高等数学部分易混淆概念 第一章：函数与极限一、数列极限大小的判断 例1：判断命题是否正确． 若()nn x y n N <>，且序列,n n x y 的极限存在，lim ,lim ,n n n n x A y B A B →∞→∞==<则解答：不正确．在题设下只能保证A B ≤，不能保证A B <．例如：11,1n n x y n n ==+，,n n x y n <∀，而lim lim 0n n n n x y →∞→∞==． 例2．选择题 设nn n x z y ≤≤，且lim()0,lim n n n n n y x z →∞→∞-=则（ ）A ．存在且等于零 B. 存在但不一定等于零 C ．不一定存在 D. 一定不存在 答：选项C 正确 分析：若lim lim 0nn n n x y a →∞→∞==≠，由夹逼定理可得lim 0n n z a →∞=≠，故不选A 与D.取11(1),(1),(1)n n n nn n x y z n n =--=-+=-，则n n n x z y ≤≤，且lim()0n n n y x →∞-=，但lim n n z →∞ 不存在，所以B 选项不正确，因此选C ． 例3．设,nn x a y ≤≤且lim()0,{}{}n n n n n y x x y →∞-=则与（ ）A ．都收敛于a B. 都收敛，但不一定收敛于a C ．可能收敛，也可能发散 D. 都发散 答：选项A 正确． 分析：由于,nn x a y ≤≤，得0n n n a x y x ≤-≤-，又由lim()0n n n y x →∞-=及夹逼定理得lim()0n n a x →∞-=因此，lim nn x a →∞=，再利用lim()0n n n y x →∞-=得lim n n y a →∞=．所以选项A ．二、无界与无穷大无界：设函数()f x 的定义域为D ，如果存在正数M ，使得()f x Mx X D ≤∀∈⊂则称函数()f x 在X 上有界，如果这样的M 不存在，就成函数()f x 在X 上无界；也就是说如果对于任何正数M ，总存在1x X ∈，使1()f x M >，那么函数()f x 在X 上无界．无穷大：设函数()f x 在0x 的某一去心邻域内有定义（或x 大于某一正数时有定义）．如果对于任意给定的正数M （不论它多么大），总存在正数δ（或正数X ），只要x 适合不等式00x x δ<-<（或x X >），对应的函数值()f x 总满足不等式 ()f x M >则称函数()f x 为当0x x →（或x →∞）时的无穷大． 例4：下列叙述正确的是： ② ① 如果()f x 在0x 某邻域内无界，则0lim ()x x f x →=∞② 如果0lim ()x x f x →=∞，则()f x 在0x 某邻域内无界解析：举反例说明．设11()sin f x x x =，令11,,22n n x y n n πππ==+，当n →+∞时，0,0n n x y →→，而lim ()lim (2)2n n n f x n ππ→+∞→+∞=+=+∞ lim ()0n n f y →+∞=故()f x 在0x =邻域无界，但0x →时()f x 不是无穷大量，则①不正确．由定义，无穷大必无界，故②正确．结论：无穷大必无界，而无界未必无穷大． 三、函数极限不存在≠极限是无穷大当0x x →（或x →∞）时的无穷大的函数()f x ，按函数极限定义来说，极限是不存在的，但是为了便于叙述函数的性态，我们也说“函数的极限是无穷大”．但极限不存在并不代表其极限是无穷大．例5：函数10()0010x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪+>⎩四、如果0lim ()0x x f x →=不能退出limx x →例6：()0x x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数，则故无法讨论1()f x 在0x =的极限．结论：如果0lim ()0x x f x →=，且f∞．反之，()f x 为无穷大，则1()f x 为无穷小。
例7．求极限1lim ,lim xxx x ee →∞→解：lim ,lim 0x x xx e e →+∞→-∞=+∞=，因而x →∞时x e 极限不存在。
1100lim 0,lim x x x x e e →-→===+∞，因而0x →时1xe 极限不存在。
六、使用等价无穷小求极限时要注意：（1）乘除运算中可以使用等价无穷小因子替换，加减运算中由于用等价无穷小替换是有条件的，故统一不用。
