如何由递推公式求通项公式
高中数学递推数列通项公式的求解是高考的热点之一，是一类考查思维能力的题型，要
求考生进行严格的逻辑推理。找到数列的通项公式，重点是递推的思想：从一般到特殊，从
特殊到一般；化归转换思想，通过适当的变形，转化成等差数列或等比数列，达到化陌生为
熟悉的目的。
下面就递推数列求通项的基本类型作一个归纳，以供参考。
类型一：1()nnaafn 或 1()nnagna
分析：利用迭加或迭乘方法。即：112211()()+()nnnnnaaaaaaaa……
或121121nnnnnaaaaaaaa……
例1.(1) 已知数列na满足11211,2nnaaann，求数列na的通项公式。
（2）已知数列na满足1(1)1,2nnnaas，求数列na的通项公式。

解：（1）由题知：121111(1)1nnaannnnnn
112211()())nnnnnaaaaa+(a-aa……
1111111()()()121122nnnn……
312n
（2）2(1)nnsna
112(2)nnsnan
两式相减得：12(1)(2)nnnananan
即：1(2)1nnannan
121121nnnnnaaaaaaaa……
121121nnnn……
n
类型二：1(,(1)0)nnapaqpqpqp其中为常数，
分析：把原递推公式转为：1(),1nnqatpatp其中t=，再利用换元法转化为等比
数列求解。
例2.已知数列na中，111,23nnaaa，求na的通项公式。
解：由123nnaa 可转化为：
132(3)nnaa

令3,nnba11n+1n则b=a+3=4且b=2b
nb1是以b=4为首项，公比为q=2的等比数列
11422nnbn
即 123nna
类型三：1()(nnapafn其中p为常数)
分析：在此只研究两种较为简单的情况，即()fx是多项式或指数幂的形式。
（1）()fx是多项式时转为1(1)()nnaAnBpaAnB，再利用换元法转为等
比数列
（2）()fx是指数幂：11(0)nnnaparqpqr

若pq时则转化为11nnnnaarqq，再利用换元法转化为等差数列

若pq时则转化为11(),nnnnqratqpatqtpq其中
例3.（1）设数列na中，111,321nnaaan，求na的通项公式。
（2）设数列na中，111,32nnnaaa，求na的通项公式。
解：（1）设1(1)3()nnaAnBaAnB
1322nnaaAnBA

与原式比较系数得：221211AABAB
即1(1)13(1)nnanan
令1,nnbann+1n11则b=3b且b=a+1+1=3
nb1是b=3为首项，公比q=3的等比数列

133331nnnnnban即:
(2)设1123(2)nnnnatat
展开后得：132nnnaa
对比得：1t
1123(2)nnnnaa



令11,12,323nnnnnbabba1则且b=

nb1
是b=3为首项，公比q=3的等比数列

133332nnnnnnba


即:

类型四：1(0,0)rnnnapapa
分析：这种类型一般是等式两边取对数后得：1lglglgnnarap，再采用类型二进行
求解。
例4.设数列na中，21111,(0)nnaaaaa，求na的通项公式。
解：由211nnaaa，两边取对数得:
11lg2lglgnnaaa
设1lg2(lg)nnatat展开后与上式对比得：1lgta
112(lglg)naaaan+1原式可转化为lg+lg
令1(lglg)nnbaa，则1,1nnbba且b1=lg
1nba1是b=lg为首项，公比q=2的等比数列
112lgnbna，即111lglg2lgnnaaa
也即112nnaa
类型五：1()()()nnnfnaagnahn
分析：这种类型一般是等式两边取倒数后再换元可转化为类型二。
例5.已知数列na满足：1111,31nnnaaaa，求na的通项公式。
解：原式两边取倒数得：11113113nnnnaaaa
1,1nan nn-11设b=则b-b=3,且b=
13nb1是b=为首项，公差d=2的等差数列
1(1)332bnnn
即132nan