10．设
f
(x)
=
⎧0 ⎨⎩1
x ≠ 0 ，g(x) = sin x ，则 f (x) 在 x = 0 间断，g(x) 在 x = 0 连
x=0
续， f (x) ⋅ g(x) = f (x) ⋅ sin x = 0 在 x = 0 连续。
若设
f
(x)
=
⎧1 ⎩⎨−1
x ≥ 0 ，f (x) 在 x = 0 间断，但 f 2 (x) = f (x) ≡ 1 在 x = 0 均连续。
导的充要条件。 （2）设 f (x0 ) = 0 ，则 f ′(x0 ) = 0 是 f (x) 在 x = x0 可导的充要条件。
三、一元函数可导函数与不可导函数乘积可导性的讨论
设 F (x) = g(x)ϕ(x) ，ϕ(x) 在 x = a 连续，但不可导，又 g′(a) 存在，则 g(a) = 0 是
（2）如果
f
(x)
在 (a,b)
内连续，
x0
∈ (a, b)
，且设
lim
x→ x0 +
f
′( x)
=
lim
x→ x0 −
f
′( x)
=
m,
则
f (x) 在 x = x0 处必可导且 f ′(x0 ) = m 。
若没有如果 f (x) 在 (a,b) 内连续的条件，即设 lim f ′(x) = lim f ′(x) = a ，则得
x → +∞
x→−∞
1
1
1
lim e x = 0, lim ex = +∞ ，因而 x → 0 时 ex 极限不存在。
x→0−
x→0=
六、使用等价无穷小求极限时要注意：
（1）乘除运算中可以使用等价无穷小因子替换，加减运算中由于用
等价无穷小替换是有条件的，故统一不用。这时，一般可以用泰勒公
式来求极限。
（2）注意等价无穷小的条件，即在哪一点可以用等价无穷小因子替
换
例 8：求极限 lim x→0
1+ x + 1− x − 2 x2
分析一：若将 1+ x + 1− x − 2 写成 ( 1+ x −1) + ( 1− x −1) ，再用等价无穷小替
换就会导致错误。
分析二：用泰勒公式
1+ x +
1−
x
=
法则知ϕ(x) = F(x) 在 x = a 可导，与假设矛盾。 g(x)
利用上述结论，我们可以判断函数中带有绝对值函数的可导性。
四、在某点存在左右导数时原函数的性质
（1）设 f (x) 在 x = x0 处存在左、右导数，若相等则 f (x) 在 x = x0 处可导；若
不等，则 f (x) 在 x = x0 连续。
由定义，无穷大必无界，故②正确． 结论：无穷大必无界，而无界未必无穷大．
三、函数极限不存在 ≠ 极限是无穷大
当 x → x0 （或 x → ∞ ）时的无穷大的函数 f (x) ，按函数极限定义来说，极限
是不存在的，但是为了便于叙述函数的性态，我们也说“函数的极限是无穷大”．但 极限不存在并不代表其极限是无穷大．
x<0
（2）“ f (x) 在 x0 点连续”是“ f (x) 在 x0 点连续”的充分不必要条件。
分析：由“若 lim x→ x0
f (x) = a ，则 lim x → x0
f (x)
=
a
”可得“如果 lim x→ x0
f (x) =
f (x0 ) ，则
lim
x → x0
f (x)
=
f (x0 ) ”，因此， f (x) 在 x0 点连续，则
lim
n→∞
zn
=
a
≠
0
，故不选
A
与
D.
取
xn
=
(−1)n
−
1 n
,
yn
=
(−1)n
+
1 n
, zn
=
(−1)n
，则
xn
≤
zn
≤
yn
，且
lim(
n→∞
yn
−
xn )
=
0 ，但
lim
n→∞
zn
不存在，所以 B 选项不正确，因此选 C．
例
3．设 xn
≤
a
≤
yn ,且
lim(
n→∞
yn
−
xn ) = 0,则{xn}与{yn}（
）
A．都收敛于 a C．可能收敛，也可能发散 答：选项 A 正确．
B. 都收敛，但不一定收敛于 a D. 都发散
分析：由于
xn
≤
a
≤
yn ,
，得
0
≤
a
−
xn
≤
yn
−
xn
，又由
lim(
n→∞
yn
−
xn )
=
0 及夹逼定理得
lim(a
n→∞
−
xn
)
=
0
因此，
lim
n→∞
xn
=
a
，再利用
lim(
n→∞
yn
(1 +
1
x
+
1 2
(−
1) 2
x2
+ ο(x2 ))
2
2!