这时，一般可以用泰勒公式来求极限。
（2）注意等价无穷小的条件，即在哪一点可以用等价无穷小因子替换 例8：求极限0x →2写成1)1)+，再用等价无穷小替换就会导致错误。
分析二：用泰勒公式22222211()122(1())22!11()122(1())222!1()4x x x x x x x x οοο-=+++-+-++-=-+ 原式2221()144x x x ο-+==-。
例9：求极限sin limx xxπ→解：本题切忌将sin x 用x 等价代换，导致结果为1。
sin sin lim0x x x πππ→==七、函数连续性的判断（1）设()f x 在0x x =间断，()g x2(),(),()g x f x f x ⋅在0x x =可能连续。
例10．设0()1x f x x ≠⎧=⎨=⎩，()g x ()()()sin 0x g x f x x ⋅=⋅=在0x =连续。
若设10()1x f x x ≥⎧=⎨-<⎩，()f x （2）“()f x 在0x 点连续”是“(f 分析：由“若0lim ()x x f x a →=，则x x →0()()f x f x =”，因此，()f x 在0x 点连续，则()f x 在0x 点连续。
再由例（3）()x ϕ在0xx =连续，()f u 在00()u u x ϕ==连续，则(())f x ϕ在0x x =连续。
其余结论均不一定成立。
第二章 导数与微分一、函数可导性与连续性的关系可导必连续，连续不一定可导。
例11．()f x x =在0x =连读，在0x =处不可导。
二、()f x 与()f x 可导性的关系（1）设0()0f x ≠，()f x 在0x x =连续，则()f x 在0x x =可导是()f x 在0x x =可导的充要条件。
（2）设0()0f x =，则0()0f x '=是()f x 在0x x =可导的充要条件。
三、一元函数可导函数与不可导函数乘积可导性的讨论设()()()F x g x x ϕ=，()x ϕ在x a =连续，但不可导，又()g a '存在，则()0g a =是()F x 在x a =可导的充要条件。
分析：若()0g a =，由定义()()()()()()()()()limlim lim ()()()x a x a x a F x F a g x x g a a g x g a F a x g a a x a x a x aϕϕϕϕ→→→---''====--- 反之，若()F a '存在，则必有()0g a =。
用反证法，假设()0g a ≠，则由商的求导法则知()()()F x x g x ϕ=在x a =可导，与假设矛盾。
利用上述结论，我们可以判断函数中带有绝对值函数的可导性。
四、在某点存在左右导数时原函数的性质（1）设()f x 在0x x =处存在左、右导数，若相等则()f x 在0x x =处可导；若不等，则()f x 在0x x =连续。
（2）如果()f x 在(,)a b 内连续，0(,)x a b ∈，且设00lim ()lim (),x x x x f x f x m →+→-''==则()f x 在0x x =处必可导且0()f x m '=。
若没有如果()f x 在(,)a b 内连续的条件，即设00lim ()lim ()x x x x f x f x a →+→-''==，则得不到任何结论。
例11．20()0x x f x xx +>⎧=⎨≤⎩，显然设00lim ()lim ()1x x f x f x →+→-''==，但0l i m ()2x f x →+=，0lim ()0x f x →-=，因此极限0lim ()x f x →不存在，从而()f x 在0x =处不连续不可导。
一、若lim (),(0,x f x A A →+∞'=≠可以取若lim ()0x f x A →+∞'=≠，不妨设A > ()()()(f x f X f x ξ'=+()()(2Af x f X ⇒≥+同理，当0A <时，lim ()x f x →+∞=-∞若lim (),0,x f x X x →+∞'=+∞⇒∃>≥()()()()(,(,))f x f X f x X x X X x ξξ'=+->∈()()()()lim ()x f x f X x X x X f x →+∞⇒≥+->⇒=+∞同理可证lim ()x f x →+∞'=-∞时，必有lim ()x f x →+∞=-∞第八章 多元函数微分法及其应用8.1多元函数的基本概念 1. 