(1-+化为n a =)(1d a nd -+，并与b kx y +=对照，知等差数列是特殊的一次函数，特殊在定义域为正整数集的子集，其图像是直线上的一些孤立的点，由斜率公式1212x x y y k --=，不难联想到d=),(n m N n m m n a a m n≠∈--*且，由此也可得到d m n a a m n )(-+=（2）等差数列是关于n 的一次函数（d=0时为常数数列），有关单调性、取值范围的问题，可结合已知条件利用通项公式，得到一个以1a 和d 为未知数的方程或不等式，利用函数、不等式的有关方法解决。