+(1 −
1
x
+
1 2
(−
1) 2
x2
+ ο(x2 ))
−
2
2
2!
= − 1 x2 +ο(x2) 4
原式
=
−
1 4
x2
+ ο (x2 )
=
−
1
。
x2
4
例 9：求极限 lim sin x x→π x
解：本题切忌将 sin x 用 x 等价代换，导致结果为 1。
同理可证 lim f ′(x) = −∞ 时，必有 lim f (x) = −∞
x→+∞
x→+∞
第八章 多元函数微分法及其应用
8.1 多元函数的基本概念 1. ∀ε f 0 , ∃δ1,δ2 f 0 , 使 得 当 x − x0 p δ1 , y − y0 p δ2 且 (x,y)≠(x0,y0) 时 , 有
yn ,∀n
，而
lim
n→∞
xn
=
lim
n→∞
yn
=
0
．
例 2．选择题
设
xn
≤
zn
≤
yn
，且
lim(
n→∞
yn
−
xn )
=
0,则lim n→∞
zn
（
）
A．存在且等于零 C．不一定存在 答：选项 C 正确
B. 存在但不一定等于零 D. 一定不存在
分析：若 lim n→∞
xn
=
lim
n→∞
yn
=
a
≠
0
，由夹逼定理可得
x→x0 f (x)
f (x)
五、求函数在某点处极限时要注意其左右极限是否相等，求无穷大处
极限要注意自变量取正无穷大和负无穷大时极限是否相等。
1
例 7．求极限 lim ex ,lim e x x→∞ x→0
解： lim ex = +∞, lim ex = 0 ，因而 x → ∞ 时 ex 极限不存在。
lim sin x = sinπ = 0
x→π x
π
七、函数连续性的判断
（1）设 f (x) 在 x = x0 间断， g(x) 在 x = x0 连续，则 f (x) ± g(x) 在 x = x0 间断。
而 f (x) ⋅ g(x), f 2 (x), f (x) 在 x = x0 可能连续。
例
−
xn )
=
0 得 lim n→∞
yn
=
a
．所以选项
A．
二、无界与无穷大
无界：设函数 f (x) 的定义域为 D ，如果存在正数 M ，使得
f (x) ≤ M
∀x ∈ X ⊂ D
则称函数 f (x) 在 X 上有界，如果这样的 M 不存在，就成函数 f (x) 在 X 上无界；
也就是说如果对于任何正数 M ，总存在 x1 ∈ X ，使 f (x1) > M ，那么函数 f (x) 在 X
f (x, y) − A p ε ,那么 lim f (x, y) = A 成立了吗? x → x0 y→ y0
成立,与原来的极限差异只是描述动点 p(x, y) 与定点 p0 (x0 , y0 ) 的接近程度的 方法不一样,这里采用的是点的矩形邻域, ,而不是常用的圆邻域,事实上这两种 定义是等价的. 2. 若上题条件中 (x, y) ≠ (x0, y0 ) 的条件略去,函数 f (x, y) 就在 (x0, y0 ) 连续吗?为 什么?
上无界． 无穷大：设函数 f (x) 在 x0 的某一去心邻域内有定义（或 x 大于某一正数时
有定义）．如果对于任意给定的正数 M （不论它多么大），总存在正数δ （或正数 X ），只要 x 适合不等式 0 < x − x0 < δ （或 x > X ），对应的函数值 f (x) 总满足不 等式
f (x) > M
f
(x) = 0 ，但由于
1 f (x)
在x
= 0 的任一邻域的
无理点均没有定义，故无法讨论 1 在 x = 0 的极限． f (x)