0ε∀ ,12,0δδ∃ ,使得当01x x δ- ,02y y δ- 且0,0(,)()x y x y ≠时,有(,)f x y A ε- ,那么00lim (,)x x y y f x y A →→=成立了吗?成立,与原来的极限差异只是描述动点(,)p x y 与定点000(,)p x y 的接近程度的方法不一样,这里采用的是点的矩形邻域, ,而不是常用的圆邻域,事实上这两种定义是等价的.2. 若上题条件中0,0(,)()x y x y ≠的条件略去,函数(,)f x y 就在0,0()x y 连续吗?为什么?如果0,0(,)()x y x y ≠条件没有,说明0,0()f x y 有定义,并且00(,)x y 包含在该点的任何邻域内,由此对0ε∀ ,都有(,)f x y A ε- ,从而0,0()A f x y =,因此我们得到00lim (,)x x y y f x y A →→=0,0()f x y =,即函数在0,0()x y 点连续.3. 多元函数的极限计算可以用洛必塔法则吗?为什么? 不可以,因为洛必塔法则的理论基础是柯西中值定理.8.2 偏导数 1. 已知2(,)y f x y e x y +=,求(,)f x y令x y u +=,y e v =那么解出x ,y 得ln ln y vx u v=⎧⎨=-⎩,所以22(,)(,).(,)(ln ).ln f u v x u v y u v u v v ==- 或者2(,)(ln ).ln f u v u v y =-8.3全微分极其应用1.写出多元函数连续,偏导存在,可微之间的关系 偏导数x f ', y f '偏导数x f ', y f '2. 判断二元函数对于函数(,f x y (0,0)lim x x f ∆→'=00(0,0)limy x x f ∆→∆→'=又005226(,)(0,0)(0,0)(0,0)limlim()()x x x x y y y y f x y f f x f yx yx y →→→→''∆∆--∆-∆∆∆=⎡⎤∆+∆⎣⎦令yk x ∆=∆,则上式为2135550022663()limlim 0(1)(1)x x k x k x k xk ∆→∆→∆=∆=+∆+因而(,)f x y 在原点处可微.8.4多元复合函数的求导法则 1. 设()xy zf x y=+,f 可微,求dz .22222()()()()()()()()()()()xy xy xy x y d xy xyd x y dz f d f x y x y x y x y xy y xy yf dx f dyx y x y x y x y +-+''==++++''=+++++8.5隐函数的求导1. 设(,)x x y z =,(,)y y x z =,(,)z z x y =都是由方程(,,)0F x y z =所确定的具有连续偏导数的函数,证明..1x y zy z x∂∂∂=-∂∂∂. 对于方程(,,)0F x y z =,如果他满足隐函数条件.例如,具有连续偏导数且0x F '≠,则由方程(,,)0F x y z =可以确定函数(,)x x y z =,即x 是y ,z 的函数,而y ,z 是自变量,此时具有偏导数y x F xy F '∂=-∂',z x F x z F '∂=-∂' 同理, z y F yz F '∂=-∂',所以.x y y z ∂∂∂∂8.6多元函数的极值及其求法 1.设(,)f x y 在点000(,)p x y ,命题是否正确?不正确,2.例如，二元函数(,)Zf x y =3=由二元函数极值判别法：2630zx x x∂=-=∂，解得 1x 60zy y∂==∂， 解得 0y = 故得驻点1(0,0)M =，2(2,0)M =2266z A x x ∂==-∂，20z B x y ∂==∂∂， 226z C y∂==∂236(1)AC B x -=-由于 2(0,0)0AC B - ，2(2,0)0AC B - ，以及(0,0)0A ，所以1(0,0)M =，是函数的惟一极小值点，但是(4,0)16(0,0)f f =- ，故(0,0)f 不是(,)f x y 在D上的最小值.第十一章 无穷级数11.1常数项级数的概念和性质1. 若通项0na →，则级数212121111()2n n n n n n nn a n∞=∞=∞==≤+∑收敛，这种说法是否正确？否2. 若级数1nn a∞=∑加括号后所成的新级数发散，则原级数必定发散，而加括号后所的级数收敛，则无法判定原级数的敛散性，这种说法是否正确？正确11.2常数项级数的审敛法 1. 若级数1nn u∞=∑收敛，则级数21nn u∞=∑一定收敛。